Р. Мизес - Математическая теория течений сжимаемой жидкости (1161654), страница 113
Текст из файла (страница 113)
Мывидим,что в обоих случаях М вЂ” >О, тоО, Х вЂ” ч — оо. Первыйслучай обозначается через дт — ооо или а — >со; второй — через д-оО. Если некоторый предельный реаультат имеет место, скажем для Х вЂ” ь — со или для М вЂ” ьО, то при этом допускаются две различные ивтерпретации (возможыо, что одна из иих ые представляет интереса).
14. Полученная таким образом область сходимости несколько отличается от области, которая найдена в работе Мизеса и Шиффера, указеыыой в примечаыии 12 (стр. 500), и которая определяется ыеравеыством дв(ЗХв. Бергман показал, что функция ф может быть оцеыеыа вые этой области сходииости,(имеющей форму треугольыика) с помощью метода суммироваыия Бореля, и в своей работе Эоше ше!Ьойз 1ог зо1в!1опз о( Ьовпйагу ча!ое ргоЫешз о! 1!веаг раг!1э1 й!Негев!!а! ецыаПопз, ргос. Вушр. Арр1.
Ма!Ь. (А.М.Я.), ч. 6, 1956, р. 11 — 29, установил, что этот метод дает представление, которое имеет силу во всей дозвуковой области. В другой работе Бергман (В е г 6 ш а в 3., Ов зо1и!1овз о! 1шеаг раг!!а1 й!Пегев!!а1 едыаМовз о! ппхей !уре, Атос. У. Ма!А., 74 (1952), 444 — 474) получил представление, справедливое для 0')ЗХв. Одыако при устаыовлеиии связи этого представления с представлеыием для 0'(ЗХ' все еще возникают некоторые трудности. 15.
Следующий простой способ был указан Шиффером (в последнем письме к Г. Гейриыгер). Функция Р, определяемая формулой (26), замеыяетсв близкой к ыей функцией Р, для которой оценка (41) с функцией Уг, задаыиой соотношением (40), может быть получена для всех отрицательных зыачепкй Х. Эта фуыкция Р определяется следувощим образом: р(Х)=0 при Х( — А и Р(Х)=р(Х) при — А(Х(0. 555 Глава У Так как Р(Х) быстро стремится к нулю при Х-о — оэ, то функции Р(й) и Р(Х) будут сколь угодно близки одна к другой для достаточно большого А. Затем аналогичным образом преобразуются уравнения (29') и соотношения (29ед мы полагаеы Со=1' Си=О при )!( — А, Си+~ =Сп+РСи при — А( Х, и) О.
Из докавательства Мизеса и Шиффера (см. работу, укаэанную в примечании 12, стр. 499) следует, что такая функция, как Р().), удовлетворяет условию (41), н тогда легко видно, что оценка (43) имеет место для С„при всех отрицательных значениях й. Все сделанные в тексте утверждения будут верными и для атой модифицированной функции Р().), и мы получим реаультаты, которые следук>т иа соотношении (45).
Следует помнить, что Со(й) находится численно ив уравнений (29') н что всегда начинают с конечнмх (однако больших) отрицательных вначений й. Это овначает, что прн действительном вычислении Р заменяется на Р, а ф— на Со. То обстоятельство, что ряд (35), построенный при помощи функций С„, с любой ваданной точностью аппраксимирует теоретическое решение [в котором функция Р определяется формулой (26)], следует из устойчивости решения дифференциального уравнения в частных производных (8) прн небольшом изменении функции-коэффициента Р(й). Без такого свойства устойчивости любой численный метод был бы недопустимым.
16. Во многих публикациях, первая из которых относится к 1937 г. (см. примечание 9), Бергман последовательно показал, как преобразовать произвольную аналитическую функцию 7(э) одного комплексного переменного о=3+10 в решение и(э,э) дифференциального уравнения типа уравнения (21.8), где переменное о заменяется на Х. Он получил формулу +1 и ( э, э ) = 1ш ~ ~ Е (э, э, о) [ ( э— причем функция К должна удовлетворять некоторому дифференциальному уравнению в частных производных по трем независимым переменным и некоторому граничному условию (см. книгу Бергмана и Шиффера [1], стр.
287). Он также показал, что частный выбор Е приводит опять к ядру С, определенному формулой (35), в которой 2 замеяено на э. В 1954 г. Диас и Ладфорд [В ! а з 7. В., Ь в б 1 о г с) О. 8. 8., Ов !мо ше!)гобэ о1 йевега!!пй зо1выопз о! 1!веаг рагИа! б!Негепйа1 ецвайовэ Ьу шеалз о( йейп11е !в!ойта!з, Оиаг!. Арр!. Ма!)о., 12 (1955), 422 — 427] указали, что такое интегральное представление, как (49), уже было дано в работе Ле-Ру 1895 г.
[Б е Б о н х 7., Зкг 1еэ !в146га1ез беа бцвайопв Илеа1гез авх бег!теез рагйе11ев бп эесовб огата а бевх тат!аЫеэ !вберепбав!оз, Апп. ос!. осо!е пост. сир., Бег. 3, 12(1895), 227 — 316] и дали формулу для К в зависимости от К; см. также другую работу Диаса и Ладфорда [О ! а з 7. В., 556 Примечания и допоэненаа Ь и 4 1 о г д С. Я. Я., Оп !Ье !л!еЯга!!ол ше!Ьобэ о[ Вегбшап авй Ье Новх, Г)иатГ.
А рр); Ма!5., 14 (1957), 428 — 432). Заметим, однако, что Л9-Ру рассматривал гиперболические диффереициальвые уравнения,и иет указания яа то,что ов намеревался использовать свое представлепие в свали с мпогоэначвыми решениями и решениями, обладающими особенностями, таким образом, как вто сделали Бергмап и Лайтхилл.
С другой стороны, испольэовакие производящей фуикции К дает в данном случае определенные упрощения теории Бергмана, который испольэовал функцию .Е. Уравнение; которому удовлетворяет функция К, будет теперь таким же, как уравнение для фувкции и [см. уравнения (5!) и (5!')), и будет проще, чем уравнение для Е. Кроме того, когда К является производящей функцией, выбор подходящей функции !(!) [а именно, функции (53)[ становится весьма простым. Связь между К и Е была также получена Гибсоном неэависимо от других исследователей.
Во всяком случае, общее представление, данное в п. 7, является'лишь формой, которая получает свое содержание, когда определяются соответствующие частные производящие функции, как это было сделано Бергманом и Лайтхиллом. 17. Черри также сравкивает метод Черри и Лайтхилла с методом Бергмана [С Ь е г г у Т. М., Ве!аИов Ье!меев ВегЯшал'е алй СЬар1уййв'и ше!Ьофэ о( ео!г!л8 !Ье ЬойойгаРЬ ецпайов, Оиагт.
АРР!. Ма!5., 9 (1951), 92 — 94). В написанном Го [Ок-гуаем разделе книги [31[ имеется ошибочное утверждение относительно этой работы (последкие строки стр. 531). 18. См. работы Бергмана [В е г Я ш а и Я., ййпеаг орега!огэ 1в 1Ье 1Ьеогу о1 рагг!а1 4!Негепйа! айва!!еле, Ттаэю Аюег. Ма!5.
Яес., 53 (1943), 130 —, 155 (особеияо стр. 140 и далее); В е г 8 ш а л Я., Сегга!в с1аеееэ о1 ава1у!1с (впсйовэ о1 !Мо геа1 гаг!аЫев авй 1Ье1г ргорегйеа, Главк Атег. Магд. яос., 57 (1945), 299 — 331). 4 22 19. См. примечание П1.39. 20. Более детальное описавие явлевий этого вида можио вайти в работах, указанных в примечавии 1П.40.
21. Для случая несовершенного газа см. литературу, укаэанную в примечаниях П1.42 и П1.45. 22. Комбинация рассуждений, содержащихся в п.14.2 и в настоящем пункте, приводит к необходимым условиям, которые должны выполняться при внезапном переходе в общем случае иеустановившегося трехмерного движевия. Таким обраэом, мы находим, что условия (За) — (Зг) будут выполняться, если аэмеиить и па и' (компоненту относительной скорости, нормальиую к движущемуся раарыву) и положить и равной компоненте вектора скорости, такгекциалькой к поверхности раэрыва.
Будет выполняться также керавеиство (16). 23. Обсуждение исходных положений теории скачков можно найти в литературе, укаэанной в примечании П1.44. Условия ка скачке в случае установившегося плоского течеиия впервые были рассмотревы Мейером Глава 557 (см. примечание 1Ч.25). Некоторые алгебраические упрощения, произведенные в последующих пунктах, были предложены Биркгофом и Уолшем [В 1 г Ь Ь о 11 О., % а 1 в Ь 1. %., 5[о!е оп !Ье шах1шшы зЬосЬ йе11есМоп, 4)иагг.
АРР!. Ма!5., 12 (1954), 83 — 86] и ШУбеРтом [8 с Ь ы Ь е г ! Р., Хыг ТЬеоНе йев з!а!!опагеп Чегй1сЬ(ыпйза!овзш, 2. алеем. МаБи ипй Моей., 23 (1943), 129 — 138]. 24. Это является основой метода аппроксимации, который был предложен Аккеретом [А с Ь е г е ! 1 ы Ьы]!Ьга]!е аы1 И68е1, й1е шИ 8гбзвегег а!з ЗсЬаП8евсЬчйпй!8Ье!! Ьетге8! ттегйев, 2.
Р!иуееед. Магог!иугоейщайгд 16 (1925), 72 — 74; эта работа включена в книгу [20]]. Метод Анкерета эквивалентен теории малых возмущений или линейыой теории; см. примечание 1.20, а также примечание Ч.64. Этот метод был обобщен Бувеманом в риде работ [В ы в е ш а ы и А., Аегойуваш!зсЬег АыйшеЬ Ье! ()ЬегзсЬа118еас)пИпй!8Ье!1, Г.иЯадгЦогмдипу, 12 (1935), 210— 220; эта работа включена виниту [20Ц. Более поздней является работа Фридрихса, указанная в примечании 1И.46.
Более пространное обсуждеыие и список литературы можно найти в написанном Лайтхиллом разделе книги [31). 25. Этот результат принадлежит Прандтлю [Р г а и й 11 Ь., Ве!!гайе зыг ТЬеог1е йег Пашр[з(гошыпб йвгсЬ Пбзев, 2. Уег. йеия е пут., 48 (1904), 348 — 350], тогда как более общее соотношение (20) было получено Мейером е работе, указанной в примечании 1Ч.25.
26. Эти соотношения между с, тэ Мпе Меп (а также $, ц, М,', Мз в случае одномерного неустановившегося'течения) будут теми же самыми, что и соотношения между $, т), М„М, длы прямого скачка; таблицы для последнего даны, например, в книге [37]. Они дополняются таблицами для определения угла наклона скачка пп когда М, и отклонение 5 известны (см. следующий пункт). 27. См. написанный Бувеманом раадел [В в з е ш а п в А., Чегй!сЬ- !ыпйзв!базе 1и еЬепеп Сава!гошыпйев] в книге под редакцией Жилая, Хопфа и Кармана [С 1 1 1 е а А., Н о р ! Ь., К а г ш а и ТЬ., Чог!г38е аыз йеш СеЬ]е!е йег Аегойупаш!Ь ывй чегмапй1ег СеЫе!е (АасЬеп 1929), ВегИв, 1930, 8.
162 — 169). Это понятие детально обсуждается также в книге [19), 4 27. 28. Это — приближение нулевого порядка. С точностью до членов первого порядка относительно (1 — ое/о,) можно считать, что скачок в каждой точке делит угол между каждыми двумя характеристиками С' и С пополам; это следует нз свойства касания, которое будет описано далев в основном тексте. С точностью до членов первого порыдка можно считать далее, что хорда ДЯз ударной поляры составляет равные углы с касательными к ней в концах хорды и что касательная к ударной поляре в точке 4)е совпадает с касательной к характеристике Г-, проходящей через точку 4!е. Этот результат определяет положение скачка в теории первого приближения (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
