Р. Мизес - Математическая теория течений сжимаемой жидкости (1161654), страница 89
Текст из файла (страница 89)
Соотношение (22.38) дает связь между величинами б, в) и а. Теперь мы выведем два уравнения; одно из них свяжет величины М„б и а, а другое — величины М-,, б и а. Исключив затем М =М-„получаем связь между величинами а, а и б. Уравнение для М„б и а получается из соотношения (22.37) с помощью подстановки т, =сэда н 28А. Отражение косого скачка где А = (Ь' — 2) зт, '-)- (Ь' — 1) (з' — 1) т, — Ь'з, В = — (Ь' — 1) т, [(з' — 1) т, — 2з], С = — Ь'е (т', + 1). Для каждой заданной пары значений гс, 6 из этого последнего уравнения определяется два соответствующих значения величины са.
Чтобы выразить в уравнении (17) коэффициенты А, В, С через исходные параметры со и т), мы исключим из них з с помощью формулы (22.38): 3= т, )сгс)+1 г= (18) г(т)+1) — 1 ' (ьг — 1) (г) — 1) ' Сократив три коэффициента на общий множитель — т, (т', + 1)/[г (т', + 1) — Ц', нх можно записать в следующем виде: А = г [(Ь* — 1)г — (Ь' — 2)] (т, *+ 1) — 1, В = — (Ьг — 1) т, [г' (т', + 1) — Ц, (17') С = Ь* [г (т*, + 1) — Ц.
В одном предельном случае мы имеем т) = 1 или г= оо; в этом случае уравнение (17) сводится к уравнению та та 0 тз 0 или тз (19) В другом предельном случае имеем т)=со или г=йг/(Ьг — 1); на этот раз уравнение будет иметь вид Ао т-,'+ Востй+ Ссо — — О, где А = 2Ь'т',+Ь'+1, В = — т, [Ьет'+ 2Ьг Ц С =Ь'[Ь'т,*+ Ц. На рис. 160 пунктирными линиями изображены графики зависимости со от со, соответствУющие УРавнениам (19) и (20) пРи У = г(г. Онн пересекаются в точках а=со=О'; со=О', в=-90', со =со=со„ где ю = агс с(8 [/(у+ 1)/(3 — у) = 39'14'. Для каждого значения величины г, лежащего между крайними значениями, соответствующий график зависимости в от со проходит через эти три точки и лежит в области, ограниченной пунктирными 90 $ Уо 90 Юо 90 са (градусы ) Р и с.
160. Зависиьюсть угиа отражения от угла падения при различных аначениях интенснн- ности скачка. 00 с ь ~.ой ь 90 йг а» 00 аВ 10 гзг/Рг Р и с. 161. Значения угла падения и отношении давлений, при которых возможно отражение скачке. Хб.б. Особенности нроцесса отражения 461 линиями. На рисунке изображены две такие кривые, соответствующие т) = 1,25 и т) = 5. Для каждого значения величины г имеется максимальное значение величины ео (минимальное аначевие величины т,); если со превышает это значение, то уравнение (17) имеет мнимые корни, и решение рассмотренного типа не существует.
Условием этого максимума является обращение в нуль дискриминанта Ве — 4АС, и при х=(т',+1) оно будет В з — В з+Р" — а=6, где Ю =(Ь' — 1)з зе, Ь' = (Ьз — 1) з ге + 4Ьз (Ьз — 1) гз — 2 (Ье — 2Ьз — 1) зз, У=2(Ьз — 1)(ЗЬз — 1)г' — 4Ьз(Ь' — 3) з+(Ьз — 1)', (Ьз+ 1)з На рис. 161 изображена кривая зависимости максимальных значений величины со от р,7рз ( = 1/з)) при у = '/ . Любой точке, лежащей на этой кривой или ниже ее, т. е.
в заштрихованной области, соответствует решение описанного в этом пункте вида. 5. Особенности процесса отраекения Чтобы найти отношейие давлений з) =рай)р-, при переходе через отраженный скачок, мы исключим е иэ формулы (18) и ее аналога для второго скачка, именно Ь +е) е(та+1)+1 (Ье — 1)(е) — 1) Эти равенства получаются иэ формул (18) путем эамены индексов 1 и 2 на 2 и 1 соответственно, а также замены е на — е. Затем мы получаем соотношение т- (с~1+1) е — (зе+з-) 3= (21) т, (та+1) которое выражает г через т„з и соответствующий корень т- уравнения (17).
На рис. 162 изображены графики зависимости ре/р- = =1)з)ч от ес для двух значений з) =1,25 и г) =5, на которых направление увеличения ео укаэано стрелками. Графики показывают, что при увеличении се полное сжатие р-/ре при переходе черве два скачка сначала несколько уменьшается, а затем неограниченно возрастает. Для фиксированного ю. разложение в ряд Тейлора большего корня уравнения (17) с точностью до членов первого порядка 462 Гк. Г.
Теория интеерироваяия и скачки относительно (т) — 1) (см. формулы (17')) и величины т) (см. равенство (21)1 с точностью до членов второго порядка дает (Л вЂ” 1) та — й +я-(Ч 1) я-= у — (.*,-1) (т)+Ь ) (Ьа+1) т)(т1+1) ' Эти формулы применимы для слабого отраженного.
скачка. Согласно 44 РИт ЦЯ аг аг РО 20 80 ФО УО 80 аг йод)лв0 Р и с. 162. Полное отношение давлений в ааеисимасти от угла падения при Ч=1,25 и д=5. уравнению (22.23), соответствующим разложением для отношения плотностей является $ см $+ — (ч) — 1)т. т Для наблюдателя, покоящегося относительно стенки, падающий и отраженный скачки будут иметь' скорости распространения с и с, удовлетворяющие соотношению с соево в = с соево ш, (22) которое является условием того, что точка пересечения двух скачков будет всегда лежать на стенке. Таким образом, величина с/с = (т~1+ 1) ~'/(т1+ 1) ~' имеет следующее рааложение в ряд зз.з. Осозснноснсн процесса оюронсснон Тейлора — = 1 — — () — 1).
с т,К с т,'+ 1 )Зывод эквивалентных формул для случая сильного отраженного скачка предоставляется самому читателю. Основные результаты, связанные с отражением косого скачка, заключается в следующем. Лак слабый, так и сильный отрооюеиный скачрк может иметь наклон к стенке, заметно отличающийся от наклона падающего скачка, и при отражении давление и плотность мйгут значительно увеличиться. Первое подразумевает также, что скорость распространения отраженного скачка может заметно отличаться от скорости падающего; см. соотношение (22).
Для каждого т) имеется только одно значение величины ю, для которого отраженный скачок может иметь такой же на лон к стенке, как и.падающий, и зто она сгнив не зависит от з). Результаты, полученные в п.15.1 для лобового отражения скачка, могут быть снова получены путем рассмотрения предельного случая. Так, например, при ю-ьО, т. е. при т,— ьоэ, мы из формул (17') видим, что А = О(т',), В = О (то) и С = О(т,'); поэтому больший корень уравнения (17) стремится к бесконечности вместе с т, таким образом, что тг с .
(, А,/ (Ьо — 1) о — (Ьс — 2) ' (23) Кроме того, в соответствии с формулами (18), г-ьО таким образом, что етз стремится к 1!з. Следовательно, пз соотношения (15) или (16) мы видим, что Мого — ь Ь' — 1 (о — 1) [(Ьо — 1) +Ц ' (24) Для наблюдателя, который покоится относительно стенки, течение га падающиы скачком будет перпендикулярно н скачку, и число Маха этого течения, скажем М„отличается от М,. Однако, ввиду того что наблюдатель движется в направлении оси у, компоненты скорости, перпендикулярные к стенке, не меняются.
Следовательно, М,сов аз = М,з)пб, так что Мо и М,е стремятся к одному и тому же пределу. Если мы обозначим этот предел через М, то иэ соотношения (24) найдем Ло — 2 2 (Ьо — 1) (25) Из формул (22), (23) и (25) следует, что с 2 (Ьо — 1) д+()Р— 2) с 2 (Ьо — 1) Ю вЂ” (Ьо — 2) Гя. У. Теория интсорирооания и скачки Этот результат согласуется с выражением (15.3'), когда величина с заменяется в пределе на — с', так как ясно, что величина Ме равна величине, которая в п.15.1 была обозначена через М,.
Мы предоставляем чихателго проверить, что в пределе отношения давлений и плотностей да|отея выражениями (15.4') и (15.5'). Один интересный результат может быть получен без знания зтих предельных отношений в явном виде. Из формулы (21) находим, что в пределе Ьо — 2 3 — у гякг — — =г — — . сьо — 1 2 Это же получается из формулы (21) при т,=т-=АД/й' — 2. Так как величины г и г являются функциями от ц и ц соответственно, то зто означает, что для каждого ц отношение давлений при переходе черег отраженный скачок для косого отражения со =со= соо будет такиль оьсе, как и для лобового отражения. При со < сео (см.
рис. 162) величина р-!р, меньше, чем для лобового отражения, тогда как при со ) сее она больше, чвм для него. 6. Пересечение двух скачков Простой пример взаимодействия скачков имеет место при пересечении двух линий скачков. Предположим, что жидкость, пересекаеощая отрезок АВ оси у (рис.
163), находится в состоянии Окружность ыаксоыооькоа кткы грыо Хо Р и с. 163. Пересечение двух скачков в одяородзои потоке. однородного сверхзвукового движения: а = ао, 0 = О, р = р, 0=0„а=ао < до. РассмотРим два скачка, изобРажавмые линиями АС и ВС с противоположными наклонами; первый из них переводит состояние ао,О,р„оо в состояние 0,.0„р„о„ где 0 ) О, а второй — в состояние а„0„р„оо, где 0 < О го). 28.6 Пересечение двух сеачеее 485 (27) для перехода через СЕ. В этих уравнениях величины т, и те являются котангенсами углов наклона СР и СЕ к линиям тока в областях АСР и ВСЕ соответственно; первый из них отрицательный, а второй — полоявительпый; штрихи в формулах (27) показывак~т, что в выражениях (22.31) для с и Н величина М, должна быть заменена на М,.
Исключая т, из двух уравнений (26) и та из двух уравнений (27), мы получаем два соотношения между 8 и р, одно для перехода через С.Р, а другое — через СЕ, Угол 0 легко исключается из этих двух последних уравнений, что дает одно урав- 30 в. миаес яа линии х = хм проходящей через точку С, частицы, находящиеся ниже точки С, имеют скорость о„направленно движения 8ы давление р, и плотность йм а частицы, находящиеся выше точки С, имеют параметры да, 8„ра, о . В плоскости годографа (см. рис. 163) эти два состояния иаображаются двумя точками 1 н 2, лежащими на ударной поляре с вершиной О в точке (о„О), с хордами 0-1 и 0-2, перпендикулярными к прямым АС и ВС.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
