Р. Мизес - Математическая теория течений сжимаемой жидкости (1161654), страница 94
Текст из файла (страница 94)
Такое решение будем обозначать через Т (г, р), где один символ употребляется для всего семейства переменных состояний. Тогда Т(г, р) называется решением типа ударного перехода уравнений (42), еоответетвуюи/им линии Я и состояниям 1 и 2. Оно зависит неявным образом от коэффициента вязкости ро через переменное г, которое .равно величине 1/р„умноженной на расстояние от Я.
Если правые части уравнений (42) заменены нулями, то получившиеся уравнения больше не содержат производных по н будут эквивалентны уравнениям (11.8), описывающим одномерное установившееся течение совершенного вязкого газа, если поставить рог=а вместо х, и'=и — е вместо и и частные производные вместо полных. Это легко проверить, если вспомнить, что е не аависит от г. Следовательно, решение этих уравнений получается таким же образом как решение уравнений (11.8), аа исключением, конечно, того, что теперь постоянные интегрирования ьп, С„С, должны рассматриваться как функции р. 486 Гя. »г. Теория интегрирования и скачки Последовав уравнения (И.8), мы нашли, что, когда система обладает решением, при котором частицы переходят из состояния 1 при х = — со в состояние 2 при х= + со, эти состояния удовлетворяют условиям на скачке (44а) (44б) (44в) Огиг = ягиг = тг р, + й,и»в = р, + д,и, г= С„т, — и,+ — — = — и + — — =С, '1 у и 1 2 г у — 1 с» 2 г у — 1 се где т > О, а также условию Тз> Т,.
Теперь мы проверим обратное: если и„р„о, и и, р„ представляют собой две системы значений, удовлетворяющих условиям (44) при т > 0 и условию Т,> Т„то существуют решения уравнений (И.8), при которых частицы переходят иэ состояния 1 при х = — сг» в состояние 2 при х = + о». Для этого предположим, что соотношения (44) являются определениями постоянных т, С, С и запишем условия (44б) и (44в) через переменные о=ив/2Сгг и 4= р(Сгй, а именно — + )г'2о,= — '+)г 2и =1, о+ — 6 =и+ — ез ——— у у у — 1» з у — 1 з Сг Эти последние уравнения в точности совпадают с уравнениями (И.21).
В обозначениях, принятых в п. И.4, они выражают то обстоятельство, что точки (о„6,) и (о„9 ) являются точками пересечения парабол )с= -1- оо и Х= — 1 в плоскости о, 6, причем в силу условия Тз> Т, точка 1 расположена справа от точки 2. Предположим теперь, что о (х) и 9(х) являются некоторыми решениями уравнений (И.14). Тогда и(х) и Т(х), определяемые соотношениями (И.13), будут удовлетворять уравнениям (11.12). Если теперь мы определим о (х) и р (х) как р (х) = т(и (х) и р(х) =дХй(х) Т(х), то четыре функции и(х), р(х), о(х) и Т(х) будут удовлетворять уравнениям (11.9), (И.10) и (И И), а следовательно, и уравнениям (И.8).
Но в п. И.4 мы уже видели, что при т > 0 существуют решения уравнений (И.14), в которых о, 8 переходят из состояния 1 в состояние 2, когда х увеличивается от — со до + со. Любые два таких решения получаются одно из другого путем переноса начала координат по х. Следовательно, имеются решения системы (И.8), в которых и, р, о изменяются от значений в состоянии 1 при х= — о» до,значений в состоянии 2 при х= + со.
Графики зависимости и, р и р от х для любых двух решений получа1отся один из другого параллельным переносом в направлении х. 487 Зе.й. достаточность ис ьоеий на скачке При т ( О такой же результат будет иметь место для частиц, переходящих из состояния 1 прн х= + со в состояние 2 при х = — со. При т= О газ покоится; плотность и давление имеют одинаковые значения во всей его массе. Объединим теперь все полученные результаты и сформулируем их для переменных, фигурирующих в исходной системе (42). Пусть и„р» оь и и„р, о представляют собой две группы зььачений и, р н й, зависящих от времени Ь, и пусть Ю вЂ” проы вольная кривая в паосквсти х, г, наклон которой равен ьех/ей= =с(е).
Тогда условия на скачке(14.2) и (14.9) являются не только необходимыми, но и достаточнаиьи условиями существования решений Т (з, ~)) типа ударного перехода, соответствующих лшьии Л и двум выбранным состотиииь и удовлетворяющих уравнениям одномерного квазиадиабатического неустановившегося двизкения совершенного вязкого гага. Для любых двух таких решений графики зависимости и, р и о от х в каждый момент времени з получаются один иэ другого параллельным переносом в направлении х. У Р н с. 165.
Система ортогонгльвыхкрнволннейных координат в плоскости х„ Ю Аналогичный результат имеет место в случае установившегося плоского течения. Мы рассмотрим кривую Я в плоскости х, у н на этот раз введем ортогональную систему координат, в которой одно семейство координатных линий является семейством нормалей к Ю (см. рис. 165).
Тогда координатные линии другого семейства пересекают эти норвьали на постоянном расстоянии от Ю. Таким образом, в качестве одной координаты (а) точки Р мы можем взять расстояние от точки Р до Ю по нормали, а в качестве другой (р) — длину дуги вдоль Ю от фиксированной точки Ро до основания этой нормали. Уравнения, описывающие Гл. У.
'Теория инояегророоонил и овечки квазиадиабатическое 'установившееся плоское течение совершенного вязкого газа, записываются в этих новых координатах и соответствующих компонентах скорости и и о; коэффициент вязкости р, вводится при выражении напряжений через градиент скорости с помощью двумерного аналога предположения (11.6) о вязкости. Для определения решений типа ударного перехода, удовлетворяющих этой системе уравнений, нормальная координата увеличивается в отношении 1: р, а аатем каждый член, содержащий множитель р„заменяется нулем. Три уравнения получившейся системы будут эквивалентны уравнениям (11.8); четвертое выражает то обстоятельство, что компонента о скорости в направлении координатной линии р (т. е.
параллельная линии о) остается постоянной вдоль линвш и. Из этого легко видеть, что условия на ока яке (22.3) и (22.16) явлюстся не только необходимыми, но также достаточными условиями для суи(ествования решений типа ударного перехода, соответствуюи~их линии 8 и двум еруппам величин и, о, р (зависящих от р) и удовлетворяюших уравнениям квагиадиабатического установившегося плоского течения совершенного вязкого гага. 6.
Аснмптотическпе решения уравнений течения вязкой жидкости Для понимания роли 4тих решений типа ударного перехода нужно более тщательно исследовать свяаь между решением задачи для вязкого газа и решением с помощью принципов, установленных в и. 14.2 и 22.2. Предположим, что конкретная задача, скажем, в плоскости х, е, решена при помощи уравнений, описывающих квазиадиабатическое течение совершенного вязкого газа для всех малых значений р ~0. Обозначим это семейство решений через Я(х, г; р,), где, как и ранее, один символ употребляется для целого семейства переменных состояния.
Когда х и г, согласно формулам (39), заменяются через р,г+ ~(р) и )) соответственно, то же самое семейство мы будем обозначать через В(г,р; р,). Зависимость этого семейства решений от к не указывается, так как для простоты мы можем предположить, что величина ро/Й, которая пропорциональна числу Прандтля Рг, имеет одно и то же постоянное аначение для всех р,. Предположим также, что та же самая задача решается в соответствии с принципом, изложенным в п.14.2,"- это асимптотическое решение Яо (х, г) удовлетворяет уравнениям адпабатического течения совершенного невязкого газа' во всех точках рассматриваемой плоскости х, г, за исключением линии Ю, при переходе через которую разрывы величин и, р и о удовлетворяют условиям (14.2) и (14.9).
На основе рассмотрения, проведенного в п. 14.1, мы ожидаем, что при достаточно малых ро решение 8 для вязкого газа будет близким к З„за исключением окрестности линии Ю, где 24.В. Аеилсссеселсичеезие решение 4вз оно претерпевает резкое изменение в направлении ее нормали; это полное изменение приблизительно равно скачку в значении 8 при переходе через линию Я [описываемому уравнениями (14.2)]. Внутри области такого перехода 8(х, с; ре) имеет производные, которые неограниченно возрастают при )ле — ь О. Однако кажется правдоподобиыы, что производные 8(з, р; рз) ограничены. Тогда правые части уравнений (42) будут иыеть порядок д„и мы ыожеы ожидать, что 8 оказывается близким к решению типа ударного перехода Т(г, р) уравнений (42) в этой области. Далее, иэ З 11 мы внаем, что любое полное изыенение параметров потока [а следовательно, и Т (з, р)] происходит на интервале, длина которого имеет порядок ре [см.
оценку (11.54), где в соответствии с формулой (11.26) Ь, пропорционально (зе]. Следовательно, мы можем получить сколь угодно большие градиенты Т, ° рассматривая окрестность Ю, ширина которой имеет порядок лсеньший, чем )л;, то же имеет место и для 8; Теперь мы сформулируем зто положение более точно. Пусть расстояние сс (де) стремится к нулю медленнее, чем р, т. е.
пусть )ле/сс(рь)ь лО. Тозда, выбирая )л достаточно малым, мы можем обеспечить с любой заданной твчноспсью, что а) в точках, удаленных от Я более чем на с)(р ), решение 8(х, с; рь) приблизительно равняется 8,(х, с) и б) в точках, удаленных от Ю мессее чем на с((~се), решение 8(з, ]3; )се) приблизительно равняется Т(з, р) — решению типа ударнозо перехода, соответствуюшему линии о и двум группам значений величин и, р, й, которые принимает 8е на о'. Зтс, конечно, нельзя показать в общем случае.
Однако в предыдущем пункте мы доказали существование решений типа ударного перехода, постулируемых утверждением (б). Иначе говоря, было показано, что утверждение (б) не является противоречивым; кроме того, мы указывали, что оно является правдоподобным. Точное решение (п.11.4) дало нам только один известный в настоящее время конкретный пример, для которого это положение может быть подтверждено'е). Задача заключается в нахождении течения, для которого величины и, р, й принимают заданные постоянные значения и„рс, йс и и„р„йе при х= — со п х = + со соответственно для всех з; эти значения удовлетворяют условияы (44) на скачке при т) О, а также условию Т,>Т,. КРоме того, ыы тРебУем, чтобы и = с/з (и, + и,), скажеы„пРи х = О, чтобы фиксировать 8 (х, е; рр).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
