Р. Мизес - Математическая теория течений сжимаемой жидкости (1161654), страница 100
Текст из файла (страница 100)
е. к контуру, для которого задача об его обтекании несжимаемой жидкостью имеет решение) безусловно имеются контуры с углами, не допустимые из-за бесконечных значений скорости. Тем не менее существует различие между этими двумя случаями:изменение контура оказывает на течение сжимаемой жидкости значительно болыпее влияние, чем на потенциальное течение Лапласа. Контур может быть «спрямлен» без введения углов, т. е. «снрямленный» контур все же может иметь непрерывную кривизну и в действительности столько непрерывных производных, сколько нам потребуется;, в этом случае решение уравнения Лапласа не вызывает никаких трудностей. Интерес этого рассуждения, таким образом, заключается в том, что даже такое слабое нарушение непрерывности, каким является введение прямолинейного участка, может сделать контур «недопустимым» "). Возможно, что этот результат может объяснить, почему гладкое трансзвуковое потенциальное течение рассматриваемого типа редко наблюдается в природ9.
Ф. И. Франкль, Гудерлей н Буземан '«) исследовали возможность случаев, когда смежные течения полностью отсутствуют, и привели ряд доводов (частично физических), на основании которых представляется правдоподобным разрушение потенциального течения при малейшем нарушении непрерывности контура. Зб,'б. Предиолоовсение о существовании и единственности в большом 517 где с — произвольная постоянная. Эти характеристики, действительные только при у~(О, представляют собой полукубическив параболы.
Трикоми доказал, что решение уравнения (2) во внешней части верхней полуплоскости определяется граничными значениями, заданными вдоль С, и вдоль одной из характеристик, скажем, характеристики 8,Т, тогда как значения вдоль другой характеристики ЯзТ не могут быть заданы произвольно оз). l l T '-.ф' у Я -". 7' Р и с. 174. Задача Фрзвкии Р я о. 173. Задача Трвкомя Для нас важно следующее обобщение этой задачи (сделанное Ф. И. Франклем). Рассмотрим (рис. 174) область, ограниченную в эллиптической области дугой С„соединяющей две точки Б, и Яз, двумя дугами характеристик, исходящими из произвольной точки О на линии перехода, и двумя произвольными нехарактеристическнми дугами, проведенными из точек Я, и Яз; последние пересекают характеристики, исходящие из точки О, в точках Т, упоминавшееся в начале п.2.
В более общем случае', (при обозначениях и„„=дзиlдхз и т. д.) уравнение А (х,у) и„„+В(х,у) и„„+С(х,у) и„„= )г,(х,у,и,и„,и„) (2') будет уравнением смешанного типа, если функция гь (хну) = = В' — 4АС меняет знак при переходе через некоторую кривую, не обращаясь тождественно в нуль. Возвращаясь к уравнению (2), мы покажем, почему корректно поставленная смешанная краевая задача может существенно отличаться от аналогичной эллиптической задачи (теченне несжимаемой жидкости или дозвуковое течение сжимаемой жидкости около.
некоторого профиля соответствует эллиптической задаче). Рассмотрим (рис. 173) область, ограниченную дугой С, в эллиптическои полуплоскости у > 0 и двумя характеристиками В,Т и БзТ. Уравнение этих характеристик легко находится, так как (см. 9; стр. 126) у Ыуз + с(хз = О или с7х = ~ ( — у)ызв1у, откуда 4 з (х — с)з+ — уз — О Гл. у. Теория интегрирования и скачки и Т, соответственно (эти «произвольныеи дуги должны лежать так, как показано на рисунке, т. е. так, чтобы линия Б,Т, пересекала каждую характеристику из семейства, содержащего ОТ„только един раз; аналогичный результат имеет место и для линии 3 Т,). На рисунке показаны также характеристики Т,В и Т;В и характеристики, проходящие через точки $» и Я,. Величина и задана вдоль Т,Б,Б,Т, (где мы идем от Б, к Я, вдоль С,), а не вдоль произвольной дуги Т,Т, в области ОТ,Т,В и не вдоль ОТ, и ОТ, ").
«РУнкцил и опРеделЯетсЯ далее сначала в области ОТ»$»$«Т«О, .а затем в четырехугольнике Т,ОТ,В. (В действительности и вне этой области, во всем характеристическом треугольнике, ограниченном горизонтальной линией З»$« и двумя характеристиками Я,Т и З,Т, исходящими из точек Б, и Я, соответственно; однако это не является необходимым для последующего.) Но если и однозначно определяется в области ВТ,З,Б,Т,В значениями, заданными яа Т,$,$«Тю то значения и, очевидно, нг могут бить задана произвольно вдоль Т,Т,. Итак, задача, в которой и задается вдоль замкнутого контура, лежащего частично в эллиптической «» частично в гиперболической области, поставлена некорректно. Р н с.
»75. Иллюстрация к прсдположснню о том, что граничные условия нс могут быть заданы во всех точках про- нггольного контура. Следуя Буаеману, »йранклю и частично Тудерлею, мы теперь сформулируем аналогичную задачу для течения со сверхзвуковыми зонами около некоторого профиля (рис. 175).
Мы рассмотрим только верхнюю часть профиля, который для удобства предполагается симметричным; пусть П обозначает область, расположенную в верхней полуплоскости вне контура,  — сверхзвуковую часть области П, лежащую ыежду дугой $»$« и звуковой линией, которая здесь является линией перехода $,0$,. Течение будет дозвуковым (эллиптическим) в части области П, простирающейся до бесконечности и внешней по отношению к звуковой линии, и сверхзвуковым (гиперболнческим) к области $,Т,Т,Б,ОЗ,. Эта задача отлигается от задачи Франкля тем, чтэ эллиптическая область то.д.
Предположение о существовании и единственности е большове 513 (дозвуковая часть) простирается до бесконечности, и тем, что дифференциальное уравнение для ф будет нелинейным; следовательно, мы не знаем заранее ни положения звуковой линии (линии перехода), ни положения точек Т, и Т„которые были заданы в задаче Франкля. (Уравнение для функции потенциала ср также нелинейно; в соответствук>щем аналоге задачи Франкля на границе следует задавать не у, а двр)дп.) Если мы могли бы предположить, что для этой более трудной задачи имеет место аналогичная теорема единственности*), то ыы могли бы прийти к тем же заключениям, что и ранее.
Предположим, что некоторое решение в области П существует; для этого решения вр = 0 вдоль АТ,Т,В; однако оно однозначно определяется только граничными значениями 1р =0 вдоль АТ, и ВТ,. Следовательно, если дуга Т,Т, контура деформируется (неважно, сколь мала эта деформация) так, что она больше не будет частью линии уровня вр = 0 решения, то для деформированного контура не будет существовать решенияе*). Это должно означать, что задача, которую мы взяли в качестве отправного пункта, поставлена некорректно в смысле, объясненном в начале предыдущего пункта.
Таким образом, мы предполагаем, что результат, получаемый в болев общем случае смешанного и нелинейного уравнения с эллиптической областью, простирающейся до бесконечности, аналогичен результату, который имеет место для задачи Франкля; тогда для определения решения нашей задачи ") достаточно задать условия на части контура. Такое предположение представляется весьма правдоподобным. Трудно представить себе, что значительное усложнение дифференциального уравнения может превратить задачу, поставленную некорректно, в задачу, поставленную корректно. Отсюда должен быть сделан следующий вывод: в общем случае не существует гладкого потенциального течения со сверхзвуковыми областями около произвольного заданного профиля, вид которого определен в п.2'э).
В свете этого предположения еще раз напомним процедуру, использовавшуюся для построения решений в плоскости годографа, которые затем преобразуются к физической плоскости. Сначала мы опрбделили ветвь функции тока, которая удовлетворяла заданному условию (т. е. такую, что описывающая ее функция стремилась к заданной функции вр при д -о О), а затем вычислили аналитические продолжения этой ветви. Решения, которые в действительности получаются этим способом, обладают регулярностью, несвойственной решениям такого типа (например, они являются аналитическими функциями в области гиперболичности уравнений, в) Заметим, что в этом случае требуется только теорема единственности. **) Заметим, что яи это эаялючевие, ви эвключеиие об отсутствии решеиия для профилей с прямолинейными участками ве првмеиимо, если ковтуры предполагаются вкалитическвми.
33 г. мяесо З44 Гл. У. Теории иитеерироеаиил и «качки что весьма необычно). Благодаря атому мы потеряли типические свойства гиперболических задач и получили лишь некоторые регулярные решения. Мы не решили краевой задачи, а применили совсем иной способ построения течений, который дал для заданных М и Р, непрерывное трансзвуковое обтекание специального контура Рм, форма которого определяется лишь после решения задачи.
Сопоставляя зги заключения и данные экспериментов, можем рассуждать следующим образом. Контуры Рм, построенные пока методом годографа, являются искусственными, а соответствующие трансзвуковые течения можно считать исключительными. Если исходный контур Ро имеет достаточно общий вид, то семейство, состоящее из всех контуров Рм (зависящих от Р, и М ), полученных методом годографа, не может быть установлено.
Однако контуры Рм (и соответствующие течения), полученные таким образом, образуют ограниченное семейство, к которому произвольно заданный контур Р, вообще говоря, принадлежать нв будет. Кроме того, используемые в действительности контуры могут не обладать теми свойствами, которыми должен обладать контур для того, чтобы принадлежать к «исключительным» профилям. Резюмируя содержание н.
2 — 6, мы прежде всего должны признать, что пока не удается построить полной математической теории, которая успешно описывала бы все наблюдаемые явления; то, чем мы располагаем, представляет собой важную, но весьма отрывочную информацию. Мы знаем примеры точных решений, полученных методом годографа, но они не являются решениями исследуемой краевой задачи, и мы знаем о численных решениях краевой задачи для данных контуров (п.З).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
