Р. Мизес - Математическая теория течений сжимаемой жидкости (1161654), страница 116
Текст из файла (страница 116)
68. См. статью Фридрихса в Флаидерса [Р г ! е й г ! с Ь з К. О., Р 1 а ой е г з О. А., Ов !Ье поп-оссоггеосе о1 а Иш1!1пй Иве ш !гапеоп!с 11ом, Сеттипв Риге Арр1. Маей., 1 (1948), 287 — 301), а также реферат этой статьи, написанный Цянь Сюз-секем [Т з 1 е и Н. 8., Арр!. Ма«лапше Леее, 3 (1950), № 753] и последующую дискуссию. 69. См. работу А. А.
Никольского и Г. И. Тагакова, Движевие газа в местной сверхзвуковой зове и некоторые условия разрушения потевциальяого течения, Прин*. нат. и нех., 10 (1946), 481 — 502. 70. См. работы Макузлла [М а п»г е 1! А. В., А по!е оп !Ье ЬойойгарЬ 1гапз1огшаИоп, Оиагп Арр). Магд., 10 (1952), 177 — 184], а также Моравец и Колодпера [М о г а из 1 з С. 8., К о! о й и е г 1. 1., Оп !Ье поп-ех!з!евое о1 1!шИ(пй 11пез ш 1гапзоп)с 11оче, Саттипе Риге Арр!. Ма»А., 6 (1953), 97 — 102; русский перевод: М о р а в е ц К., К о л о д п е р И., Условия отсутствия предельных линий в околоввуковых течениях, сб., Механика, № 2 (1954), 14 — 19].
71. См. работу Адамаре, указанную в примечании 1.24, стр. 4. Это определение в явном виде не дается па стр. 4 пли где-либо'еще в давкой книге. Однако око следует из весьма прозрачных рассуждений, прбведеввых в гл. 1 и Н его книги. 72. Другов доказательство, которое немного длиннее, ио ближе к идеям Мизеса и, возможио, более прямое, чч«доказательство, приведенвое в тексте, состоит в следующем. Мы докажем, как и ранее, «закон мояотонности».
Затем, следуя А. А. Никольскому и Г. И. Тагапову (см. примечание 69), мы докажем, что 6 и е являются монотонными функциями вдоль еадапиого отрезка характериствки, скажем Се, который находится внутри сверхзвуковой зовы, причем характеристики С, исходящие из точек характериствки С+, заканчиваются па звуковой линии. Далее рассмотрвм точку Р ва ковтуре в сверхзвуковой области и характеристики С+ и' С, Гаага проходящие через точку Р в иаправлеипи к внуковой линии Ю; обозначим через дг» и дг соответствующие ликейвые элемевты. Из мокотокиости иэме- иеяия скорости д вдоль характеристик С+ и С следует, что дд/дега;0 и дд/дг~(0. Кроме того, после небольшого вычисления получаем 1 дд 1'дд — й — — с18 а, дювадг„д дг 1 дд 1 дд — =й+ — — с18 а и дз!паде, д дг где й — кривизиа в точке Р. Если затем й=О вдоль сколь угадка малого отрезка контура, то из этого следует, что ка этом отрезке также дд/дгг= =дд/дг,=дд/д«=0, и выводы, приведенные иа стр.
509, применимы. 73. В неопубликованной работе «Отсутствие траксзвуковых течений около профиля с кривизной, обращающейся в вуль» Моравец получила болев сильный результат, чем результат А. А. Никольского и Г. И. Таганова. Предположим, 1) что прививка й произвольной линии тока является непрерывной функцией длины ее дуги в сверхзвуковой области, включая и сам профиль, и 2) что й яе обращается в нуль ки в одной из двух зв)[левых точек иа профиле.
Если затем й обращается в нуль в точке па профиле в сверхзвуковой области, то тогда либо дьр/дд, либо дьр/дд должке обращаться в бесконечность, по крайией мере в одной точке. 74. Ом. работу Ф. И. Фраикля, К образоваиию скачков уплотнения в дозвуковых течеииях с местяыми сверхзвуковыми скоростями, Прина. льат. и мех.ь 11 (1947), 199 †2, работу Гудерлея [О и ь( е г 1 е у О., Оп !Ье ргезепсе о1 зЬос)ьз и» ш!хе«[ зпЬзоыс-зпрегзошс Поп раме»из, Абчалссз !в арр!!еь) шесЬав1сз, ч. 3, 1953, 145 — 184; русский перевод: Г у д е р л е й Г., О необходимости существования скачков уплотнения в смешанных потоках, сб. Проблемы мехавики, Иэдатиплит, 1955, стр. 455 †4) и его книгу [ТЬеог!е эсЬаПваЬег 81гошвпдев, Вег1ш„1957; русский перевод: Г у д е рл е й К.
Г.; Теория околозвуковых течений, Издатпвлит, 1960[, а также работы Буэемаяа [В в з е ш а и в А., ТЬе ь)тай ргоЫеш а« Ы8Ь зврегэов1с грезь)зь л. Аегепаиг. Яе!., 16 (1949), 337 — 344; В и з е пь а и и А., ТЬе вовах!- э!епсе о( «гаввошс Пома, Ргос. Вушр. Арр!.
Ма!Ь. (А.М.8.), ч. 4, 1953, р. 29— 39). В высшей степеии соблазнительны доводы Буэемака и Гудерлея откосительво сосредотсчеяия возмущений в звуковой точке яа профиле, которое может вызвать значительное изменение в картине течения. Маиуэлл [М а вьч е 11 А. К., ТЬе чапаИоп о[ сопьргезз!Ые Почьз, Оиагг. л. Меей. ань/ Арр!. Магй., 7 (1954), 40 — 50; русский перевод: М а пуз л л А., Варьировал вие сжимаемых потоков, сб.
Механика, № 2 (1956), 94 — 103[ применяет тео-' риьо возмущений к траксзвуковому вихревому течевию, т. е. к течению с циркуляцией около кругового цилиндра (п.17.4). Оя показал, что малым ламекекиям границы соответствуют, вообще говоря, малые изменения картины течеиия. Однако при некоторых отдельных вяачеииях скорости возникает иечто вроде явления резонанса. 75. Некоторые числевкые исследования уравнения Трикоми указываютса в работе Берса (см.
примечаиие 60) и в работе Трикоми (см. примечаяие 11.27). ь/» 36 Миге« 566 Примечания и дополнения 76. См. работу Ф. И. Фраикля, указанную в примечании 74. Другое обобщение вадачи Трикоми было рассмотрено Еллерстедтом; вначения и были авданы па С и, кроме того, на характеристиках От, и От«(рис. 174) или на д т«и 3«т» [О е11 е ге $ е с] ! Я., (]ве)цвее ргоЫЬ!пеа ш!х!ее роог 1'ецвай!ов утс»» +«ее=О, А гй. Мак А««гап. Ру»., 26А(1938), № 3]. В последней работе Проттера [Р г о 1 1е г М. Н., Упкйвевшв ЬЬеогеше (ог 1Ье Тг)- сош1 ргоЫеш, П, Х.
Вам«па! Мссй. апд А па!уз!«, 4 (1955), 721 — 732] суммируются предыдущие результаты к доказывается новая теорема единственности; ср. с предыдущей одноименной работой того же автора [Х. Района! Мссй. апд А па(у«(в, 2 (1953), 107 — 114] и его работой [Ав ехМ!енсе ЬЬеогеш 1ог 1Ье йевега!!ход ТПсовп' ргоЫеш, Вийе Мачй. Х., 21 (1954), 1 — 7]. См. также работу Моравец [М о г а ч е 1 х С. Я., А вв!9вевеве !Ьеогеш 1ог РгапЫ'в ргоЫеш, Саттип«Рите Арр!. Масй., 7 (1954), 697 — 703]. 77. Нелинейность этого уравнения в фиеической плоскости не должна оказывать решающего влилпия па проблему единственности. Можно покаэать« что разность «е(»,у) двух решений квеэилинейного уравнения а»„„+ +2Ьз»в+саче+А=О, где а, Ь, с, д являются функциями от», у, а„и ач, но не зависят явно от а, удовлетворяетлинейномууравнепню вида а«»»»+2Ьы ч+ +емче+с)ы»+сюэ — — О. [Простое доказательство мокша найти в работе Джилбарга, указанной в примечании 61 (стр.
235 и далее); см. также работу Берса, укаэанную в примечании 60 (стр. 98)]. 78. В неоднократно цитированной эдесь работе, Беро формулирует несколько «предполагаемых теорем отсу гствия решения». Прсдпслаатснис А трактует вопрос об отсутствии решения в основном так, как объяснено в тексте.
Предполагается, что существует травсэвуковое течение с эаданной скоростью д около профиля Р; тогда не существует гладкого потенциального течения с той же самой скоростью д около профиля Р, который отличается от Р только вдоль «критической дуги» (дуги Т,Т, на рис. 175). Предположение С содержит более слабое утверждение, что для травсввуковых течений около профиля Р «задача возмущенного движения» в классическом смысле является некорректно поставленной еадачей. Пр«дполса««апис В учитывает изменение скорости у В последней работе Моравец [М о г ам е ! х С.
Я., Ов 1Ье вол-ех!э!енсе о1 сопгшвоое !галвов!с Порче раэ1 рго(Пев, 1, Саттип«Риге Арр!. Магй., 9 (1956), 45 — 68) было опубликовано доказательство предположения С. В дальнейшем [см. работу М о г а м е 1 х С. Я., Оп !Ье лов-ех!в!енсе о1 соп!!вновв ггапвол!с Потев рае! ргоП!ев,. П, Саттип«Риге Арр!. Магй., 10 (1957)л 107 — 131) она внесла существенный вклад в основну«о проблему А. Такие математические результаты в этой трудной области представляют в любом случае болыпой интерес. Однако только детальное иэучениесмысла сделанных предположений и полученных результатов может пока- вать, в какой степени полученные ревультаты объясняют положение дел, описанное в нашей книге.
ЛИТЕРАТУРА Звездочкой отмечены книги, которые содержат обширную библиографию МАТЕМАТИКА 1"'. В ег3 ге а п 8., 8 сЬ111е г М., Кегпе1 ЬчпсМопя апй еГНр!!с ЙН(егеп!!а) ецпаНопя !и ша!Ьеша!!са! РЬуя!ся, Нем г'ог)г, 1953. 2. С о и г ли ! В., Н ! 1 Ь ег ! В.,'Ме!Ьойеп йег ша!ЬешаМЗОЬев РЬуя!Ь, ВЙ.
П, Вег1ш, !937; русскиб перевод: Н у р а н т Р., Г и л ь б е р т Д., Методы математической физики, т. 2, Гостехпздат, 1951. 3. Р г а и Ь Р., М ! я е я В. (Ней.), О!е В1Иегеп!1а1- ппй 1п!ебга131е!ОЬппбеп йег МесЬап!Ь шк1 РЬуя!Ь, Вй.' 1, ВганпясЬъе!8, 1930. 4. Н а й а ш а г й 7., Ьесопя Зпг 1а ргораба!!Оп йез опйея е! 1ея бцпа!1овз 'йе !'Ьуйгойупаш!Оне, Раг!я, !903; Нем г'огЬ, '1949. . 5. К а ш р е й е Р е г 1 е ! !., Ьа !Опс!!Оп Ьурегбеоше!г!Опе, )(гет. яс!. та!А., 85 (1937). 6. 1. е т'1-С ! ч ! С а Т., СЬагас$ег!яг!Опея йея яуя!ешея Й!1!егеп!!е!я е! ргоГаща!!Оп Йея опйея, Раг!я, 1932.
7. 8 а и е г В., Ап!апбянеггргоЫеше Ье! раг!!еНев Ш!(егеп!!а!ц!е!ОЬппЕеп, Вег1!и, 1952. 8. %Ь1!1аЬег Е. Т., %а!язв О. Н., А сошяе о1шойегп апа1уя!я, 4$Ь ей., Ьопйоп, 1927; Нем г'огЬ, 1944; русский перевод: У и т т ек е р Е. Т., В а т с о и Г. Н., Курс современного анализа, ч. 1, П, ГТТИ, 1933, 1934; готовится к печати новое издание.
ИСТОРИ*!ЕСКИЕ ОБЗОРЫ 9е. К 4 г ш 4 и ТЬ., Аегойуваш!ся, яе1ес!ей Сор!ся ш !Ье 1!ЕЬ! о1 гЬе!г Ыя!Ог!са1 йече1оршепг, 1!Ьаса, 1954. 10. М а с Ь Е., В!е МесЬап!Ь ш !Ьгег Еп!и!сЫшщ Ь!я!Ог!ясЬ-Ьг!!!ЗсЬ йзгбеязе!1с, Ье!рз!8, !883. 11е. Т г и ея й е11 С., 'ГЬе рйпеша!!ся о1 чогНсйу, В!Оош!БЕ!Оп, 1954. !2*. Т г и е з й е11 С., ТЬе шесЬап!са1 1оппйа!!опя о1 е1аяИсНу апй НпкП йупаппся, У. Камола! Месл. алй Ала!уя!я, ! (1952), 125 — 171! 173 — 300.
!3*. Т г п е я й е11 С., ЕЙНог'я !и!гойпс!!оп го ЬеопЬегй! Ен1еН Орега Ошп1а, Зег. П, тя ХП, ХП1, 2бпсЬ, !954, 1955. 568 Лсаяераесура ГИДРОДИНАМИКА 14. Р г а и Ь Р., М ! з е з В. (Вей.), ))!11эгеп1!а)- ипй !псебта)8!е!сЬипйев йег МесЬап!Ь шн1 РЬуз!Ь, Вй. Н; ВгаипзсЬие!8, 1935; Хечс с"огй, 1943; русский перевод: Ф р а н к Ф., М и а е с Р., Дифференциальные и интегральные уравнения математической фианки, ч. Н, ОНТИ, 1937. 15е. Ь а ш Ь Н., Нуйгойупаш!сз, 61Ь ей., Ьоайоп, 1932; Хеи Уог)с, 1945 русский перевод: Л а м б Г., Гидродинамике, Гостехиздат, 1947. 16. М 1 з е з В., ТЬеогу о1 П!БЫ, Нею с'огЬ, 1945, 1953; русский перевод 1 ивд.: М и в е с Р., Теория полета, Ивдатинлит, 1949. ! 17.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
