Р. Мизес - Математическая теория течений сжимаемой жидкости (1161654), страница 44
Текст из файла (страница 44)
коордвват, которое будет рассмотрепо в в. 24.5. 14.2. Условия но скачке для совершенного гово 223 может быть заменено его значением из уравнения (11.4); тогда уравнения (4), (5') и (6') образуют трех уравнений, определяющих и, р н О как функ- Теперь Т состояния систему из ции х и 1. Каждое из этих уравнений имеет вид дА д' — + — =О дк дв и после интегрирования по х в пределах от х„ до х, приводит к соотношению вида А(х,) — А (х,)+ ~ д, е(х=О.
(7) (о(и — с)]' = О, (ци (и — с)+ р — о„')в, = О, /иг 1 р дТ ее Е( — с)( — + — — )+и(р — и„') — й — ~~ =О. 'ч,2 у — 1 ц) д*.), (8) Первое из ннх в точности совпадает с уравнением (2а). Так как мы предполагаем, что на каждой стороне скачка жидкость ведет себя как идеальная, вязкое напряжение а„' и поток тепла !с(дТ(дх) в точках 1 и 2 должны обращаться в нуль. Затем, вычитая из второго соотношения системы (8) первое соотношение, умноженное на с, получаем уравнение (2б). Третье соотношение дает (о(и — с)( 2+ — 1 — )+ир ) Для получения уравнения (2в) мы должны из этого равенства.
вычесть второе соотношение, умноженноз на с, и упростить разность с помощью первого соотношения (8). Таким образом, уравнения (2а), (2б) и (2в) представляют собой необходимые условия, связывающие начальные и конечные. хе Теперь мы рассмотрим решения, для которых производные по времени д'/д1 от параметров состояния остаются. ограниченными, когда 1ео в й стремятся к нулю. Тогда уравнение (7) выполняется также для предельного течения, и интеграл, стоящий в нем, стремится к нулю, когда х,,приблнжается к хв. Таким образом, если обозначения 1 и 2 относятся к соседним точкам, лежащим по разные стороны от линии скачка, то разность А, — Аг должна обращаться в нуль.
Для того чтобы х, и х, приближались одно к другому с противоположных сторон скачка и одновременно выполнялось везде уравнение (7), необходимо, конечно, чтобы с было точно равно скорости фронта скачка (т. е. наклону линии скачка). Подставляя для А последовательно трк выражения нз уравнений (4), (5') и (6'), мы получаем трн условия: Гл.
111. Одномерное осе«ение явачевия мгновенного перехода. К этим условиям должно быть добавлено еще одно ограничение. Было показано, что течение, описанное в $ И, которое в пределе приводит по крайней мере к частному случаю такого перехода (а именно случаю, когда д'сдг = 0 для всех переменных), необратимо: оио всегда происходит в направлении от точек с меньшими значениями 6 к точкам с большими зиачеиияыи с8, а следовательно, и Т или р19 (сьс. уразпеивя (1».»З) и рис. 54]. 'Гаким образом, программа, иамечеиная в конце предыдущего пункта, может быть сформулирована более точно следующим образом. Мы будем рассматривать течения в плоскости х, 1, которые удовлетворяют дифференциальнылс уравнениям теории идеальной .жидкости везде, за исключением некоторых кривых (форма которых заранее неизвестна); вдоль втих кривых — «линий скачка»вЂ” функции и, р и 9 разрьсвны, и их значения на обеих сторонах скачка удовлетворяют трем условиям (2) и >серавенству (9) лричем для любой саетицы состояние с предшествует состоянию 2'з).
Течения этого типа часто называются «разрывными решенияыи уравнений идеальной жидкости». Следует, однако, напомнить, что условия разрыва (2) нельзя' вывести без учета вязкости. В действительности, если предполагается, что течение является иевязким даже в переходной зове, то величина отношения р/цт ле может меняться для любой частицы.
Но уравнения (2), как мы увидим ниже в и. 3, явля«отея совмествыми при Рс , Рс Ж Етс Первым рассмотрел проблемы течения сжимаемой жидкости со скачками математик Римаи («860). Основываясь иа наблюдениях, оп считал доказанной воэможиость существования разрывов, ие связывая их с наличием вязкости жидкости. Установленвые им условия па скачке вклсочали уравнения (2а) и (2б), но вместо уравнения (2з) использовалось соотношение р»/цт = рс/ц. Эта процедура ие является оправданной,ио численссые реаультаты для обычных условий незначительно отличаются от результатов, полученных правильным методом (смэ п.З). Правильные условия па скачке впервые были даны Реикипом («870), а затем независимо от него Гюгоиио («889) "). Кроме того, суть дела заключается ие в выводе необходимых чсловий, которые должны выполияться иа поверхности разрыва. Единственное оправдание для допущевия решений рассмотренного здесь вида (области непрерывности разделяются липиямк с4.3.
Но«от»рык свойства скачко« скачков) заключается в существовании решений для течения вязкой жидкости, разделяющих переходные области, ширина которых стремится к нулю одновременно с коэффициентом вязкости р. Картины течения, вклгочающие линии скачков, можно трактовать не как '«разрывные решения уравнений идеальной жидкости» (см. также и. 15.2), а как асимптотнческие решения уравнений течения вязкой жидкости для предельного случая р — + О. с и, = и» вЂ” с.
Тогда уравнения (2а) н (2б) принимают вид Е»и,'= о,и,' = ш, р, — р, = л» (и,' — и,'). (10а) (10б) Здесь предполагается, что и,', и,' и ш отличны от нуля. Уравне- ние (2в) может быть записано в следующем виде: (2в') Согласно уравнению (10б) множитель и,' — и,' можно заменить на (рс —.р,)/т. Кроме того, на основании уравнения (10а) мы можем выразить 1/й через и'!т. После умножения на т полу- чаем (р — р ) (и,'+и~) = —,, (р»и» — р и') гу 15 г.
массо 3. Некоторые свойства скачков Условия на скачке состоят из трех уравнений (2а), (2б), (2в) и неравенства (9) "). Прежде чем решать эти уравнения, укажем векоторыв предельные случаи. Если и,=и»=с, то пг=О, в то время как условие (2б) дает р, =р,. В этом случае третье условие (2з) выполняется для произвольного значения О, = ос. Эта возможность обычно не укладывается в общее представление о скачке, так как при этом ни одна частица не пересекает ливии разрыва.
Другим предельным случаем является случай и,=и, + с. Тогда, как и ранее, из условия (2б) следует, что р,=р„а третье условие приводит к й,=о». Следовательно, действительного разрыва не происходит, и этот случай будет рассматриваться как случай нулевого скалка. Тот же самый вывод получается, если мы знаем только то, что р,=р, или что при условии, что частицы действительно пересекают линию скачка. Чтобы привести условия на скачке к более удобному виду, мы прежде всего введем скорости относительно фронта скачка, который двигается со скоростью с, а именно Гл.
П1. Одномерное течение или, вводя, как обычно, для краткости обоаначение йз = = (у+ 1)~(у-' 1), р, , '— р,и , '= Ь' (рзи,' — Р»и,'). (10в) Кроме того, мы имеем неравенство (9). Следовательно, иэ уравнения (2в') мы имеем и," — и,' > 0 или !и'!>! '! (и) Из уравнения (10а) видно, что величины и,' и и, имеют один и тот же знак. Таким образом, если и, > с, то мы имеем и,') О, и,'> О, и неравенство (11) записывается так и,-с> и,— с, или так и )и.
Если и, < с, то мы имеем и,'< О, и,' < О, и неравенство (11) принимает вид с — из) с — и, или и,< и,. Подставляя неравенство (11) в уравнение (10а), получаем р, < оз. Подставляя неравенство (11) в уравнение (10б) и принимая во внимание, что т имеет тот же знак, что и,' и и,', получаем Р, < Рж Наконец, темпеРатУРа Т пРопоРциональна Р/9; так что неравенство (9) непосредственно приводит к неравенству Т, < Т,. Таким образом, в силу предположения о том, что состояние 1 по времени предшествует состоянию 2, т. е. что частица входит в движущийся скачок из .
состояния 1*), мы получаем следующнй результат: физически возмог«спим скачком (т. е. резким переходом, описываемым теорией вязкой жидкости) всегда является «скачок уплотнения»; давление, п.лотность и температура увеличиваютсл, тогда как; абсолютное значение относительной скорости уменьшается. Дзе воэможности и, < с и и, > с будут показаны на рис. 77.
В' п. 3.4 было показано, что в адиабатическом течении вязкой жидкости энтропия частицы не может уменьшаться. Позднее мы увидим, что в реальном скачке уплотнения энтропия на самом деле увеличивается. Можно сделать другой интересный вывод, рассмотрев относительные числа Маха М,' и М;, соответствующие относительным е) Очеввдво, что иэ этого предположения автора следует второй завов термодивамики.
Проведя рассуждевия в обратном порядке, можно покааать, что предложение автора (о .том, что состояние 1 предшествует состоянию 2) является следствиэм второго аакова термодивамики.— Прим. рВд. И.З. Некоторые сеойстеа скачков 227 скоростям и,' и и,' до скачка и после него. Как обычно, мы определим скорость звука а и число Маха М в адиабатическом течении невязкой жидкости следующим обрааом: (12) й ' ае тр ур Тогда, если в уравнениях (10б) и (10в) и' заменить ня урМ"/т, то эти уравнения станут такими: ур,М; -ур,М; =р,-р„ р,(Ь р,+р,)М; р,(Ь р,+р,)М; =О. разрешая их относительно М,' и М,', получаем Мч — — — + —, М' = + 7+1 р 7-1 ° 7+1 р т — 1 (13) 2у р1 27 ' е 27 ре 27 Поскольку рк/р,> 1, очевидно, что М не может быть меньше единицы, а М,' не может быть больше единицы; они могут равняться единице только в случае нулевого скачка.
Кроме того, М,' не может быть меньше, чем (у — 1)/2у — величина, соответствующая р,/р,= 0 (бесконечное сжатие). Таким образом, ,й М к ~~ 1 ~~ М~ 3 ~ (1'4) Если мы разрешим уравнение (10в) относительно рк, то, используя уравнение (10а), найдем (15) Поэтому при уменьшении р,/рк от 1 до 0 отношение йк/о, возрастает, от 1 до Ь'. Таким образом, мы выяснили: в физически возможном скачке скорость относительно фронта скачка будет сверхзвуковой перед скачком и дозвуковой после него. Отношение плотностей йк/о, не.может превзойти величины Ь' (равной для воздуха 6), а квадрат относительного числа Маха после скачка не может быть лееньше величины (у — 1)/2у (равной для воздуха '/,); зти зкстремальные значения соответствуют отношению давлений, равному бесконечности, рк/р, = со.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
