Р. Мизес - Математическая теория течений сжимаемой жидкости (1161654), страница 109
Текст из файла (страница 109)
См. также статью Зауера, упомянутуго в примечании П1.16. 5. Метод годографа, наложенный в этом пункте (см. также п. 8.6, 10.6 и 10.7), принадлежит С. А. Чаплыгину (1869 — 1944) и был опубликован им в 1902 г. в работе «О гавовых струях> (см. Ч апл ы г и н С. А., Собрание сочинений, т. П, М., 1948). Чаплыгин ссылается на предшествовавшие его работе статью Молеибрека [М о1 е и Ь г о ей Р., ОЬег е!л!Зе Ве>чебав8еп ешез Оачач Ье! АппаЬше е1пез ОеясЬъчлй18ЬеИзро!ев!!э]з, А гсй. Ма«Ь.
РЬуе., 9 (1890), 157 — 195] (перепечатано в [20]) и работу Гельмгольца 1868 г. (см. примечание П.23). Мы упомянем еще работу П!тейхена [8 1 е 1 с Ь е л А., ВеИгабе звг ТЬеог!е йег зае1й!шевыова1ев Вшчерш8зчог8ав8е !л ешеш Оззе, йаз шИ ОЬегзсЬаП- Глава 1*в' безсЬм[пе]19Ье(1 зггош1, П)эзеггаг]оп, Обы!пбеп, 1909]. На важность работы Чаплыгина обратил внимание Рябушинский [В [ а Ь оп с Ь[из Ьу В., Мовчешепз б'пп ПпЫе сошргезэ[Ые аагоаг е]'эп оЬэгас]е, Сатрг.
гехи., 194 (1932), 1215 — 1216]. Одно из первых изложений втой теории было также дано Демченко [В е ш 1 с Ь е и Ь о В., Эпг]еэ шоптешептз)ев1з без Пп(без сошргбэа[Ыез, Сотри геаА., 194 (1932)„1218 — 1222]. Подробная библиография по методу годографа имеется в работах [20] и [21] "), 6.
Многие свойства фиксированных характеристик н их свяаь с линиями Маха приведены в статье Прандтля и Буземана, указанной в примеча- *) Исследование Чаплыгина явилось основой для развития метода годографа в работах советских ученых, внесших большой вклад в это направление газовой динамики. Лейбензон [Л е й б е н з о н Л. С., К теории движения газов, Дока.
АН СССР, 3 (1935) 397 †3] получил новую форму уравнений Чаплыгина. Слезкин [С л е зк н н Н. А., К вопросу о плоском движении гаван, вгч. ваи. МГуг, 5[ехаиика, вып. 7 (1935)] первый указал на воаможность применения уравнений Чаплыгина для решения задачи о дозвуковом обтекании профиля без циркуляции. Эффективный метод годографа, основанный на последовательных приближениях, был разработан Христяанозичем [Х р и с т и а н о в и ч С. А., Обтекание тел газом при больших дозвуковых скоростях, Труды ЦАГИ, вып. 481 (1940)]. Метод Кармана — Цянь Сюэ-сэня (см. примечание 15) по существу является первым приближением метода Христиановнча. Это первое приближение, в том числе и для случая обтекания с циркуляцией, подробно исследовано в работе Христиановича и Юрьева [Х р и с т и а н ов и ч С.
А., Ю р ь е в И. М., Обтекание крылоного профиля прн докритической скорости потока, Нрикл. мат. и мех., 11, вып. 1, (1947) 105 — 118]. Седов в своей статье [С е д о в Л. И., К общей теории плоскопараллельвых движений газа, сб. Теоретическая гидродинамика, № 4, Оборонгиз, М., 1949, стр. 5 — 18] и в монографии [С е д о в Л. И., Плосние задачи гидродинамвки и аэродинамики, иэд. 2, М.— Л., 1950] развил общую теорию плоских течений газа с произвольной зависимостью плотности и давления, позволнющуто уточнить и расширить приближенный метод Чишыгина. Домбровский решил ряд цлоских задач (дозвуковых и сверхзвуковых) на основе предложенной им новой аппроксимации связи р(9) [Д ам 6 р о во к и й Г.
А., К вопросу об интегрировании уравнений плоскопараллельного установившегося потенциального движения сжимаемой жидкости, Двкл. АН СССР, 103 (1955), 31 — 34; Приближенное решение задачи о дозвуковом обтекании профиля с циркуляцией, там же, 103 (1955), 985 — 988]. Советские ученые использовали метод годографа также для расчета плоских сопел [Астров В., Левин Е., Павлов Л., Христиан о в и ч С.
А., О расчете сопел Лаваля, Прикл. мат. и мех., 7, вып. 1 (1943), 3 — 24; Ф р а н к л ь Ф. И., К,теории сопел Лаваля, Нев. АН СССР, сер. мат., 9 (1945), 387 — 422; Ф а л ь к о в и ч С. В., К теории сопел Лаваля, Прикл. мат. и мех, 11, вып. 4 (1946),-503 — 512].— Прим. иерее. Приме«анин и дон»именин нии Н.24. В связи с ортогональностью линий Маха и фиксированных характеристик см. п. 9.4 и особенно уравнение (9.15).
7. По существу то же самое определение характеристических координат (наше уравнение (43)] имеется в статье, упомянутой в примечании 6; в ней дается также и графический способ, изложенный нами на стр. 288. Этот метод был развит Гудерлеем [О и й е г 1 е у О., В!е СЬагайзег!в!1Ьепше«Ьойе 16г еЬепе ппй асЬзевзушше!г(зсЬе ПЬетзсЬа11з!гошппйел, еайтееЬет. йеип Ти11(айтЦотеей., 1 (1940), 522 — 535]. См. также работу Осватича [О в зг а ! 1 ! в с Ь К., ОЬег й!е СЬагай«ег!зЖепчег(аЬгев йег НуйгошесЬап(Ь, К авдеш.
Ма«Ь. иий Ме«Ь., 25/27 (1947), 195 — 200, 264 — 270] и работу Толмина [Т о 1 1 ш 1 е и %., 8!еайу 1»то-й!шепа(опа] гога11опаПу зушше!пс зпрегзоп!сйоъз, Огай. В!т. Арр1. Ма!Ь. Вгозчп Пв1«., 'Ггапз. АО-Т-1 (1946)]. 8. Эта почти очевидная теорема совершенно аналогична одной из теорем о линии скольжения, принадлежащей Генки и Прандтлю и хорошо известной в теории плоского абсолютно пластичного тела. 1 17 применить преобразование Лежандра, определяемое формулами (4), (4') н (6), то мы получим следутощее уравнение: Фиксированные характеристики первого из »тих уравнений даются формулами а йо» вЂ” 2Ь йи йо+е йи»=0, — = — (Ь+ Р'ܻ— ( ),= до~ 1 й~ )!,з *) Преобразование Лежандра попользуется в методе А. И.
Некрасова для решения плоских вадач дозвукового обтекания. См. Н е к р ас о в А. И., О плоскопараллельном движении гава при дозвуковых скоростях, Прина. мазе. и мел., 8, вып. 4 (1944), 249 — 266.— Прим. нерее. 9. Обычно прк выводе здесь исходят ив уравнения второго порядка, такого, как уравнение (16.14), и применяют к нему «контактное преобразование», связанное с именем Лежандра* ). Применение этого преобразования в газовой динамике использовано в книге Пуассона (см.
примечание 1.23). Вывод можно найти в учебниках по дифференциальным уравнениям в частных производных, например, в книге Вейтмена [В а ! еж а и Н., Раг«(а1 й!1- 1егелНа1 ыр»аМовв о1 шасЬешаМсе1 рЬуз!сз, Ыечт Уогй, 1944] или в книге [2]. См. также книгу Гамеля [Н а ш е 1 О., МесЬал!Ь йег Коп!шпа, 81пыйагВ 1956, 3. 108]. ' Для иас представляет интерес следующее обстоятельство.
Если к уравяению типа (5) д»Ф д»Ф д»Ф а(и, о) — +2Ь (и, с) — +е(и, о) — =0 ди» дида ' до' 543 Гааеа /у а характеристики в плоскости х, у, которые зависят от решения ю(х,у), определяются формулами Г дх.| а с/хз+2Ь дхду+с Ыуе=О, ! —, = — — (Ь Г]гЬ' — ас), !. Ыу 11,з а Следовательно, а это равенство является таким же соотношением ортогоиальности, как соотношения (9Л5) и (16.37).
Итак, мы убеждаемся в том, что такая ортогональность характеристик является общим магаематическим свойством, которое не связано с частными свойствами наШих уравнений механики. 10. Уравнение для функции ф мы можем получить формальным применением преобразования Лежандра к уравнению для функции тока, а именно к уравнению (16.21), которое мы зашппем в том же виде, как в примечанни 1, причем се=1. Обозначим теперь де/дх=г, дф/ду=! и применим контактное преобрааование, такое же, как преобрааование (10): Ч'(г, с)=хе+ус — ф (х,у).
Тогда по правилу, сформулированному в примечании 9, получим Чс„,. (аейе — ге) — 2Чсы гс+ Чсд~ (азуз — Се) = О. здесь ай являееся функцией от ге+се; переменные 15 йи и — г5 йе представляют собой составляющие вектора расхода в единицу времени ОЧ. Таким образом, отображение здесь проводится ие на плоскость годографа (т. е. на плоскость Ч), а на плоскость 9Ч; см. Зауер [29], стр. 157. 11. Зауэр (см. примечанпе !П.16) исследовал такую свяаь между давлением и плотностью, для которой уравнение (21) превращается в уравнение Дарбу того типа, когда общей интеграл его, зависящий от двух произвольных функций, иазестен*). 12. Приведенные в этом пункте формулы для обратного перехода даны, например, в работе Чаплыгина, на которую мы ссылались в примечании 5.
Они детально выводятся также в статье Ринглеба [К ! и 81 е Ь Р., Ехайсе ЬЬзвпбеп бег Б!Пегепйа!9!е!сЬппбеп е1лег аб!аЬайзсЬел Оаззсгопнш8, 2. акуеш. Ма/Ь. иид Месл., 20 (1940), 85 — 198], которую мы будем подробно обсуждать в 1 20. 13. Библиографические сведения были уже даны в примечаниях к 1 7. См. также исследование Ринглеба в статье, упомянутой в примечании 12. Еще одно, относящееся к этой же группе точное решение, которое мы не будем рассматривать, было определено и изучено Толмином [Т о ! 1 ш 1 е и %., Зпш ОЬегЗапб чов ()и!ег- зп ()ЬегзсйаПзсгбшвпб, 2. авдею. Маей. икд Месй., 17 (1937), 117 — 136]. *) Способ приближенного решения сверхавуковых задач путем сведения уравнений Чаплыгина к уравнению Дарбу был предложен Христиановичем [Х р и с т и а н о в и ч С. А., Приближенное интегрирование сверхзвуковых течений газа, Прика.
мат. и мех., 11, вып. 2 (1947), 215 — 222].— Прим. иерее. 544 Примечании и дополнении 14. Для построения рис. 100,6 и 10!об частично использованы графики (рис. 39 и 40) из написанной Бикли гл. Ч книги [24]. 15. См.', часть Ч работы Чаплыгина, указанной в примечании 5. Метод Чаплыгина был модифицирован, развит и использован во многих вариантах Карменом (см. прнмечавие 1Ч.ЗО) и Цянь Сюэ-сзнем [Т я ! е и Н. 8., "Гово-й[шепз!опа1 яиЬяоп[с Вотч о! сошргезз[Ые ПиЫя, Х. Аегопаип Яе!., 6 (1939), 399 — 407). 16. См. работу Чаплыгина, указанную в примечании 5. 1?. Таким образом, мьг видим, что для газа с соотношением между давлением и плотностью в виде р=А — В/9 уравнение Чаплыгина деф/доя+ +К(и)дзф/дбе=О сводится к уравнению Лапласа. Для другого частного вида соотношении между плотностью и давлением уравнение Чаплыгина сводится к уравнению Триполви, т.
е. к уравнению деф/доз+и (деф/дбз)=0. Этот газ называют егазом Трикомив. См., например, работу Трикоми [Т г 1- с о ш ! Р., СоггепП ИиЫе згавзоп1сЬе ей в[паз!оп1 а йепча!е рагз!я)1 й1 Про ш!я!о, Яепд. депе!пег. Мои Рог!по, 12 (1953), 37 — 52). 18. Можно показать, что для этой связи плотности и давления уравнение потенциала в плоскости х, у, а именно всбгда будет эллиптическим н', фактически является дифференциальным уравнением минимальных поверхностей. 19. См. также работу Клаузера [С1 а и з е г Р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
