Р. Мизес - Математическая теория течений сжимаемой жидкости (1161654), страница 92
Текст из файла (страница 92)
Член да„/дз не может быть заменен на дд/дп, так как больше не выполняется условие незавихренности (16.7). Теперь,,ввиду того что дд„/дз — де//дп = во, мы должны написать дзи дв а +ы дв дп и использовать для во выражение (6). Когда зти две замены сделаны, окончательное уравнение для ф будет таким: Как и в п.16.2, левая часть этого уравнения может быть записана в декартовых координатах и уравнение примет вид =Е а' — 9Р'~ рт+ —д,'/д ~).
(9) Левая часть уравнения (9) совпадает с левой частью уравнения (16.21), но правая часть последнего была нулем. Правая часть уравнения (9) содержит Р' и С', которые являются изве- Гл. е'. Теория ин~пеерироеания и скачки стными функциями от ~, а также Т, а' и дЯ/др-,-заданные функции от р и 9, которые при помощи равенства Я (р, 9) =Р(ер) могут быть представлены как функции от о и ф.
Таким образом, мы все же Должны выРазить 9, д„и ои как фУнкЦии и ее производных. Пренебрегая в определении функции Й гравитационным членом, мы получаем уравнение Бернулли — у +Х=уН=й(Ф), (10) где Х вЂ” известная функция р и о, которая может быть выражена как функция д и ер с помощью равенства о(р,й)=г'(ф).
Это уравнение вместе с соотношениями (5) служит для определения й, д„и ди как функций от ер, дфдх и дф/ду. Таким образом, уравнение (9) является квагилинейньем *) неоднородным уравнениеле второго порядка для. ф Оно играет роль аналогвчну1о роли уравнения (15.23) для случая одномерного кеустановившегося течения. В качестве иллюстрации этих вычислений рассмотриы случай совершенного газа, для которого, согласно равенству (1.7), энтропия о' равна """) (11) Тогда дя еВ дБ рел к чР др .(у —.1)Р' дР (7 — 1)О' 0 и в этом случае правая часть уравнения (9) имеет вид ГБ ае-("(У 1) В р ) ( ) 12 Кроме того, Х =ур!(у — 1) о= аэ/(у — 1), где а' является следующей функцией от й.и ер: а'= уст †' ехр ~ (~ еЯ (15) Следовательно, уравнение (10) записывается так: 2 д'+ — 1 й -' ехр ( (' „1) 1 = С.
(14) Для определения о, еХ, о„как функций от еа, дф)дх, дф!ду мы сначала выразим 9 через д с помощью соотношений (5): (15) ') То есть линейным относительно производных наивысшего порядка, см. иЯ.4. ") Здесь 8 оззачает саму эктроиию, а ке функцию от иее, как в и. 15Я. 2и.2. Уравнение дли функции тока и используем этот результат для исключения д из уравнения (14). Б результате уравнение для д как функции от ф, д~~/дх, дф/ду будет иметь вид Ад'+ —,=1, (16) у где 1 Б техР((г — 1)Р(ф)/уя) ~(зф) +(зт) ~ Как только д определено из этого уравнения, плотность находится по формуле (15), компоненты скорости — из соотношений (5), а скорость звука — по формуле (13).
Теперь мы вернемся к общему уравнению .(9) и покажем, как из него может быть выведено соответствующее уравнение для вихревого баротропного течения. Пусть связь между р и д записывается в виде Я (р, д) =О, н пусть Я(р, д) — некоторая функция энтрошги газа а). Тогда, ввиду того что движение является изэнтропическим, в уравнении (9) Г' =О, и это уравнение запишется так: Для изэнтропического движения функция Х может быть заменена в уравнении Бернулли (10) функцией Р, так что уравнение Бернулли примет вид — де + Р = 8Н' = С (тР).
(18) Это уравнение вместе с соотношениями (5) служит для определения д, д„и д„как функций от ~р, дф/дх и д~р/ду. Мы видим, что, когда Р является функцией д, величина д удовлетворяет уравнению —,+Р(Е) =/), (18') е' где В=С(~р). Как только д определено, д„и д„получаются из соотношений (5), и величина а' — иа выражения для нее как функции д. Если в частности, движение является безвихрввым, то в уравнении (18) С=сопзС, и уравнение (17) сводится к уравнению (16.21). Даже в этом случае коэффициенты неизвестны в явном виде ") Соотэетствующне функции Т (р, о) н (/(р, О), определяющие темпеРатуру а внутреннюю энергию, являются решениями уравнений (2111 н (2,12). 478 Гл.
У. Теория интегрирования и скачки как функции от ф и ее производных (сы. аамечание после уравнения (16.21)] *). Это завершает исследование, проведенное в п.16.2, и распространяет его на случай, когда допускается завихренность. Важный вывод, который может быть получен из уравнения (9), заключается в следующем. Так как характеристики дифференциального уравнения зависят только от членов второго порядка, они являеотся одниыи и теми же для уравнения (9) и для (16.21).
Таким образом, действительные характеристики в плоскости х, у существуют только для сверхввуксвсгс течения, М > 1, и являются линиями с наклонами 0+ а и 0 — и, вде а =агсз1п(а(д) и а — та же самая функиия р и о, что и ранее. Однако дальнейшие выводы, аналогичные полученныы в $ 16 выводам, не могут быть сделаны. Перемена местами зависимых и независимых переменных, использование годографа и т. д.
окажутся бесполезными в силу неоднородности уравнения (9). Вышеприведенные выводы относительно характеристик получаются также из рассмотрения уравнений (22.1), (22.2) н (1) как системы четырех однородных уравнений первого порядка для 0„, до, р и о. Для этой цели уравнение (1) переписывается в виде др еай —,— а — =0 дв дс (1 ) [см. равенство (8)]. На основании результатов, полученных в п.9.6, мы находиы, что характеристиками системы являются линии тока и два семейства линий Маха. Для этих ливий тока имеются два условия совместности, а именно уравнение (1') и уравнение Бернулли(10). Как мы уже видели в п.23.3, вдоль этих линий тока о и а ыогут иметь разрывы (см.
примечание П.31). Условияыи совместности на линиях Маха являются с(р+йдв'ьдас(0=0 вдоль С', др — 0дв Фи а дд = 0 вдоль С . Однако ыы не находили линии тока как характеристики уравнения (9). Причина этого заключается в следующем: в предыдущем пункте мы предполагали, что о' и Й являются заданными функциями ф. Это приводит к двум новым уравнениям для производных от параметров потока по нормали к линии тока, которые вместе с упомянутой выше системой позволяют определить эти производные по заданныы значениям на линии тока. *) Уравнение ((8') показывает, что О и о явля1отся тогда функциями только от (дф/дх)е+(дф7дд)е, и коэффициенты в действительности не зависят ет самой функции ф (см.
примечание 1У.1). Ы.З. Принцип еемеиеенил В п.22.3 было показано, что в действительности изменение энтропии при переходе через скачок является в болыпинстве случаев весьма ыалым. Таким образом, если перед скачком происходит изэнтропическое течение с постоянным полным напором, если скачок не является слишком сильным и если в то же время изменение наклона скачка невелико, то производная С' будет равна нулю, а производная г ' будет весьма мала 4'). При этих условиях течение после скачка можно, как правило, считать течением того же типа, что и течение до скачка. 3.
Принцип замещения. Модифицированная функция тока В важном случае течения за криволинейным скачком прп равномерном набегающем потоке энтропия Ю изменяется от одной линии тока к другой, но функция Бернулли Й остается постоянной. Теперь мы покажем, что любое адиабатическое течение совершенного газа может быть заменено течением„обладаеощим этны свойством. Более того, заменяющее течение будет иметь ту же самую картину линий тока и распределения давления, что и исходное. Рассмотрим уравнение неразрывности и проекции уравнения Ньютона на оси естественных координат (см.
п.16.1): д де — „(еч)+ еч,— „= О, вв ор, ое вр е — = — — ° еч' — = —— де де' Ве дп' Эти уравнения в плоскости х, у удовлетворяются системой переменных ч, 9, р и е, соответствуеощей адиабатическому течению .данного газа. Когда эти переменные заменяеотся на ЛЧ, 9, р и Е!Ле соответственно, уравнения все жв будут удовлетворяться при условии, что Л является функцией, которая остается постоянной вдоль линий тока, т. е.
что дЛ/дв = О. Второе течение имеет те же линии тока, так что направления в и и будут теми же, что и ранее. Однако заметим, что вторая система перемен-. ных не обязательно соответствует адиабатическому течению того же самого газа. Из того, что функция Ю(р, Е) постоянна вдоль линий тока, не вытекает, что функция Я(р, Е/Ле) имеет то же самое свойство. Конечно, всегда может быть найдена другая функция энтропии, которая будет обладать этим свойством для второго течения, т. е. второе течение всегда может расом акриваться как адиабатическое течение соответствующего газа.
Следовательно, мы имеем следующий результат: каждому ваданному адиабатическому' течению в плоскости х,у соответствует бесконечное число таких течений с однои и той же 4?8 Гл. Ее. Теория инюеерироеаник и скачки картиной линий тока и распределением давления. Эти течения получаются иг ' первоначального путем умножения в каоюдой точке вектора скорости Ч на Х и плотпости о на 1/У, где Х вЂ” произвольная функция, линии уровня коелорой являются линиями тока. Кроме того, так как- аз= сср/Ыд, где дифференцирование производится вдоль линии тока, скорость звука также умножается на Х. Поэтому число Маха в любой точке при атом преобразовании остается неизменным, так что все течения в тех же самых областях будут доавуковыми (или сверхзвуковыми). Этот результат известен под названием принципа замеия ее) Мы только что видели, что при использовании принципа замещения в общем случае свойства газа меняготся; обычно энтропия не может быть одной и той же в двух случаях.
Исключением является совершенный гаэ, для которого функция Я (р, о) определяется выражением (11). Если величина р/дт остается постоянной вдоль линий тока, то постоянной также будет величина р)сгт/йт. Выбирая, в частности, величину' Х пропорциональной дые/р'дгт>, мы сделаем второе течение иззнтропическим, так как тогда величина р)сгт/йт будет принимать одно и то же постоянное значение на всех линиях тока. Аналогично функция уй= ур/(у — 1) о+ де(2 в замешающем течении умножается на Хе.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
