Р. Мизес - Математическая теория течений сжимаемой жидкости (1161654), страница 96
Текст из файла (страница 96)
166) замкнута, не достигается предельной линией и достаточно близка к кривой Р, то это решение, конечно, будет приближенным решением исходной задачи. б. Замечания о течении внутри сопла. Рассмотрим сопло (мы пользуемся словами труба, канал и сопло в одном и том же смысле), симметричное относительно прямолинейной оси или центральной линии, в качестве которой.мы берем ось х. Так называемое сопло Лаваля имеет минимальное поперечное сечение (критическое сечение), скажем при х=О; с каждой стороны от критического сечения поперечные сечения увеличиваются симметрично.
Контур, таким образом, образуется двумя линиями, сходящимися от «входного» сечения к критическому, а затем расходящимися от него к «выходному» сечению. Можно различать два основных типа течений, которые мы опишем упрощенным одномерным или «гидравлическим» образом, при котором предполагается а) что мы»южем пренебречь отклонением вектора е( от горизонтального направления и б) что во всем поперечном сечении, нормальном кцентральной линии, скорость д (а следовательно,давление, плотность и т. д.) будет одной и той же. Тогда течение может быть либо симметричным относительно критического сечения с дозвуковыми скоростями по обе стороны от него и с дозвуковой или звуковой скоростью в критическом сечении, либо асимметричным с дозвуковой скоростью по одну сторону от критического сечения и сверхзвуковой скоростью — по другую (в критическом сечении скорость равна звуковой).
В случае симметрии течение начинается из состояния с высоким давлением и нулевой скоростью при х = — о». Затем в сходящейся входной части оно. ускоряется (плотность уменьшается), достигая максимальной скорости в критическом сечении. Далее плотность возрастает, течение замедляется и на бесконечности Гя. Р. Теория интеврирования и скачки скорость снова принимает нулевое значение. Зто — упрощенное одномерное описание. В действительности скорость не будет одной и той же по всему поперечному сечению.
Возможно, что для заданного контура сопла скорость остается дозвуковой всюду, даже поперек всего критического сечения, "или для того же контура она может оставаться дозвуковой вдоль оси х (оси сопла), тогда как вблизи стенки образуются два сверхзвуковых «кармана», симметричных относительно оси х и оси у, причем наибольшие значения скорости достигаются на стенке вв).
На рис. 167 показаны кривые постоянной скорости; сверхзвуковые зоны заштрихованы. мт1 М>1 Р и с. $67. Симметричное течение внутри сопла со саерхааукоаыми аонами (на чертеже заштрихованы); покаааны ли- нии постоянной скорости. Несимметричное течение внутри сопла получается в том случае, когда отношение давления на входе к давлению на выходе превышает некоторый предел. Скорость растет от нуля при х = — со до сверхзвукового значения справа от критического сечения, причем плотность газа убывает ").
(Заметим' прежде упоминавшееся обстоятельство, что в расходящейся части сопла при дозвуковом течении плотность возрастает, а при сверхзвуковом течении— убывает.) Линии постоянной скорости, изображенные на рис. 168, теперь совершенно отличаются от линий постоянной скорости, построенных в предыдущем случае.
На стенке скорость звука достигается вьппе критического сечения по потону, а на центральной линии — ниже критического сечения. Такое течение обладает особенностью, до сих пор не встречавшейся в наших примерах плоского течения, а именно линией ветвления.
Данная особенность, типичная для осесимметричного течения внутри сопла, была исследована Лайтхиллом и Черри. Зто явление можно качественно разъяснить, проследив в плоскости годографа значения скорости вдоль трансзвуковой линии тока "). Если ось х является осью сопла, то всюду вдоль центральной линии сопла д„= О, так что ось д„в плоскости годографа является линией тока чр = О (рис. 169).
Рассмотрим линию тока 26.1. О некоторы донолнктелъных яреееых еадачех 495 в верхней половине сопла, у > О; в дозвуковой области на этой линии тока де ( О, но на этой же самой ликии тока в сверхзвуковой области в койечном счете оказывается, что де > О. Таким Р и с.
468. Ливии постояввой скорости в асиммет- ричиом течении внутри сопла. На стенке скорость скука достигаегся лыше критаческого гечекия по пстоку, а ка оси — киже его. Вертикальные лилии соотеетстеушт одномерной теории. Р и с. 169. Ливии тока и ливия ветвления Р+ в плоскости топографа при трансзву- ковом течении внутри сопла. образом, каждая линия тока пересекает прямую еу = О, кроме начала координат в плоскости годографа,из которого начинаются зсе линии тока, еще в одной точке. Эти линии тока взаимно пересекаются и имеют некоторую огибающую. Из общей теории (см.
у 19) следует, что эта огибающая является характеристикой Г . 496 Гл. В. Теория интегрирования и ехиихи Существует симметричное семейство линий тока с симметричной характеристикой Г в качестве огибающей. Эти две характеристики образуют край, а их образом в плоскости х, у является линия ветвления. Область мен'ду характеристиками Г' и .
Г (в плоскости годографа) перекрывается три раза (см. рис. 170). Г' (б) Р н с. 170. Трижды перекрываемая область з плоскости з,в при трансззунозом течеяни внутри сопла. Через точку Р в области положительных д„проходит а) линия тока, которая, перед тем как попасть в точку Р, пересекает характеристику Г (линию $ на рис. 170) и затем касается характеристики Г', б) линия тока, которая пересекает характеристику Г", достигает точки Р и касается характеристики Г; в) линия тока, которая пересекает характеристику Г, касается характеристики Г и затем достигает точки Р. Таким образом, при аналитическом рассмотрении невозможно использовать д и О в качестве независимых переменных; однако их могут заменить у и вр, и мы можем затем разложить д (у, вр) и О (вр, вр) в ряды в окрестности звуковой точки и подставить зтн разложения в систему уравнений, полученную из системы (16.31) путем перестановки переменных.
На рис. 171 показана область вблизи звуковой точки на оси в физической плоскости, которую исследовали Лайтхилл и Черри. Линия ветвления состоит из характеристик Сь' и С», поворачивающих вправо от точки касания со звуковой линией. Продолжение характеристики Сь', характеристика С", которая (с точкой перегиба) уходит налево вниз, не является линией ветвления (т.
е. якобиан д(д,О)/д(хиу)Ф ~0). То же самое верно для симметричного продолжения С Зд.1. 0 нехоторььх дополнительных араееых еадачах 497 характеристики С,. Каждой точке Р„на линии ветвления Сс соответствуют некоторые значения д и О (удовлетворяющие, конечно, условию совместности), и существует некоторая точка Ч, которой соответствуют те же самые значения д и О, удовлетворяющие, следовательно, тому же самому условию совместности (на рис. 171 показаны линии постоянных значений д н О, проходящие С .
РР Оа Яаунооая пиния Роа 7 прямолинейная лотт тона) , К постоянной п осто янноео снорости эночения Ю Р и с. 171. Звуковая точка 'иа прямоликсйиой линии тока как двойная точка ветвления при траксавуковсм течении внутри сопла. через точки Р и ~); те же самые рассуждения можно провести для характеристик Са и С . В области, расположенной слева от С' (С ), получается взаимно однозначное соответствие между х, у и д, О. В плоскости годографа обе характеристики С„' и С отображаются в одну характеристику Г', а характеристики Сй и С вЂ” в одну характеристику Г, которые в плоскости $, с) представляются как одна линия 5 и одна линия ь). (Полезно представить себе отображение на плоскость годографа замкнутой кривой, такой, как окружность с центром в звуковой точке на оси х.
Вне двух ветвей края отображение будет однозначным. Изображение рассматриваемой кривой пересекает характеристику Г', проходит между двумя ветвями к.характеристике Г, идет назад к Г', затем вниз, снова пересекая характеристику Г, и продолжается зне двух ветвей, образуя замкнутую кривую.) Основное различие между задачей о трансзвуковом течении внутри сопла н задачей, рассмотренной в 5 21, заключается в следующем. Там мы пытались строить вдоль линий соответствующего потока несжимаемой жидкости течение, которое имеет своим пределом этот поток несжимаемой жидкости.
В данной задаче нет предельного случая, который бы являлся для нас руководящнм. Черри успешно обошел эту трудность, построив течение, которое 32 р. Иаеес . 498 Гл. У. Геврик интегрирования и скачки обладает описанными вьппе типичными свойствами течения внутри сопла.
Мы отсылаем читателя к оригинальной работе ь'), в которой содержится это построение. 2. Проблема существования течения около профиляь') В предыдущем параграфе мы неоднократно указывали, что нелинейность наших основных уравпекий является источником существенных трудностей. Такие трудности возникают даже в тех случаях, когда известио, что задача является полностью дозвуковой (эллиптической) или полностью сверхзвуковой (гиперболической).
Вторая трудность — возможность частично эллиптической, частично гиперболической задачи — пе ограничивается пелипейиыми уравнениями. Это можно видеть иа примере линейного уравиеиия.Трикоми у (дгп/дхт) + (дти/дуг) = О, которое является эллиптическиьь при у ) О и гиперболическим'при у ( О. (Уравпеиие Чаплыгина (17.24) может быть аппроксимироваво уравнением Трикоми для значений о, близких к нулю, т. е. для значений д, близких к д,.) Однако, ввиду того что это уравнение является линейным, мы заранее можем указать области эллиптичиости и гиперболичиости и линию перехода, а именно прямую у = О ьг). Основная сложность, присущая задаче о смешаииом течении сжимаемой жидкости, заключается в сочетании трудиостей, связаииых с иеликейкостью, с необходимостью решать уравнения смешанного типа, которые имеют гиперболический или эллиптический характер, зависящий (вследствие нелинейности) от рассматриваемого решения, так что линия перехода также измеияется в зависимости от решения й заранее неизвестна.
Болев того, частиое решение отбирается с помощью соответствующих граничных условий; ко граничные условия в эллиптической задаче должны быть заданы совершенно иначе, чем в гиперболической задаче. Таким образом, мы попадаем в новую обстановку, которая еще ке выяснена полностью, и трудность заключается в указании правиль.иых граничных условий для смешанных течений, таких, как течеяие в канале, течение около профиля и т.
д. Чтобы фиксировать основные идеи, рассмотрим течение около профиля, а именно следующую задачу "): устаиовившееся однородное течение, параллельное оси х, возмущается присутствием тела, которое в плоскости х, у имеет (выпуклый) контур Р с пепрерывко изменяющимся наклоном и кривизной; предположим заданными связь между р и р и масштабный множитель д или а„ относительно которого скорость д иевоэмущеипого потока является дозвуковойи).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
