Р. Мизес - Математическая теория течений сжимаемой жидкости (1161654), страница 55
Текст из файла (страница 55)
Значении о и 0, вычисленные л на АЕ, вместе с известными значения- в'е о. ми 9 вдоль АВ определяют и в треуголь'/ нике АЕР (область П), где АЕ и й ЕР— характеристики. Таким же образом, заданные вдоль ВС значения 0 позволяют найти распределение скоро- Р и с. 91. Плоский казал. стей в треугольнике ВЕС (область П1). По значениям д и 9 на характеристиках ЕР и ЕС находятся эти величины в области 1У и т.
д. Все это справедливо, конечно, только для случая чисто сверхзвукового движения. В дозвуковом течении нельзя выделить какую- либо частичную область влияния граничных условий. 5. Годограф') В п.8.2 понятие годографа было введено следующим образом. В установившемся двумерном течении было установлено взаимно однозначное соответствие между точками Р(х, р) плоскости х,У, где скоРость Равна в1, и точками Р' плоскости Рт до с ~ декартовыми координатами д„, о, или полярными координатами д, 9.
Это преобразование точек Р в точки Р' известно как преобразование еодографа. В общем случае линия тока в физической плоскости (т. е. в плоскости течения х,у),.преобразуется в, плоскости годографа 0,9 в линию, которую мы Опять будем называть лилией тока. Нашей первой задачев), здесь 10.0. Годоораф а/ д/ дд д/ дв — = — — + —— д1 дд д1 дв д1 (26) Применим эту формулу четыре раза, принимая ф и ~р за /, а направления Иг и г/и за й (рис. 87).
Вспоминая далее соотношения ((5') и (19) — =д — =9 — =9, — =од дф дф дф дф до ' дп ' до ' дп (27) получим для соответствующих неизвестных дд/дг, дд/дг и до/дп, де/дп две системы линейных уравнений дф дд аф дВ д= — — + —— де до дв дв ' аф дд аф дВ о= + дд дп дВ дп дф дд дф дВ ед= — — + — —. де дп дВ дп (28) Детерминант каждой из этих двух систем дф дф дф дф д(~р, ф) в= —— ад ав ае ад — а(д, е) (29) представляет собой якобиан от ф, ф по д, 9. Считая, что детер- минант Р отличен от нуля, найдем дд 1 дф — = — д — > до В дв ' дв 1 дф дг Рй дд (зо) дд 1 дф — „= - — йд— а в аз* ае 1 аф — = — ед— дп Ю дд Подставив эти выражения в два основных уравнения (7) и сократив результат на общий множитель $/Ю, получим основные ураво является вывод дифференциальных уравнений, которым должны удовлетворять функция тока и потенциал, рассматриваемые как фУнкции д и дэ или д и 9, а не как фУнкции х и У или дРУ- гих координат в плоскости течения.
Переход к плоскости годографа, т. е. использование зависимых переменных 9 и 9 в качестве новых независимых переменных, эквивалентен, как это уже было исследовано в п.10.6, замене переменных х, у над,д. Пусть / — некоторая дифференцируемая функция от и. Рассмотрим ее значения в некоторой точке Р и в соседней точке Р, физической плоскости. Пусть д/д/ обозначает дифференцирование по направлени1о РР,.
Тогда 278 Гл. 1У. Плоское устаиоеиетееся аотенциалъное течеиие пения в плоскости годографа д~г м — 1д1 др д др (31) до Од дз ' дз с да Если сравнить уравнения (31) с уравнениями (18) и (18'), которые непосредственно следуют из определения потенциала и функции тока, то преимущество уравнений (31) очевидно. Так как о и М представляют собой известные функции от д, а а — независимая переменная в уравнениях (31), то вти уравнения являются линейными. С помощью еще одного дифференцирования можно без труда исключить из уравнений (31) ~р или ф и получить для оставшейся функции одно дифференциальное уравнение второго порядка, а именно (33) (32) Проводя дифференцирование в уравнении (32), найдем дев ме — 1Ф~д о ы /в'~ де две уе дее д дд ~О / дд Воспользовавшись теперь уравнением Бернулли д/1 ~ 1 де до 1 д ад( О./ де аР Ыд О ае получим уравнение Чаплыгина (32') Зто уравнение справедливо для произвольного баротропного течения.
Если для политропического течения Мг выразить через о с помощью формулы (10), то в результате будем иметь е В 6 в Здесь выражения, стоящие в первой и третьей скобках, могут быть записаны как (1 — дг/д' ) и (1 — дг(Чес) соответственно. (еодобным образом найдем Если здесь выполнить дифференцирование, то в результате появится плен с(М/ссЧ или с(а/Ид. В случае политропического течения «6.6, Характеристики в плоскости водо«рафа 279 мы получим т ( ) д» +(1 — М ) дз«+д(1+хМ ) ~ =О, (33") где М' можно выразить с помощью формулы (10). Уравнения (32) для «р проще, чем уравнения (33) для ~р. Для несжимаемой жидкости 9 = о, = 1, а †» со, М вЂ » О, поэтому уравнения (31) сведутся к уравнениям Коши †Рима для переменных 1п д и — 0; что же касается уравнений (32') и (33'), то в этих переменных они сведутся к уравнени«о Лапласа.
В этом случае можно ввести комплексный потпенциал ш (з) = =ц+««р, где з=х+(у. Если ш продифференцировать по з, то получим комплексную скорость ь Ц =ш'(з) = — +1 — =д„— «'о»=де 'З, дз . д«г причем ш(з) является аналитической функцией от 9, хотя, вообще говоря, она может и не представляться одним и тем же рядом во всей области течения. К уравнениям (31) — (33) могут быть применены методы интегрирования, пригодные длр линейных задач, особенно метод суперпозиции частных решений. Однако утверждение, что в результате перехода к плоскости годографа исходная аадача «линеаризована», было бы неверно.
(Это можно сделать; только прибегая к помощи приближенных методов.) Преобразование годографа позволяет выделить из общей задачи некоторую частную задачу, которую можно решать с помощью методов, пригодных для линейных задач. Как мы видели в п.1 (для политропического течения) и еще раньше в п.8.2, годограф, представляющий течение, лежит внутри окружности радиуса д . Сверхзвуковая часть течения попадает в кольцевую область между атой окружностью и звуковой окру»кностью радиуса дт а дозвуковая часть находится внутри звуковой окружности. Отношение этих двух радиусов для политропического течения будет '- = ~/ "+', =й; (34) Ь«=6, с«=2,45 при х=1,4; Ь=2,437 при х=1,405.
Все это согласуется с аналиаом, проведенным в п.8.3. 6. Характеристики в плоскости годографа«) Так как преобразованные уравнения (31) линейны, то в плоскости годографа существуют фиксированные характеристики Г. Применив к линейной системе (31) формулы, приведенные в 9 10, можно записать уравнения этих характеристик; они могут быть 280 Гл. 7У., Плоское устаноешпиееся потенциальное течение получены также из уравнений (32') и (33') с помощью формул, выведенных в $ 9, (35) Уравнения (35) следуют также из соотношений совместности (24) [см. уравнение (10.5) при условии, что а=Ь=О, а коэффициен- ты а, и Ь; (1=1, 2, ..., 4) зависят только от и и о).
Вывод формулы (35) двумя этими способами — по линейным уравнениям (31) и по уравнениям (24) — дает, между прочим, доказательство того обстоятельства (подробно исследованного в п.10.7), что ха- рактеристики Г линейных уравнений в плоскости годографа яв- .ляются изображениями характеристик С в плоскости х,р.
Чтобы дать независимый и непосредственный вывод основного соотношения (35), рассмотрим отображение характеристик (линий Маха) физической плоскости на плоскость годографа. Пусть точ- ки Р и Р, физической плоскости отображаются в точки Р' и Р; плоскости годографа. Возникает вопрос: каково будет направле- ние Р'Р;; когда РР, составляет угол ц- а с линией тока, про- ходящей через Р7 Приращения д и 9 при перемещении из Р в Рг равны дд = — сЬ+ — Йп =~ — ~ $яа — ) сЬ, дд дд, дд да.
дг дп ч. дг дп ) с дз дз ч ггд = ~ — ц- ьд а — ) сЬ. ~. дг дп ) Используя уравнения (7) и равенство М' — 1 = сьйг а, будем иметь с(д =( — ~ узда — )Ыг, гИ=~ — ц- — с1да — )сЬ, (36) е дд де дЕ 1 да ' (, дг дг ) ' ~ дг а дг ) огкуда опять следует соотношение (35) или д — = + сада. агз (37) Величина десд/Ыд представляет собой значение тангенса угла между касательной к характеристике Г в точке Р' и радиусом- вектором 0'Р' (рис. 92). Таким образом, равенство (37) гласит: характеристики Г', Г в плоскости годографа образуют углы ~ а' (где а' = 90' — а) с направлением радиуса-вектора, т.
е. с направлением вектора г1. Иначе говоря, характеристика С' в точке Р физической плоскости нормальна характеристике Г в точке Р' плоскости годографа; аналогичное положение имеет место для характеристик С и Г' (см. также уравнение (24")]. Существенным свойством, которое выражается формулами (35) или (37), является, однако, не зта геометрическая связь между направлениями характеристик С и Г, а то обстоятельство, что наклоны характеристик Г в точке Р' определяются только координатами в6.6.
Характеристики в клоскости водоерафа 201 а и 0 этой точки. Следовательно, характеристики в плоскости годографа могут быть вычислены и построены раз'и навсегда. В дальнейшем для их определения уже не нужно будет Р и с. 92. Ливии Маха и характеристики в плоскости годографа; физическая плоскость и плоскость годографа. пользоваться уравнениями (7) и (18). Вид этих характеристик зависит только от соотношения между р и о. В политропическом течении сьда=- )/Мз — 1, т. е. эта величина, определяется как квадратный корень из второго выражения (10). Тогда условие (37) принимает вид 2а, '— (и — ()дв Л о 'к. 6тв — дв / 6 Интегрируя, получаем 0= )- (о+Ао+сопв$), (39) где о, как это можно проверить дифференцированием, выражает- ся так: с)йо=)вьйа=, к й[ Ь ч Ь в з;Мз (М' — ц'~ (.Ивтв — дз ) Окончательно получаем формулу -(-д=агс19 +Йагс29 „+сопвФ.
~/М' — ( р'Мв — ( (39') (39") к) Это уравнение, дающее связь между В и М (нли между Е и д) вдоль характеристической линии, конечно, идентично с соотношением совместности (24). Мы могли бы здесь проинтегрировать ето соотношение. Выражение, стоящее в правой части этого равенства, может быть записано в различных других эквивалентных формах*).
Когда о увеличивается от осккд 7Ь до о, то М меняется от 1 до со, о — от 0' до 90', а — от 90' до 0', а' (угол между характеристн- 282 Гл. 1'е'. Плоское Кстанооиетееаа лотенциальное енечение кой Г и радиусом-вектором) — от 0 до 90, а у 90' а 8 величивается (верхний знак) вдоль характеристики Г' или у ( ' или меньшается (нижний знак) вдоль характеристики Г на величину ( — ) на 130,45' для к = 1,4 и 129,32' для к = 1,405. Геометряческий смысл характеристик в плоскости годографа объясняется на рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
