Р. Мизес - Математическая теория течений сжимаемой жидкости (1161654), страница 87
Текст из файла (страница 87)
Все частицы пересекают ЛИФ' в горизонтальном направлении, и здесь искривленные линии тока прэвращаются в прямые линии, параллельные оси х. В п.22.3 мы получили, что угол между ненулевым скачком и линией тока за ним меньше угла Маха течения за скачком. Следовательно, линия скачка АЯ и характеристика РЮ в конце концов пересекутся, как и показано на рисунке. За точкой пересечения Я описанное выше решение теряет силу, и характер течения является другим. Ч'ак как такое изменение может иметь место только при переходе через характеристику, течение ограничено поперечной характеристикой 3Т простой волны и ее прямолинейным продолжением Т0.
Задача отыскания течения за линией УБТЮ является более сложной. Можно ожидать, что при продолжении линия скачка АЮ искривится, но ни ее форма, ни картина течения за ней не могут быть выражены через известные функции. В таких случаях приходится обращаться к численным методам интегрирования, основанным, например, на использовании характеристик Вв.з. Течение около ирофилл с нрилизлинейными стенками 449 г(сов „1) = сопв1; 2т~=Ц,+6„ где г и р — полярные координаты с началом координат в Р. Состояние 2 в треугольнике РТУ становится известным, как только определено М,.
Расстояние от Р до $ определяется равенством Р$(вш с, = = 1/в1п (а, — а,), поэтому уравнение поперечной характеристики $Т простой волны [см. уравнение (18.11)) будет р — 2ч Г р — 2ч чкз Ь =(Р$)звш ' ' ~ (сов '+ ' " ) (10) так как р отсчитывается от направления РЮ. Расстояние РТ определяется из уравнения (10) путем подстановки р= аз и разг9 к мизес уравнений (непотенциального) течения идеальной жидкости и условий на скачке. Неизвестная линия скачка определяется шаг за шагом вместе с течением с каждой стороны от нее. Связанные с этим трудоемкие вычисления могут быть выполнены на быстродействующих вычислительных машинах зз). (Основы теории таких течений будут изложены в п.24.1 и 24.2; см.
также обсуждение задачи Римана в п.15.4 и 15.5.) Течение во всей области )г$ТПРА)г показано на рис. 155. Эта область разделена на четыре подобласти: однородных горизонтальных течений в треугольниках Ае'$ и РТез, однородного наклонного течения в треугольнике А$Р и центрированной простой волны в треугольнике $РТ. Аналитически эти области течения определяются следующим образом. Наклон а скачка А$ к оси х находится путем замены в формуле (22.32) ийдекса 1 на 0 и определения наибольшего положительного коРнЯ тс=сйдсс кУбического относительно т УРавнениЯ, котоРое полУчаетсЯ в РезУльтате подстановки в, Равного 18 Ьс.
Как только найдено а, состояние 1 внутри треугольника А$Р определяется по формулам (22.21) и (22.22), в которых индексы 1 и 2 заменяются на 0 и 1. Таким образом, при М „=Мсяпос мы вычислЯем Мд„, Р,/Рс и 9,(йо. Тогда число Маха М, за скачком дается формулой М,=Мгссовесс,=М,„зевес (ос — 6,). Простая волна простирается от ливии Р$, составляющей с напРавлением АР Угол, Равный агев1п(1/Мз), до линии РИг, составляющей с направлением РУ угол, равный агсвйп(1/Мз), где М,— чисз1о Маха, для которого 9з=Ь+б ° Уравнение линий тока в этой простой волне [см. формулу (18.9)] будет иметь вид Гл.
)Г. Теории иитеерироеоиил и еиоиии решения относительно г. Наконец, линия ТЮ имеет наклон, равный — агс зш (1/Мо). В качестве примера рассмотрим случай М, = 2, б = 10'. В п.22.7 мы нашли, что для этого числа Маха слабый скачок наклонен на 39'19'; Соответствующее значение М „было 1,2671, и за скачком мы имели М<и 0 8032 Р< 1 7066 Ро й< 1 4584 йо Соответствующее. значение М, было 1,6405.
Для этого значения М, мы находим <,"е = 106,0581', так что <',)о = 116,0581', этому соответствует М, = 1,9884 (см. табл. У в п. 18.2). Следовательно, угол наклона РЮ к АР равен 37'34', а РИ' к РУ вЂ” 30'12'. Для этих значений М, и Мо по форму- лам (8.15) и (8.16) получаем р<7р, = 0,2215, р,)р, = 0,1301, ч,/9,=0,3407 н до/9,=0,2330 (см. табл. 1 в п. 8.4)*). Следова- тельно, ро = 0 5875 р< = 1 0026 ро ро = 0,6839 д, = 0,9975 йо.
Этот пример использовался при построении рис. 155. Следует отметить, что величины М„р„до отличаются от Мо, ро, йо меньше чвм на 1%. Это со<ласуется с полученным в пре- дйдущем пункте результатом, относящимся к последовательным переходам через скачки с положительным отклонением и бегу- щим назад волнам. В обозначениях предыдущего пункта О, = бо = О, <т = 10'. Вышеприведенные рассуждения верны независимо от того, больше Ь„чем а, или меньше, чвм оно (при условии, что бомб„, для данного М,).
Остается проверить, что даже в том случае, когда точка Р лежит никее ливии Маха АС на рис. 154 (как в приведенном примере), не существует непрерывного реше- ния, удовлетворяющего граничным условиям (9). Доказательство полностью аналогично аргументации, приведенной в конце п.14.6 для соответствующего одномерного случая. 3. Сверхзвуковое течение около прямолинейного профиля; контактный разрыв о') В этом примере предполагается, что.
жидкость пересекает в горизонтальном направлении всю ось у и имеет на ней постоянное Давление Р„плотность Рл и свеРхзвУковУю скоРость <7о: а=а„<)=до> а„б=О пРи х=О дла всех У. *) Таблицы < и Ч такой точности не обеспечивают, но ола требуется длл п.з, где используетсл данный пример. 28.8. 7'ечение около прпиолинейноео профили Присутствие прямолинейного профиля АВ (см. рис. 156), имеющего длину 1 и наклон б„приводит к дополнительному граничному условию ~=бе)() при У=хйвбо для 0(х(1созб. Эта задача имеет общие черты с предыдущей; в частности, видно, что на верхней стороне профиля не существует непрерыв ного течения.
Как и прежде, мы предположим, что бе<бе для заданного М„и используем прямолинейный слабый скачок АВ, 3 Р и с. 156. Сверхзвуковое течение около прямоли- нейного профиля. для резкого отклонения потока в направлении АВ. Состояния перед скачком и после него представляются в плоскости годографа (см. рис. 156) точками Ро и Рх на дуге Р,Р, ударной поляры с вершиной в точке Р,. Отклонение потока на нижней стороне профиля осуществляется с помощью простой волны' с центром в точке А;'чтобы не нарушались граничные условия на оси у, зта волна должна быть бегущей вперед.
Изображением яе Гл. у. Теории интеерирсваниа и скачки этой волны (в плоскости годографа) является дуга Р,Р, зпициклоиды Г', проходящей через точку Р„а линии АИвз и АЗ перпендикулярны касательным к этой эпициклоиде, проведенным в точках Р, и Рз соответственно. При этом, конечно, предполагается, что угол 6 достаточно мал для того, чтобы эпициклоида пересекла-прямую О'Р, (см. пЛ8.3).
Тогда однородное течение на нижней стороне профиля представляется точкой Р,. Течение над профилем может быть соединено с течением под яим, если предположить, что вдоль соответствующей линии ВЗ, образуется прямолинейный скачок, а за линией ВЗ,— центрированная бегущая назад волна З,ВИв„соответствующая характеристике С', проходящей через точку В. Однородное состояние частиц после прохождения череа эту простую волну представляется точкой Р„лежащей на характе;ристике Г, проходящей через точку Рм а состояние после прохождения через скачок — точкой Рв, лежащей на ударной поляре с вершиной в точке Р. Эти две точки, Рз и Ре, должны удовлетворять двум условиям: во-первых, они должны лежать на одном и том же луче, выходящем из начала координат О', для того чтобы направление движения всех частиц за Ив,ВЗз было одним и тем же; во-вторых, величины давления р в этих точках должны быть одинаковыми.
Мы ограничимся теперь обсуждением тех случаев, когда Р, лежит на звуковой окружности или вне ее, так что течение за скачком ВЗ, является звуковым или сверхзвуковым. При соответствующйх условиях возможно удовлетворить двум вышеуказанным требованиям, выбрав надлежашцм образом наклон линии скачка ВЗ, и протяженность волны З,ВИг,. Однако величины плотности не обязательно будут одними я теми же для частиц, сходящих с профиля сверху и снизу. Таким образом, разделяющая линия тока ВС, проходящая через точку В, будет линией разрыва, аналогичной линии, описанной в пА5.2 для одномерного случая. Как и там, будем называть ее контактным разрывом. Она является характеристикой уравнений идеальной жидкости (см. п.9.6). Как мы отметили в п.2, точка пересечения линии скачка АЗ, и характеристики, проходящей через точку В, лежит выше профиля. Аналогично точка пересечения характеристики АЗ,и линии скачка, проходящей через точку В, лежит ниже профиля.
Таким образом, как и в предыдущем примере, области течения ограничены; их границами являются поперечные характеристики З,Т, и З,Т, простых волн и их продолжения Т,О и ЗзСУ. Задача определения картины течения вне области У,З,Т,О'СЗзТ,Ъ~ является более сложной, и для ее решения, как и прежде, должны быть использованы численные методы интегрированиям). Картина течения до состояний 1 и 2 может быть рассчитана, как и в предыдущем пункте. Затем в принципе легко опреде- 453 22.3. Течение около прлнолинейноео профили лить остальную картину течения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
