Р. Мизес - Математическая теория течений сжимаемой жидкости (1161654), страница 107
Текст из файла (страница 107)
Рнмав рассмотрел также случай к=1 (нэотермический случай; Р/9=се постоянно), для которого уравнение (43) заменяется следующим уравнением: 534 Примечания и дополнения юопа1 Яаэ е)упаш!сэ, Бсвй!еэ 1п ша1ЬешаВ!сэ авб шесЬашсэ ргеэеп!еб !о й!сЬагб М!эеэ, Кем г'огй, 1954, р. 184 — 19Ц. В этой работе даются также другие примеры. Можно иайти функцию Римана для етелеграфного ураниеиияэ (см. книгу (2), стр. 301) дои — +и=О, д5 дг) заметив, что для и=ед1+ч))г ово сводится к ураваеиию вьппеукаэаппого типа при Л=!.
Следовательно, мы находим 1)=Ус (2 Р (6 — 8г) (ц — г)г)), где Хе — фуикция Бесселя нулевого порядка. 23. См. работу Миэеса, укаэапкую в примечавии 20. Численные и гра- фические методы, аналогичяые методам, описаввым в конце пА6.7, были девы соответственно Шульц-Грюяовом (Б с Ь п 1 1 э-О г в и о и Р., Х!сЬ1- э!аЫоваге е!пйшепэ1ова1е ОаэЬеъе8авй, Рогзел. Сейе!е упдеп!еигыееепе, 13 (1942), 125 — 134) и Зауером !Я а и с г й., СЬагас!сме!Гаевчег1аЬгев Ьйг й!е е!пе)!шева!опа!е шэгаИопаге Оаээ(гошвпй, упд.-АгеЛ., 13 (1942), 78 — 89). 24. При соответствующем истолковании формула Римана (10.17) все же может применяться в таких случаях, как этот; см,.
работы Ладфорда [Ь в е) (о г 6 О. Б. Б., Оп ап ех!епюоп о1 й!ешапп'э ше!Ьод о1 ш!ейгаИоп чп1Ь арр!!са11овэ !о опе-6!шева!ова( йаэ дупаш!сэ, Рпн. Сатдг!дуе РИ!ое. Яое., 48 (1952), 499 — 510; Ь п 6 ! о г е( О. Б. Я., й!ешапп'в шегЬое) о1 ш!е8га- Иов; Нв ех!еве1оп ъ!!Ь ав арр1!саМоп, Сойеегапеа МагЛ., 6 (1953), 293 — 323). 25. См.
работу Мизеса, указанную в примечавии 20. Эта эадача рассма- тривалась также Таубом (Т а в Ь А. Н., 1пгегас!!ов о1 ргойтеээ1че гаге1ас- Ф!оп чгачеь, Апи. Магй., 47 (1946), ЯИ вЂ” 828); см. также п. 13.4. Частпый случай, относящийся к баллистике, рассматривался Лявом и Пиддаком в статье, укаваяяой в примечании 19. Конечно, те же самые результаты могут быль получены методом Римана, ко ие столь вепосредствевно. 26.
Только три иэ втих условий являются независимыми. Эффект выбора других эиачеиий 7,', у,', 1,", д,", е и Л, которые удовлетворяют соотношениям (53), эаключается в добавлении к ! члена а+Я-(-79э+69э, а к д — члена — а+()ц — уце+бце, где а, 6, у, 6 — постоянные. При этом к выражению (42) для У просто добавляется постояпвое слагаемое, которое яе оказывает влия- вия иа х и г как функции и и о, определеяаые формулами (47). Мы можем положить С=О, яо в примере, который будет рассмотрен в п.13.5, более удобно ваять С=~О.
27. Только пять иэ этих условий являются независимыми. Влияние вы- бора других экачеяий десяти постояявых сводится к добавлеиию к у члева а+()3+73е+65е+э5е, а к г — члена — и+()ц — уг)е+бг)э — ег)е. Кэк и ра- нее, а, (), у, 6 ке оказывают влиявия яа кояечаый реэультат, тогда как е просто смещает начало отсчета по оси х. 28. См. работу Мизеса, укаэанную в примечании 20. Эта эадача рассма- тривалась также Бехертом (В ее Ь е гс К., Еаг ТЬеог!е еЬевег Я!6гпвйеп ш ге!Ьвп8э(ге(еп Оаэеп, 1, А пи. РЛуе., Бег.
5, 37 (1940), 89 — 123; П, там же, 38 (1940), 1 — 25). 535 Гласа Н! 29. Общее решение однородных уравнений, соответствующих системе (61), будет таково: [=Яе+Яе$+ 6е5'+Яейе, У = — Яе+ лег) — а ее]с+ Яег)' но при данном подходе добавление членов ВзЯ[а(с)] и г)еЯ[а(г))] в выражения (62) не оказывает влияния на окончательный ответ. Эквивалевтвый, но менее изящный результат получается обычным методом вариации постоянных, когда полагают Уз=Уз=О; вместо этого вы полагаем Я=О и Уз=Уз. 30. Такая задача возникает при рассмотрении скоплений межзвездного газа, см., например, работу Копсона, указанную в примечании 20, и работу Пака [Р а с Ь П.
С., А посс ов 1Ье ппзсеайу шойоп о1 а сошргезз1Ые Пшй, Рте. Сатбггауе РАПсе. Вес., 49 (1953), 493 — 497]. 1 13 31. Ретпения, з настонщее время иззестэьге под названием простых (илн прогрессивных) волн, были найдены Пуассоном [Р о 1 з з о и 8. П., Мешо1ге зпг 1а 1Ь4оНе йп зов, Х. есе1е ре191еса., лег. 1, 14 (1808), 319 — 392] для частного (изотермического) случая к=1. Позднее Эрншоу [Е а г и з Ь а и 8., Ов $Ье шатЬешаМсз1 1Ьеогу о1 зоппй, РЫ1ее.
Тгаве. Лсу. Зсс. Ьеийсв, 150 (1860), 133 — 148] обобщил зту теориео на общий случай баротропного течения. Обсуждение этого случая можно найти в работе Рзлея, указанной в примечании 3. Риман в работе, укаванной в примечании 11.23, показал, что произвольное ограниченное воамущение в неограниченном объеме покоящегося газа в конечном итоге распадается на две простые волны. 32. Геометрическиепредставления,такие,какогибающаяЕ,испольвуются в работе Геогонио, к которой мы будем вынуждены обратиться повднее [Н о З о и 1 о 1 Н., Мйшо1ге зпг 1а ргораЗа11ов йв шочешепс йапз 1ез сот]и, е1 зрес1а1ешепс йапз 1ез Заз раг(аПз, е. есс1е ра1угесй., Лег.
1, 57 (1887), 1 — 97; 58(1889), 1 — 125]. ЗЗ. Цевтрированные волны использовались Римапом (см. работу, указанную в примечании 11.23) при рассмотрении начальных разрывов. 34. Возможность разрушения такой простой волны впервые была указана Стоксом [8 1 о Ь е з О. О., Ов а йППспНу (п 1Ье 1Ьеогу о1 зопвй, РИ1се.
Мах., Лег. 3, ЗЗ (1848), 349 — 356; 81 ой ее О. О., Ма1Ьешайса1 авй зс)ев11йс рарегз, ч'. 2, Ьопйоп, Хек г'огЬ, 1883, р. 51 — 55]. Стокс рассмотрел изотермнческий случай. Этот результат был распространен на общий случай баротропного течения Римаком (работа, указанная в примечании П.23). Чисто аналитическое исследование изменения вида простой волвы можно найти в работе Эрвшоу (см. примечание 31) и в книге Куравта и Фридрихса [21], стр. 935 — 106.
35. Случай, когда задается движение поршня, впервые был рассмотрев Эрпшоу (см. примечание 31), а затем Гсогоиио (см. примечание 32), Рэлеем (см. примечание 3) и Пиллау [Р 111 о и А. Р., 'ГЬе 1огшаИоп апй ЗговтЬ о( зЬос1г мачеа (п 1Ье опе-й1шепз(опа1 шойоп о1 а Зез, Ргсс. СатЬгИус РАЫ 1се. Зес., 45 (1949), 558 — 586). В известной задаче баллистики, впервые изу- 536 . Прин«чанам и дополнемил чевяой Лаграижем в 1793 г., путь поршня должен определяться; см. работу Пуассона [Р о 1 з з о в 8. П., ропвв!ев ге!а!!тез ав шотешев! йа Ьов!е! йавз !'!в!4г!евг йп сапов, ех!гитев йез шапвзсН!з йе Ьайгавбе, У.
еео!е ро!г/«ей., Бег. 1, 21 (1832), 187 — 204] или самого Лагранжа [Оеатгез йе Ьайгавбе, т. 7, Райз, 1877, р. 603 — 615]; подробное обсуждение етого вопроса можно найти в работах Лява и Пиддака (см. примечание 19) и Платрие [Р ! а ! г ! е г М. С., Апа!узе йп ргоЫйше Ьа[!з!!«(ае йе Ьабгавйе, Меп». ам!!!ег!е /таад., 15 (1936), 431 — 477 ]. 36. Таким образом, в соответствии с формулами (13.11') мы имеем /о ~ь» г,= ', о, Г а« ' так что пРи !»/!«=9«/9«=(ао/а«) и о»=(о»+«т)/2 иахоДим ь« 37. Задача о взаимодействии симметричиых волн эквивалептяа вадаче об отражении одной иэ пих от неподвижной стенки (линии симметрии). Последяий случай имеет место в задаче Лагранжа (см. примечавие 35). Взаимодействие простых волн общего вида было рассмотрено Таубом в работе, укававиой в примечании 25.
38. Де Прима показал, что существует определенная связь между этой функцией с и фуяяцией Римана ураввения для ! [уравнения (12.34) при и= — 3]; см. книгу [21], стр. 192 в 194. Таким образом, при произвольном и зто решение в облает»г взаимодействия будет Г=«Ф (о»* сь' «ь Ч)' функция Я(Ц,»);$», г)») определена в примечаиии 22; и= — (к+1)/2(н — 1) [см.
формулы (12.33)]. Зяая г, можно определить соответствующую фувкцию а, интегрируя систему (12.23). Несимметричные волны, центры которых имеют одно и то же зиачеиие г, могут быть сделавы симметричкымв путем паложеяия ва все течение надлежащей постоянной скорости. 1 14 39.
Следует подчеркнуть, что это является прямым обращевием к опыту. Чтобы установить аналогичное противоречие в случае установившегося плоского течевия, иеобходимо более точное представление эксперпмевтальвых данных (см. п.22.1). 40. Порядок системы дифференциальных уравиеиий, описывающих такое движевие, понижается, если положить )»=О. Такая система естественным образом приводится к описанию так яааываемого аспмптотического явлевия (см.
конец п. 2), которое в динамике жидкости впервые появилось в «теорив пограничного слоя» Правдтля; см. работу Пракдтля [Р г а в д ! ! Ь., ОЬег р!бзз!8Ье!1еЬемейспб Ье! зеЬг Иешег Верйвпб, Че»Ьавй!. Ш ш!егва!. ша!Ь. Копйгеззез, Не!йе!Ьегб, 1904, 8. 484 — 491], которая включена в книгу Правдтля и Беца 'Р г а в й ! Е. В е ! з А., Ч1ег АЬЬалд[ввйеп звг Нуйго- Глава 111 537 йуваш!Ь впй Аегойупаш(Ь, Оош1пйев, 1927, Б. 1 — 8]. Асимптотический характер пограничного слоя позднее был указал Карманом [К 4 г ш 4 и ТЬ., йЬег 1зшшаге впй зпгЬв1ев1е Ве1ЬппБ, 2.
алеем. Ма№. иий Меейи 1 (1921), 233 — 252] и Мизесом [М 1 з е з В., ВешегйапБев зпг Нуйгойупаш1Ь, там же, 7 (1927)„425 — 431]. Обзор многих сторон асимптотического явления можно найти в работе Фридрихса [Р г 1 й г 1 с Ь в К. О., АвушрзоМс рЬепошева !в ша(Ьешв11са1 рЬуз1сз, Вий. Атее. Маей. Бее., 61 (1955), 485 — 504]. Техиика получения равномерно точных приближений в таких задачах была развита Лайтхиллом и другими; см. статью Цянь Сюв-сеня [Т з 1 е и Н.
Я., ТЬе Ро1псвге — ЫБЫЫП вЂ” Кво ше!Ьой, Айчавсев ш арр11ей шесЬашсз, ч. 4, 1956, р. 281 †3; русский перевод: Ц я и ь С ю з-с в н ь, Метод Пуанкаре — Лайтхилла — Го, сб. Проблемы мехавики, вып. 11, Издатинлит, 1959, стр. 7 — 62]; см. также п. 24.5 и 24.6. 41. См., например, книгу [24], стр. 109 и далее. 42. Для несовершенного гава величина Чр/(у — 1)9 должка быть ваменеиа -евтзльпией газа 1(р,о); см. уравнение (2.23').
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
