Р. Мизес - Математическая теория течений сжимаемой жидкости (1161654), страница 84
Текст из файла (страница 84)
Следовательно, все поляры, соответствующие одному и тому эюе значению М„являютея подобными. Это замечание позволяет нам в оставшейся части этого пункта ограничить свое внимание теми полярами, которые соответствуют фиксированному направлению я, и д =1. С другой стороны, скорость и в дальнейшем может рассматриваться для представления безразмерной скорости е1(д в любоы частном случае.
При а =1 скорость звука д, равна 11Ь, так что д, может меняться от 1/Ь до 1. Когда д, увеличивается от 1~Ь до 1, Р'л уменьшается от 1/Ь до 1/Ье и соответствующая ударная поляра в плоскости Р, У расширяется от бесконечно малого контура вокруг точки (1/Ь, О) до окружности с концами диаметра в точках (1/Ье, О) и (1, О); см. рис.
146. Все ударные поляры лежат между этими экстремальными кривыми, и каждой точке (ее внутри этого круга соответствует один возможный скачок: отрезок прямой Р'()е является вектором скорости йю вершина ее, поляры, тг.б. Ударная диаграл~лга и бугор давления проходящей через точку Д„определяет вектор скорости и,=О'~3„п перпендикуляр к прямой Дфг определяет направление скачка О'Ю. Изображение атого семейства поляр называется ударной диаграммой.
До сих пор давление и плотность входили в уравнения только через постоянную Бернулли д'/2, которая имеет одно и то же значение на каждой стороне линии скачка и равна правой и левой части равенства (Зв'). Как показывает формула (8.24), зта постоянная кратна величине р,/дг и, следовательно, температуре й езгрожн саго геакшмальнод Заро О' Р и с. 146. Удариаи диаграмма. торможения Т,. Таким образом, температура торможения имеет одно и то же значение па каждой стороне скачка. Однако давление торможения р, (а следовательно, и плотность торможения 9,) при переходе через скачок меняется. Для любого заданного давления торможения р, само давление может быть представлено путем построения бугра давления (см.
п.8.2) на плоскости ударной поляры (7, г', т. е. на плоскости годографа. Для лолитропического течения поверхность этого бугра определяется уравнением (16.12). При к=у и д =1 оно будет иметь вид и р [1 дг)тдт — г> ог ГГг+ Р'г (29) Бугор давления, который является поверхностью вращения, показан на рис. 147,а. Его основанием является круг радиуса Ч= о =1, а его вершина лежит на оси р в точке р=р,. Рассмотрим теперь пересечения плоскости, которая перпендикулярна плоскости Г, й и следом которой в плоскости ел'. г' 4З Гл. 7г. Теория интегрирования и скачки является прямая Дт()е, с семейством бугров давления, получающимся путем изменения Р,. Для любых двух таких кривых отношение ординат является постоянным числом. Выберем, в частности, два сечения, которые соответствуют р,=р„и р,=р„— давлениям торможения на двух сторонах скачка ( рис.
147,б). Пусть Р, и Р,— точки на этих двух кривых, соответствующие давлениям р, и р, (т. е. точки, проекциями которых являются гг, и ()е соответственно).'Тогда прямая Р,Р, касается обеих кривых. Если вектор скорости в1 соответствует точкам, лежащим 44 % а б Р и с. 447.
Сечение бугра давления. Π— ВсотннаЛЬНОЕ СЕЧЕННЕ СО СЛЕДОМ отсе, б †Ост ЛсоетЕЛЬНЛН на линии г„гьг,вл (рис. 147,а), он может быть разложен на постоянную компоненту о вдоль О'Я и переменную компоненту и, перпендикулярную этому направлению. Далее, формула (29) получена из уравнения Бернулли, которое в дифференциальном виде дано формулой (2.21'). Следовательно, гвр = — 97 би7 = — 0 [и б(п+ о б(о) = — йи бви на каждой из кривых на рис. 147, б. Таким образом, наклон первой кривой в точке Р, равен (г1р/г)и),= — р,и, и наклон второй в точке Р, равен (г(р/Ии)л= — р,и,. Этн величины равны по первому условию на скачке (За).
Кроме того, наклон прямой Р,Р, равен (р,— рл)/(и,— и,), и в соответствии со вторым условием на скачке (Зб) он будет таким >ке, как два предыдущих наклона. Следовательно, прямая Р,Р, является общей касательной к двум кривым. Когда точка (7 движется вдоль данной поляры, точка Р, движется в плоскости, касающейся в точке Р, бугра давления, проходящего через точку Р,. Этот бугор определяется величиной р„. Для произвольного заданного положения точки гв точка Р.
Зв.б. Отквонение линии тока, вывиваемое скачком 433 получается' как точка пересечения вертикальной прямой, проходящей через Ч„с этой касательной плоскостью. Поскольку точка Р, определена, то имеется только один бугор давления семейства (29), проходящий через точку Р„или, другими словами, только одно значение величины р„в во). Мы закончим этот пункт выводом в явном виде формул для отношения рм/реп 10 3 /)5 О 1 5 1О 15 ЯО У Р н с.
148. График зависимости отношения давлений торможения от отношения давлений. Ввиду того что величина Т, является одной и той же на обеих сторонах скачка и течение там является адиабатическим, мы имеем следовательно, Рвт В)-1/(т-)) Дткт — 1), Рчв где, как и в п.3, в) =рв/Рв и ви=йв/йв ). Уравнения ' (21) — (23) теперь позволяют нам выразить Л только через одну из величин $, в), ~, М,„или Ь1,„. В „частности, мы имеем 1) Г /ввв)+1 )т/( 1) =т) ) в)+а .) (30) На рис. 148 дается график зависимости Л от 7).
б. Отклонение линии тока, вызываемое скачком Отклонение 6 линии тока при пересечении скачка дается углом ДвО'Д, на рис. 144, т. е. величиной пв — св. Когда точка 1) движется вдоль поляры, изображеннойна рис.145,а, от точке )',), ь точке А, этот угол увеличивается от нуля до максимального в) Согласно равенству (1.7), величина Л есть Л=ехр[(Яв — Яв)/5)в), тан что она представляет таняве ивменензе ентроннн. 28 г, мнвес Гя. )г. Теория интегрирования и скачки значения, а затем уменьшается снова до нуля.
Итак, мы видели, что ударная поляра определяется (за исключением ее величины и ориентации) числом Маха Мг набегающего потока. Таким образом, мы заключаем, что для каждого значения Мз имеется максимальное значение отклонения, которое может быть вызвано скачком. Это аналогично тому, что было получено в п.18.3 для отклонения потока с помощью простой волны. На данной поляре имеется связь между отклонением б и наклоном о, скачка по отношению к линии тока набегающего потока. Таким образом, из уравнений (24), (25) и рнс.
145 мы находим Сиб= — =(' —,— 1)сСяо =- р ш (с 1, (г 1— ~сС и. (Вг — 0л)+Ы~ — (Ув) сьаг о, ( УЛ+УВ ~ьаг О, .1 Если мы введем обозначения т,=сСяом з=Сяб, 3=1 — — =1 — —, ~УЛ Етг 2 (С1, 1— 1) — ) ге) = (т+ 1) М1 ' (31) до 2т, '= (~+1) 1+у †для т, < О имеет место обратный процесс. Любая кривая (32), которая соответствует некоторому физически возможному перехо- ду, лежит между этими двумя последними кривыми.'Каждая такая кривая пересекает ось т, в начале координат и в двух точках т, =.~ 1/ — — = ~ 'РсМ,' — 1 = ~ сСа а„ с то эта формула примет следутощий вид: (от)+а) ъ, (1 — с) ъ1+1 — й (32) Для каждого значения М, имеется соответствующая кривая в плоскости т„е, связывающая отклонение б с наклоном скачка и, (см.
рис. 149). Когда величина М, возрастает от 1 до ос, вели- чина с монотонно возрастает от — 2/(у+ 1) до О, а величина с)— от О до 2/(у+1). Таким образом, уравнение (32) показывает, что для фиксированного положительного т, величина е с увели-' чением М, монотонно возрастает от з=' — . ' при М~= и иМз — 1 22.В. Отклонение линии тока, еиеиеаемое скачком где а,— угол Маха, соответствующий Мю Начало координат соответствует точке А на ударной поляре, а две другие точки— двойной' точке ее . Следовательно, для физически возможных скачков наше внимание должно быть ограничено интервалом ~т,~ <ссра,; (33) концевые точки соответствуют нулевому скачку, для которого, как мы видели раньше, о,=ап 180' — а,.
Таким образом, как мы получили в п.3, для каждого М, наименьшим возможным углом между линией скачка и линией тока набегающего потока Р и с. 149. Связь между углом отклонения линии тока и наклоном скачка для фиксированного,числа Маха набегающего потока. является угол Маха а, = агс зш 1(М,; наибольший возможный угол равен 90'. Последний соответствует т, = 0 или прямому скачку. В обоих случаях результируеощее отклонение равно нулю.
Соображения симметрии позволяют сосредоточить внимание ка интервале 0<т, <с1иам который соответствует верхней половине ударной поляры. Из рис. 149 ясно, что для кансдого значения М, величина е имеет максимум в этом интервале. Это согласуется с утверждением относительно Ь, которое было сделано в начале данного пункта. Значение т„при котором достигается этот максимум, находится из формулы (32) приравниванием производной е1з/Ж, нулю.
Оно является поэтому корнем.уравнения с (1 — с) т,'+ (Зс — 2сд — А) т', + д (1 — с() = О, или Ас',+Вт1+С = О, 28е Гя. 'е'. Теория интеерирееииия и еиаиеи где А=(у+1) М,*+2, В = (у+ 1) М, '+ 2 (у — 1) М„'+ 4, С= — (М,'— 1)((у — 1) М,'+2]. Корни этого уравнения, которые соответствуют действительным т„ выражаются через М формулой е з [(У+1) М[+2(У вЂ” 1) Мее+4) 2 [[у+1) М1+2[ + Меду (у+1) [(у+1) М)+8[у — 1) М[+16[ (34 2 [(у+1) Ме+2[ и искомый корень является положительным квадратным корнем из этого выражения. Несколыдо более простое выражение получается для синуса угла оы при котором происходит максимальное отклонение: з [[У+1) Мее — 4) г (у+1) [[у+1) М[+8[у — 1) М1+16[ (35) 4УМде Для каждого заданного значения М, максимальное возможное отклонение ливии тока би,„, может быть определено путем вычисления положения скачка, определяемого углом о,, по формуле Ф0 ф 20 й 10 0 1 Ч Р н а.
160. График зависимости максимального угла отклонения ат числа Маха набегадащега патока. (34) или (35) и подстановки результата в формулу (32) для получения соответствующего е= 1п6. График зависимости 6„,„, от М, приведен на рис. 150, а несколько соответствующих значений— в таблице д11 (см. п.7). Ясно (см. рис. 149), что максимальное отклонение монотонно возрастает с увеличением Мд.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
