Р. Мизес - Математическая теория течений сжимаемой жидкости (1161654), страница 111
Текст из файла (страница 111)
Большинство определеыий и результатов, приведеыиых в этом пуыкте, являются ыовыми. Несколько замечалий, отлосящихся к этой теме, имеются у Бауера [29], стр. 227, и (частичыо неправильных) во второй статье Рикглеба (см. примечание 30), а также в моиографии Манделя (см.примечаиие 32) для вадачи, до известкой степени аналогичной рассматриваемой нами 35 а Примечания и дополнения задаче. Недавно появились посвященные этому же вопросу статьи Гейрингер [О е ! г ! а 3 е г Н., ОгеазИа1еа йег НойойгарЬеа!гааз1огшаИоа, йеагй.
2., 63 (1956), 514 †5) и Ладфорда и Шота [Е а й 1 о г й 6. 8. 8., 8 с Ь о ! 8. Н., Оа зоа1с11шН 1шез !а !Ье ЬойойгарЬ ше!Ьой, там же (1957), 229 — 237). Доказательство геометрических свойств звуковой предельной линии на стр. 359 в нашей книге принадлежит Ладфорду и Шоту. Кроме того, их статья содержит новый пример звуковой предельной линии. Недавно Шот обратил наше внимание на тот факт, что в совершенно обычном примере (п..20.3) в звуковой точке на предельной линни,йе производной фэ не существует.
Следовательно, предлагаемая в этих двух статьях классификация особенностей предельного типа, которая основана на анализе не только поведения чз, ф, но и поведения мз, юч, должна бытьмодифицировзна, хотя в настоящей книге это еще не сделано. 36. Рассмотрим опять двумерное многообразие оу в пространстве х, у, 5, ц (см. примечание 34).
Прообраз линии 6, в четырехмерном пространстве принадлежит к нстнвному контуру многообразия оу'. Он разделяет два листа многообравия еу, которые при проектировании на плоскость 5,0 перекрывают некоторую часть этой плоскости дважды. 37. На многообразии еуе в четырехмерном пространстве касательная к такой линии перпендикулярна плоскости З,е) в точках ее пересечения с истинным контуром; следовательно, ее проекция на плоскость $,е) имеет точку возврата. Проекция же ее на плоскость х, у имеет точку перегиба. 38.
Лайтхилл [Е ! 8 Ь ! Ь ! 11 М. !., ТЬе ЬойобгарЬ !гааз(огшаЫоа !а !гааз-зоп1с Йом. 1. Вушше!Нса! сЬааае1з, Ртое. Псу. 8ое., А, 191 (1947), 323 — 341) определяет и исследует ливии ветвления в двумерном околоввуковом течении. См. также примечание Ч.56 относительно работы Черри. Мы нашли линию ветвления — для одномерного неустановившегося течения — в гл. П1 (см. рис.
62). 39. Относительно одномерного неустановившегося течения см. статью Стокера и Мейера [8 ! о с Ь е г Р. М., М е у ег В. Е., А во!е оа !Ье соггезроайеасе Ье!меев !Ье х, с-р1аае апй !Ье сЬагас!епз!1с р1аае 1а а ргоЫеш о1 !а!егас!!оа о! Р1аае матея о( Вийе ашр1Ивйе, Ртое.
Сеие6тгйуе РАПое. Яое., 47 (1951), 518 — 527). й 20 40. Основным источником для этого параграфа и, в частности, для п.1, 2 и 6 служит статья Чзплыгнна, указанная в примечании 5. 41. Чаплыгин, имея в виду задачу о дозвуковой струе, вводит величину 2п, тогда как мы (как и большинство авторов) применяем и. 42.
Что касается литературы по гипергеометрическим функциям, то мы упомянем здесь описание их в книге Уиттекера и Ватсона [8[, монографию Кэмпе-де-Ферье [5[ и монографию Клейна [К 1 е ! а Р., Чог1езаайеа вЬег й!е Ьурегбеоше!НэсЬе Рвай!!оа, ВегПа, 1933).
См. также примечая пня 49 и 50. 43. Выражение, стоящее в правой части этого равенства, представляет собой сумму двух независимых решений гипергеометрического уравнения, Глава 1 у а именно у=Ау»(т)+Ву,(т), где у,(т)=Р(а, Ь, а+Ь вЂ” о+1; 1 — е) в у»(т)=(1 — т)' а Р(е — а, е — Ь, о+1 — а — Ь; 1 — е). Коэффициенты вдесь выбраны таким образом, чтобы у(0) =1 и у (1) = =Р(а, 6, е; 1) (»преобразование Гаусса»).
44. Исследование ранений с особенностями в проиввольной точке дозвуковой области («фундаментальные решения» и т. д.) проведено в статье Бергмана [В е г 6 ш а в 3., Тмо-й!шеив!опа! виЬвоп!с Поки о1 а сошргевв!Ь- !е Пшй аий СЬе!г вЬ»йи)аг!С!ев, Тгаве. Атее. Ма»Ь. Вое., 62 (1947), 452 — 493]. Недавно Финн иДжилбарг [Р ! и и К., С ! 1 Ь а г 9 В., АвушргоПс ЬеЬат!ог аий ип!Чиеиевв о! р1апе виЬвошс Поки, Соттиле Риге Арр!. Ма»Ь., 10 (1957), 23 — 63] покаэали, что особенности, рассмотренные Бергманом, представля!от собой самые общие особенности, которые могут встречаться в течениях, являющихся доэвуковыми в окрестности бесконечно удаленной точки.
Фундаментальные решения для уравнений »смешанного» типа (см. 4 25) научались Я(ермаком [Се гш а 1п Р., Кешагйв ои СЬе СЬеогу о1 рагс!а! йГИегепйа1 ециаС!опв о! ипхей Суре апй аррВсаС!оив Со СЬе вСийу о1 Стаивав!с Почг, Соттиле Риге Арр!. Магд., 7 (1954), 117 — 143]. 45. Следуя Чаплыгину, мы испольэовали вдесь переменную т=у»/уют поскольку такой выбор приводит к гипергеометрическому уравнению (7'), теория которого хорошо разработана. Некоторые немецкие авторы [Ринглеб (см.
примечание 12), Бауер [29] и Гамель (см. примечание 9)] польвуются переменной Ф а не т. Это приводит к обыкновенному дифференциальному уравнению второго порядка, решения которого испольэуются таким же способом, как в теории Чаплыгина испольвуются решения с гипергеометрическими функциями. 46. См. статью Ринглеба, укаэанную в примечании 12. Этот пример замечателен как один иэ первых примеров трансэвукового потенциального течения беэ скачков, а также как пример течения с местной сверхзвуковой областью и интересной предельной линией ] имеющей точки воэврата. (Ск.
дальнейшие рассуждения, а также п.25.3 и 25.4.) о) 47. Течение (21) исследовано Темплом и Ярвудом (см. примечание 30). Случай а= — 1 является исключительнь»м, так как при этом [см. формулы (8) ] не только е д, но также и а ! обращается в нуль. Значит, функция ф, эдесь фактически нвляется неопределенной и может быть найдена (см. [24], т. 1, стр. 239) как ф »(т)= 11ш ф»(т). и-~-! о) Физически реаливующиеся течения с переходом череэ скорость эвука были впервые построены Татаревчиком [Т а т а р е в ч и к В. В., О частаых решениях уравнений газовой динамики„Лриал. лат.
и лев., 3, вып. 5 (1944), 401 — 412]. Им были найдены точные решения уравнений Чаплыгина, соответствующие течени»о внутри угла и обтеканию плоской пластянки.— )урил. иерее. 550 Примечания и дополнения В результате мы имеем ф, (т)=т '+ ф, (с). Замекяя ф„(т) выражеяием, иайдекяым в основном тексте атой книги, получаем (т)=2х+1 чш — 1 т Ое (1 .)х/(х-е> 2х 2х что в самом деле представляет собой линейную комбинацию двух частных решеиий (15) п (21). 48. Возьмем, например, т=2 или а=х/2. Это решение, представляющее собой течение сжимаемой жидкости вяутри угла, было исследовано Вильямсом [чч' ! 111 а ш з 1., ТЬе гио-Й1шевз!опз) 1гго!аПова1 Пом о1 а сошргезз1Ые Пшй !и 1Ье аспге ге8!оп шайс Ьу !чоо гес!П1пеаг чаПз, Оиагс. е.
Масл., Ох1огй Яег., 2 (1949), 129 и далее). В этом случае мы имеем =Агу(2г/е, — 3, 3; т) з!и 26, где гипергеометрическая функция сводится к полииому третьей степени по т. (См. также прпмечакие 50.) 49. Следуя ранней работе Гаусса и работе Гурса [О о и г з а ! Е., Явг 1'бцпа1юп Й!Пдгеп)!еПе 11пеа1ге цш айше! ропг !'!и!48га1е 1а зег1е Ьурегбеоше1пцве, Раг1з, 1881), Лиццевбф указал справедливое для этого случая решение, которое содержит логарифмический член; см. уравкеиие (11), стр.
13 вето статье [Ь ! и й е1 о1 К. Ь., Япг1'ш!ебгаПоп йе !4цпа1!оп Й!ПегевПейе Йе Кпшшег, Асса Яос. Юс!. Репи!сае, 19 (1893), 3 — 31[. Логарифмический член умножается здесь ка т-"; поскольку и отрицательно, это произведение стремится к нулю при т — ч О, однако разложевие стремится к едииице. Формула Линделефа в явной форме и в обозначениях, применяемых в задачах аэродинамики, дана вместо с таблицами в работе Гаррика и Каплана [О а г г1 с Ь 1. К., К а р! а и С., Оп !Ье Поп о1 а сошргсзз1Ые Пшй Ьу !Ье ЬойойгарЬ ше!Ьой. 11. Рппйашеп!а! зег о( рагИсп1аг Пов зо1вПовз о1 !Ье СЬар!у6!и' ЙРЛегеп11а1 ецпа!1ов, БАСА Берг.
№ 790, 1944). См. также работы Хуккель [Н в с Ь е1 Ч., ТаЫев о(Ьурегйеоше!г1с !спс!!опз 1ог пзе ш сошргшз!Ые-Попс 1Ьеогу, )ч[АСА Т)Ч 1716, 1948[. О'Брайен [О'В г ! е и Ч., Вешагйз оп СЬар1у6!и ЬшсИопз, У. Аегопанк бс!., 23 (1956), 894 — 895; ЫОгй 7386 еоЬпз Норрйпз Ип!тегзйу, Арр1. РЬуз.
ЬаЬ., С.М-871 (1956), 1 — 6[ указывает те звачеиия п, для которых ке только с, ио также а или Ь являются целыми отрицательными числами, что приводит к частлым случаям логарифмического решения. О'Брайеи дает формулу, которая в этом случае замекяет формулу Гаррика и Каплана. Первые значения и, для которых это имеет место, будут п= — 2, и= — 5, и= — 12. Как показано О'Брайек, в таблицах Хуккель данные, соответствующие и= — 2, п= — 5, п= — 12, являются иеправильвыми по существу. (Рыпекие для и= — 2, а=270', данков Дейвисом, см. примечавие 50, правильио и ие завйсит от этих ошибок.) 50.
При а=270 и к=у=с/е мы имеем и= — 2, а= /з, Ь= — 5, с= — 1; таким образом, здесь ие только с, яо и Ь является целым отрицательным числом (ср. с предыдущим приьгечавием). Дейвис, используя равее опубли- 551 Глава У кованные работы Томила и Ярвуда и работу Лайтхилла, рассчитал зто течение и эатабулировал гипергеометрические функции, которые требуются для этих расчетов; см. работу Дейвиса [В а ч ! е з Н. 1., ТЬе 1мо-й!гасы(ова1 !гго!аИова1 Пои о( а сошргезыЫе ПпЫ агоппй а согпег, Оиагг.
в. Меод. апй Арр!. Магд., 6 (1953), 71 — 80]. Статья Темпла и Ярвуда, которую использовал Дейвис, указана в примечании 30. Разложение функции Р для случая е= — 1 (и= — 2) дано Лайтхиллом [1, 1 8 Ь ! Ь ! 1 1 М. 1., ТЬе ЬойойгарЬ !гапз1опааИоп !в !гвызошс Поч. Н. Авхй!агу !Ьеогешз оп !Ье Ьурегйеоше!Нс (впс!!овз фп(т), Реве. Воу. Вве., А, 191 (1947), 341 — 351]. 51. См.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
