Р. Мизес - Математическая теория течений сжимаемой жидкости (1161654), страница 51
Текст из файла (страница 51)
Выпишем еще уравнение Ньютона для проекций на направление оси х. Тогда мы будем иметь — „. (ек)+ до =О, д дд (18) 256 Гл. 1!1. Одномерное течение др до оР' ь дьф оР' — =а' — + =а — +— дх дх дЯ/др две дд/др (22) Таким образом, второе уравнение системы (18) принимает вид (23) Левая часть уравнения (23) совпадает с левой частью уравнения (12.11'), однако в правой части уравнения (12.11') стоял нуль. В правой части уравнения (23) содержится величина о, которац равна дчр/дх, величина г', которая является известной функцией чр после того, как функция г"1чр) 'определена, и, наконец, величина дЯ/др, заданная функция р и о, которая благодаря равенству Ю(р, о) = г' (чр) может быть выражена как функция чр и о. Поскольку и определяется отношением ( — дф/д!): (дф/дх), мы видим, что коэффициенты уравнения (23), так же как и правая его часть, зависят только от функции ф н ее первых производных. Таким образом, уравнение (23) является квавилинейньем*) неоднородныле ди(д(деренииальным уравнением второго порядка относительно чр, отличающимся от уравнения (12.11') только правой частью.
Для совершенного газа энтропия пропорциональна логарифму р/йт. Выбирая в качестве Я некоторую функцию энтропии, а не саму энтропиьо, мы можем написать дд 1 дЮ тр , р ю(р й)- —, аь=у —, чг ' др чт ' до чт+1 и в этом случае правая часть уравнения (23) будет равна й"+'Р'(ф). Основной результат, который мы можем получить из уравнения (23), заключается в следующем. Так как характеристики е) То есть лвнейвыы относительно проиэводиых наивысшего порядка; си. и. 9.4. обозначение скорости звука а даже в том случае, когда производная «)р/дд не определена (ее величина зависит от Их/д!). Приемлемым определением (см. п.5.2 и 9.6) является дЮ/дд др/е/! дХ/др до/В! (21) Второе равенство является прямым следствием условна (17). Таким образом, величина а' станет известной функцией р и о, как только будет известна функция Ю(р, о).
Тогда скорость звука люжет быть выражена через чр и 9, если известна также функция Р(ф). Разрешая уравнение (20) относительно др/дх и используя обозначение аь для отношения частных производных функции Ю, мы получаем И.7. Второй подход дифференциального уравнения зависят только от членов второго порядка, то в данном случае ови будут теми же самыми, что и в случае, который рассматривался в-$ 12 и 13. Таким образом, характеристиками в плоскости х, о являются линии с наклонами и+а и и — а, где а — та оке функция р, й, что и ранее (см. также рассуждения в конце п.
24.2). Однако другие выводы, аналогичные выводам, полученным в 1 12 и 13, не могут быть сделаны. Перемена местами зависимого и независимого переменных, использование представления в плоскости и, о и т. д. уже не принесут пользы, так как уравнение (23) является неоднородным.
В п.14.3 было показано, что действительное изменение энтропии при переходе через скачок является в большинстве случаев весьма малым. Таким образом, если течение до скачка является однородным, если скачок не очень силен и если в то же время наклон скачка меняется слабо, то производная Р' будет малой. Прп этих обстоятельствах можно, как правило, считать течение после скачка изэктропическим оз). 7. Второй подходел) Имеется другой подход к этой задаче неизэнтропкческого течения. Если первое уравнение системы (18) умножить на и и слояшть со вторым, то последнее заменится уравнением — (ои) + — (р+ ои') = О.
д д Зто уравнение позволяет нам ввести ковую функцию с (х, о), такую, что сЦ = ои Их — (р + ри') о(г, (24) так же как в силу первого уравнения системы (18) сушествует функция ф(х, г), такая, что аф = о Их — ри ап (25) Подставляя этп выражения в уравнение (24), ыы имеем дз = и И~> — р оИ.
' (26) У)ы видели, что в адиабатическом течении энтропия о'(р, о) является функцией только от ф (именно Р (Я)], определяемой граничными условиями. Поэтому задание функции Р предусматривает алгебраическую связь между р, р и ф во всем потоке. Если вместо х и ~ за новые независимые переменные выбираются любые две из этих трех величин, то третья может рассматриваться как известная функция этих двух величин в любой задаче. Болев !7 г. мизес 1гь 111. Одно.первое юиечение 258 того, уравнение (26) может быть переписано следующим образом: г($ = иг)ф+1Нр, (27) где $=4+рг.
Следовательно, мы приходим к выбору ф п р в качестве двух новых независимых переменных вместо я и 1 и к замене $ на $. Тогда функции и (ф, р) и 1(ф р) определяются соотношениями (28) и уравнение (25) дает для з(ф р) и 1(ф, р) следующую систему: дх дг $ — — и — = —, дф да о ' дз д1 — — и — = О.
др др (29) Подставляя в систему (29) соотношения (28), получаем и-% ~", ~+ ) дз де дЯ~ др д~ дрз ' (30) -В отличие от уравнения (23) уравнение (31) Монжа — Ампера ке является квазилинейным. Однако оно имеет очень простой зпд, так как его правая часть является функцией только от независимых переменных. Правая часть может быть переписана как произведение — 1/йз на Ый~др, и так как эта производная берется прп неизменном ф .(пли Ю), то в соответствии с формулой (21) мы моя<ем написать дО дакар др дд(дз аз если пз этих двух уравнений исключить х = я (ф р), то для 3 = ь (т", р) получится следующее уравнение й(онжа — Ампера: Ввиду того.что здесь о является известной функцией от ф и р, правая часть представляет собой известную функцию тех же переменных. Как только соответствующее решение З(ф, р) этого уравнения будет найдено, переменные и, 1 определятся как функции ф и р соотношениями (28), а переменная х, согласно уравпепкям (30), определяется выражением во.8.
Иеиввнтропинеенссе простие волны, Линеаривацин 2ьд Позтомч д с 1'~ 1 — ( — )= — Л <О, (32) сср ~ о ) оо Если, наоборот, задано Л, то соответствующие ему функции Я (р, о) и р" (ф) могут быть получены интегрированием этого последнего уравнения. Результат может быть представлен в виде ~(р й) =р(р). для совершенного газа мы можем, как и ранее. взять Ю= р~рт, тан ЧтО $(й=р ~т1Р(вР)) Г" И вЂ” р — иб (ф) ч т+ 2т б(ф) ==(р(фН '. (ЗЗ) Уу В случае изэнтропического двнзеевпя о является функцией только от р независимо от того, является ли газ совершенным.
Тогда правая часть уравнения (31), а следовательно и Л, зависит только от р. При изэнтроппческом движении совершенного газа обе эти величины в соответствии с уравнепием (ЗЗ) пропорциональны степеням р, так как тогда 6(~р) зо всем потоке сохраняет постоянное значение. 8. Неизэнтропические простые волны. Линеаризация Уравнение Монжа — Ампера (31) имеет два семейства характеристик, являющихся, как и ранее, линиями в плоскости независимых переменных, вдоль которых аналитичность решения нарушается. Вдоль характеристики Л сееР— И = О, Л сгф+ Й = О, либо серое =0~ сер — в о, ( (34) в зависимости от семейства, к которому принадлеяепт характе- ристика.
Уравнения в первой строке системы (34) с помощью равенства (25) приводятся к виду еЬ = (и ит а) Й, что соответствует уравнениям характеристик уравнения (23). 4(ы видели, что для иззнтронического движения Л является функцией только от давления р; в этом случае уравнения во второй строке системы (34) могут быть пропнтегрированы и дадут С сгр Г аасз о ит и=совз6, о= ~ — = ~ —, 3ао 1 е что согласуется 'с соотношениями (42.22).
Это наводит на мысль исследовать другие условия, прп которых какая-либо из пар уравнений (34) имеет интеграл. 17и Гл. еП. Одномерное течение Точнее говоря, мы хотим найти такие функции Х(ф р), для которых существует функция И'(ф р, в, и, 1), такая, что в силу, скажем, первой пары уравнений (34) и равенства (27) выполняется равенство И'=сопя!. Ответ на этот вопрос может быть получен для самого общего случая, но леы ограничимся адесь такими функциями Х, которые соответству!от случаю совершенного газа [см. формулы (33)).
Мы найдем, что функция б(ер) должна либо быть постоянной, что соответствует изэнтропическому течению, рассмотренному вьппе, либо иметь вид б($) = 7е(е)е — ф,) (35) гДе ее и еро — пРопзвольвые постоанные. Коли опУСтить постоЯнную ф„(положнть ее равной пул!о), то соответствующим интегралом будет функция и Гфче — ! Ие! = — иф+ 1р — З вЂ” ( — ) = сопзЬ. (36) т — 1( Р) Легко проверить, что вдоль характеристики а„до — 1 (И ! —.
(и р+~ (р — 7К)+( фс) +, (; ) + Р +(р(! — — "",, (ф)=о. о — ! В самом деле, выражение, стоящее в первой скобке, обращается в нуль в силу уравнения (27), а во второй и третьей — в силу первой пары уравнений (34). Соответствующее такому виду функции б (еу) изменение энтропии при переходе от одной частицы и другой дается формулой Р(ф) — Аф! — зт А (у7ее)т (37) Для щобого изэнтропического движения на каждой характеристике е1и/Й = и+ а величина о+ и остается постоянной. Течения, для которых эта постоянная не меняется от характеристики к характеристике, называются простыми волнами. Соответственно мы можем приравнять величину И'„определяемую равенством (36), единой для всего потока постоянной и таким образом образовать класс решений уравнения (31), которые могут быть названы неиввнтропическими простыми волнами.
Следует подчеркнуть, что в случае совершенного газа эти решения определяются только для распределения энтропии, заданного формулой (37). Мы можем легко проверить, что с помощью такой процедуры образуются решения уравнения (31). Для любых и п 1, определяемых соотношениями (28) так, что выпол- вв.о. Неиввнтролииесиие простые волны. Линеаривацил 261 няется равенство (27), мы, приравнивая е)И', нулю, имеем фи — $ Ьтив — 2 вр Ыи+ 1с Нр + р сИ вЂ” — сЬ~ = О.
Используя еще раз соотношения (28) и вспоминая, что согласно равенству (35) Х=Ьр' т/р', мы получаем уравнение [р —,+р( — Л)~ (ф+ +['ф(,~, +7 1~-рЯ~е)р=О, которое выполняется тождественно относительно вр и р. Приравнивая коэффициенты при еввр и с(р нулю и исключая пз получающихся уравнений функции вр и р, мы находим . что согласуется с уравнениями (31) и (32). Таким образом, мы показали, что любое решение уравнения первого порядка И', = связь, в котором переменные и и г определяются соотношениями (28), является также решением исходного уравнения второго порядка (31). В классической теории уравнения Монжа — Ампера такие уравнения первого порядка называются промежуточными интегралами.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
