Р. Мизес - Математическая теория течений сжимаемой жидкости (1161654), страница 47
Текст из файла (страница 47)
уравнение (13.8)] будет иметь вид Гк гао о +(оо ио) ~ (36) Во-вторых, два неизвестных параметра ударного перехода, наклон с линии ВЕ и ордината о точки Р, могут быть найдены из двух уравнений (31), где величины и, и и, принимают ана- ") Мы предполагаем, что иос., со. В противном случае ка левом копке трубка обраоуетск наперла (см. также конец п. 13.3). разре1кения) с центром в точке А, заключенная между характеристикой АС (параллельной /)т С') и характеристикой АВ (параллельной МВ'). (Способ построения изложея в п. 12.5.) Все частицы достигают линии АВ с нулевой скоростью.
Здесь криволинейные ливии частиц превращаются в прямые линии, параллельные оси с. Физически зто означает, что у левого конца трубки возникает постоянно увеличивающаяся область покоящейся жидкости. Для правой стороны трубки не существует подобного непрерывного решения.
Здесь переход от скорости и, к нулевой скорости происходит скачком. Чтобы найти конечную точку Р, ударного перехода, мы проведем ударную адиабату с углом в точке Р, до точки ее пересечения с осью о.Фронт скачка В.Е в физической плоскости, по определению, будет линией, имеющей относительно оси е наклон с. Так кан ударная диаграмма в каждой точке дает аначение М( —— ~ ио — с~/ае, а ио и ао иавестпы, то мы можем вычислить с и затем начертить лийию скачка ВЕ, вдоль которой скорости частиц скачком изменяются от и, до нуля. Это решение вплоть до момента времени / (ордината -точки Е) показано на рис.
79. Здесь Š†точ пересечения линии скачка и самой нижней прямолинейной характеристики простой волны с центром в точке А. Решение состоит из четырех частей: слева от АВ и справа от ВЕ жидкость покоится, внутри треугольника АЕВ происходит однородное течение при и = и„ о = о„ и, наконец, между АЕ и АЙ распространяется цейтрированная простая волна.
Эти четыре области аналитически определяются следующим образом. Во-первых, от луча с наклоном по+ по = и +(у — 1) оо/2, вдоль которого "скорость равна ио, до луча с наклоном Г*. 1Н. Одномерное течение чения по и нуль соответственно. Выбирая отрицательное значение с, мы находиы иэ этих уравнений где Мо = ие!ас. Наконец, ордината точки Е на рис. 79, т. е. время ге, до которого строится решение, является ординатой точки пересечения прямых АС, определяющейся уравнением в = (пе+ ае) ~, и ВЕ, определяющейся уравнением х =1+ сг, и равно 1с=1/(не+аз — с). Все сказанное имеет силу независимо от того, будет ли М больше или меньше единицы, так как оно справедливо и в дозвуковом случае, когда точка С на рис. 78 находится между вертикальными линиями, проходящими через точки А и В, так что т Ро Р н с.
80. Единственно возможный непрерывный переход к нулевой скорости. не существует непрерывного решения, которое удовлетворяет' условию п=О при х=1 для всех моментов времени 1. Действительно, если справа от ВС существовало бы непрерывное. решение, то оно было бы простой волной, так как эта область примыкала бы к области постоянных и, о внутри треугольника АВС. Иэображение этой простой волны в плоскости спидографа (рис. 80) должно лежать на линии с наклоном — 45', проходящей через точку Р, в направлении уменьшения и и касающейся в точке Р ударной адиабаты Р,Р„изображенной на предыдущем рисунке. Это соответствует случаю 1У на рис. 67, т. 'е. случаю бегущей назад волны сжатия.
Но мы видели, что в этом случае прямолинейные характеристики в плоскости х, 1 сходятся слева, так что линии частиц имеют общий впд, показанный в левой части рнс. 80; таким образом, то обстоятельство, что единственно возможным является непрерывное изменение параметров, не допускает'существования в точке В вертикальной касательной к линии частицы. 1».1.
Огарамсение «качка 5 $5. ДРУРИЕ ЗАДАЧИ С УДАРНЫМИ ВОЛНАМИ в. Поведение скачка в конце трубы или на стенке (отражение скачка)") В этом пункте ка основе раавитой в предыдущем параграфе теории мы рассмотрим еще один пример. Далее будут изложены видоиаменения этой теории и дополнения к ней. Предположим, что труба, в которой происходит течение, закрыта с правого конца и что фронт С скачка движется к этому концу со скоростью с. В плоскости х, 1 этот скачок представляетсяпрямой линией АВ, наклон которой относительно оси 1 равен с (рис. 8«). Если мы предположим, что жидкость в трубе до того, как скачок о достиг ее, находилась в покое, то линии частиц нище АВ будут вер- 3 тикальными прямыми линиями, которые выше АВ продолжаются уже в некотором другом направ- г ленни (см, пример скачка, рассмотренный в и.
»4.6, где, однако, ска- 1 чок двигался справа налево). Если В изображает точку, в которой скачок достигает правого ж конца трубы, где скорость долвкна равняться нулю для всех значений 1, то линия частицы, нрохо- Р и с. 8$. Отражааие ударного дящая через точку В, должна ос- фРонта от неподвижной стенки.
таваться вертикальной. Решение, удовлетворяющее этому условию, получается в предположении, что существует еше одна линия скачка ВС с наклоном (с ( 0), вдоль которой наклонные линии частиц снова изменяют направление, но теперь в противоположную сторону, и снова становятся вертикальными. Это явление, когда фронт скачка движется вначале вперед, а затем назад, известно как о~Ражение скачка. Выражение «отражение» предполагает выполнение условия симвштрин, с'= — с.
Однако мы увидим, что это соотношение не.выполняется даже приближенно, за исклвочениевв случая очень слабых скачков. Это же течение можно считать происходящим не в трубе, дву.- или трехмерном пространстве при условии, что асе 240 Гл. 1П. Одномерное течение частицы с одним и тем же значением координаты х имеют одну и ту же скорость. Тогда «конец» трубы изображается стенкой, нормальной к направлению х. В плоскости спидографа (рис. 81) состояние жидкости, предшествующее первому скачку, изображается точкой 1 на оси ш Точка 2, соответствующая состоянию между двумя скачками, должна лежать где-то на ударной йдиабате с углом в точке 1; причем на правой ветви этой кривой, так как и1 < 0 (см.
рис. 77). Если эатем вертикальную ось ударной диаграммы сдвинуть так, чтобы она проходила через точку 2, то будет одна ударная адиабата с углом в точке 2, и на этой адиабате должна лежать точка 3, представляющая состояние жидкости после второго скачка. Так как мы энаем, что после второго скачка жидкость находится в покое, то точка 3 должна также лежать на оси о, так что точка 3 одноэначно определяется, если иэвестна точна 2. Таким образом, для заданного состояния 1 существует бесконечное число воаможных переходов 1-2-3, каждый иэ которых соответствует различному увеличению о или р/о (температуры).
Так как числа Маха М, и М, равны нулю, мы можем характеризовать каждый воаможный переход величиной М, — числом Маха промежуточного состояния. Далее, М, равно величине 2/ (у — 1), умноженной на наклон и,/о, (относительно оси о) радиуса-вектора, проведенного нз начала координат в точку 2. Следовательно, М,' может меняться в пределах между нулем и 2/у (у — 1) — максимальным значением, соответствующим случаю, когда точка 2 находится на ударной кривой в бесконечности, а ее раднус-вектор становится общей асимптотой к ударным адиабатам (см. п. 14.5).
Теперь наша эадача заключается в том, чтобы вычислить отношение с'/с и отношения давлений ре/р, и' плотностей ое/о, в эавнснмости от М,. Чтобы сделать это, мы используем уравнение (14.21); для первого скачка имеем и,' = — с, и,' = и, — с. Почленно разделив уравнение на и, 'и введя величину Меч=ренее/ур„мы найдем е г е'ч ое 2у р, Г е'че 2 1 -й -(1 -~~= —,+ — — ', =(1 — ') + — —. ( ) и,(. и,) и*, у — 1 0, '., (.
и,) у — 4М1 Для второго скачка мы должны сначала эаменить в уравнении (14.21) индексы 1 н 2 на 2 и 3, а аатем испольаовать равенства ие'= и — с', и,'= — с'. Если мы снова почленно разделим результат на ие„то уравнение эапишется так: Сравнение первого и третьего членов уравнения (1) с первым и вторым членами уравнения (2) покаэывает, .что с/ие и с'/ие 14.П Отражение скачка 24 1 удовлетворяют одному и тому же квадратному уравнению. Вспоминая, что с положительно, а с' отрицательно и что Ь'=(у+1)/(у — 1), мы найдем с' 3 — у — = — — Ю иг 4 с 3 у — =.— +Я, "г ' 4 так чтоа) (4') гг... „е ~г~ *и р [ — ) ( — ")-ч.
г)сотому числа Маха состояния 2 для падающего н отраженного скачков являются обратными величинами. 16 в. мкгес с' 3 — у — 4г" = 3 — у+Ы (3*) Когда Мг стремится к нулю, Я стремится ь бесконечности, и отношение с' с имеет пределом — 1. При верхнем пределе, М*, = 2/у (у — 1), величина Ю будет равна (Зу — 1)/4, так что с'/с= — 2/Ь', в слУчае У=г/г это отношение Равно — '/а. ФоР- мула для с'/и, как и следовало ожидать, согласуется с первой пз формул (14.37), полученной в более простом случае, изученном я п.
14.6. Увеличение плотности можно найти из первого условия на скачке [уравнения (14.10а)1, применяя это соотношение к обоим скачкам и используя отношения с/иг и с'/и, выраженные через М, — о,с = р, (иг — с); ог (и — с') = — огс'. (4) Воли подставить в последние равенства величины (3), то результат можно свести к следую1цему: ое '4+ Мг г(У+ 1+ 4Ю) о 4'+Маг (У+1 — 48) ' Это отношение Равно 1 пРн Ма=О и величине У(У+1)/(У вЂ” 1)г (равной 21 для у = '/,) при верхнем пределе М,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
