Р. Мизес - Математическая теория течений сжимаемой жидкости (1161654), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Предполагается: 1) что линия Г с наклоном 45' в плоскости и, о имеет уравнение о=о«+и, где о произвольно, и 2) что прямолинейные характеристики являются произвольно заданным в плоскости х, г семейством' линий, касательных н огибающей Е г»). При этих данных картина течения может быть получена следующим образом. Кан и в п.12.5, три направления и — а, и, и+а, соответствующие любой точке на Г (такой, как точка 2 на рисунке), могут быть найдены с помощью вертикальной линии 2-2» и линий 2-2' и 2-2" с наклонами +5 н — 5.
Прямолинейная характеристика, которая отображается в точку 2 на Г, является касательной к кривой Е, параллельной ливии М-2". В любой точке на этои с) доказательство того, что такое течение действительно удовлетворяет ураввевяям дзяжеяяя, проводится таким же образом, как доказательство для-простмх волн в плоскости х, у, которое будет дано з п.
18Л. Гл. 1уГ. Одномерное течение характеристике направление линии частицы параллельно направленнсо М-2'. и направление поперечной характеристики параллельно направлению М-2'. Таким образом, зти два семейства кривых †семейст линий частиц и семейства поперечных характеристик †определяют соответственно двумя полями направлений; аналитически каждое семейство определяется одним обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка.
Изоклинами для каждого семейства являются прямолинейные характеристики. Если обе части рис. 65 зеркально отразить относительно Ппперечкые «арактеристика Р и с. бб. Построение бегущей вперед волны разрежения. Предполага(отея заданными огибающая й прямолинейных характеристик ыхсосс= и+а в плоскости х,с и наклоненная под углом +45' ли- ния Г', е = со+ и.
'являющаяся спидографом. вертикальной оси, то они будут изображать волну, бегущусо назад. В этом примере частицы движутся (в обоих случаях) от точек более высокого давления (большее о) к точкам меньшего давления. Этот тпп течения называется волной разрежения. Однако, как видно из уравнений (12.20), можно одновременно изменить знаки и и с в любой картине течения на обратные.
Геометрически это означает, что левая часть рис. 65 зеркально отрансается относительно горизонтальной оси, а правая — относительно вертикальной оси. Тогда мы получаем волну сжатия (бегущую назад или вперед), н частицы двигаются так, что давление увеличивается. Видно, что плотность изменяется в том вз.к Простые волна же направлении, что и скорость, в волне, бегущей вперед (и то я другое на рис. 65 уменьшается), и в противоположном в волне, бегущей назад, т. е.
если и увеличивается, то о уменьшается. Две сплошные линии с наклонами +5 и — 5 в правой части рис. 65 являются, как упоминалось в п. $2.3, границами между дозвуковым и сверхзвуковыл< течением. В звуковой точке одна из двух характеристик в плоскости х,е вертикальна. Физически возможное влечение представляется только той частью в плоскости х, е, в которой прямолинейные характеристики не пересекают одна другую. Такие пересечения неизбежно новинка<от в окрестности огибающей Е.
Более того, по мере приближения к огибающей Е линии частиц сближаются, что означает неограниченное возрастание плотности. Таким образов<, различие мен<ду волнами разрежения и сжатия можно сформулировать следующим образом: для заданных начальных условий при < =О волна разрез<гения л<оовсет распространяться до Е = со, тоеда как существование волны со<сатин ограничивается конечным интервалом времени. Построив течение геометрически, рассмотрим теперь аналитическое решение, которое может быть найдено из тех же самых данных: постоянное о и выбранная система прямолинейных характеристик. Пусть йоследние заданы в зависимости от параметра р уравнением х=х (р)+рк Очевидно, р является наклоном характеристики к оси в.
Тогда, используя верхний знак для волны, бегущей вперед (и нижний знак для волны, бегущей назад), имеем ~=и~ а, о=о ~ и, ~()=а+о — о,. (2) Так как о является известной функцией а (равной 5а з случае двухатомного газа), последнее уравнение служит для выражения а через р. Затем можно определить еще одну функцию р от, р следующим образом: (3) Дифференцирование выражения (1) дает. <ьх = (х,'+ е) с<р + р с(е. (4) Далее, линии частиц определяются условием <ьх = и ае. Когда дифференцирование (4) производится в направлении линии частицы, т. е.
когда с<х заменяется на и<й', мы находим (5) Гл. Ш. Одномерное течение где  — и заменено на 1- а, согласно первому из равенств (2). Интегрирование уравнении (5) теперь дает Р Р=Е~~ ~фйВ+С~. (6) Уравнение (6) определяет 1 как функцию 6 (и постоянной интегрирования С) вдоль линии частицы; подставляя выражение (6) в уравнение (1), мы получаем х также как функцию 6 и, таким образом, имеем параметрическое представление ливий частиц. На поперечных характеристиках имеет место условие ах = (и ч- а) вн'; испольаовав его для замены ах/ИВ в равенстве (4), мы получаем уравнение (5), в котором знаменатель а заменен на 2а, а выражение (6) заменяется следующим Р г — )Гр ( ~ ~ — В+С ).
(7) В случае политропического течения о = 2а!(к — 1)' (уравне- ние (12.19')), так что из равенств (2) и (3) имеем а= —,, Р=(о ~ 6) —, где Ь = —; во~  — ы, з к+1 ьв — о н — 1 ' 2. Центрированные волны з') Задача становится наиболее простой в том случае, когда огибающая Е сводится к одной точке, т. е. когда семейство прямолинейных характеристик состоит нз лучей, исходящих из одной точки. Течение такого вида называется центрированной волной. ' Если мы предположим, что центр лежит в начале координат, то величина х, з уравнении (1) обращается в нуль, и это уравнение сводитсй к уравнению В=х,м.
Для полптропического течения уравнение (6') теперь дает следующие уравнения для линий и, следовательно, согласно формулам (6) и (7), Р г=й'(о,~В)-"'~~ ~х,'(о.+В) д"-"ИВ+С~, (6') Р 1 й,( В)-л11~ . ~ ° ( В)1з-знз< -1>,1В+С ~ Основываясь на выражениях (6) и (7), мы можем установить следующее свойство каждого семейства линий частиц или поперечных характеристик. Р1нтевралъные кривые, линии частиц или поперечные характеристики, соответствующие равноотстоящим аначениям постоянных Сю Св.+с, Се+ 2с, ..., пересекают любую прямолинеиную характеристику в равноотстоящих точках.
12.2. Центприроеаняья волны частиц: а .~ — ас с ~з/1я+11 С=й(ос~ — ) нл" ~и= пег+/с( ) ° (8) С ) — с ~в) а уравнение (7') дает уравнения для поперечных характеристик г =й, (и, ~ —,) ', или ~ х= — пег+/сх( — ) ' . (9) дти уравнения включают все четыре случая центрированных волн (бегущей вперед илн нааад, сжатия или разрежения). Постоянные й и йы которые выделяют отдельныекривые, имеют положительные значения в случае волны разрежения и отрицательные значения (вместе с отрицательным г) в случае волн сжатия. Скорость и = Ых/й можно найти дифференцированием уравнения (8) или решением соотношений (2) относительно и прн ))= х/ц в результате мы получим =~.1(~+ 2 ~~)=~(1(~ гие), (10) где а, = (х — 1) и,/2 — скорость звука в точке торможения (которая возникает там,'где линия частицы имеет вертикальную касательную).
Из формулы (10) н равенства и = пе ~ и следует 2 а; 2 2 г' я~ =~.~, —,+.„, .= „, (.~-,> (и) Так как скорость ~Ь/юг=и становится бесконечной, когда мы приближаемся к началу координат вдоль любой линии частипы (зто можно аанетить из формул (8) и (10И, то ясно, что центр волны в некотором смысле соответствует состояни1о ~и~ = со, и = со (а следовательно, и о = со и а = со). С другой стороны, так как на каждом луче, проходящем через центр, и и и имеют постоянные аначения, центр отображается в целую линию Г яа плоскости и, и.
Учитывая равенство (11), уравнения (8) и (9) можно переписать следующим образом*): 1=Сеней Π— "'=1 ( — е) На ЛИНИИ ЧаетнЦЫ, ! (11') г ае ~ас/х 1= сопз1 о амх = /с ( — ') на попеРечной хаРактеРистике. ! Далее, нз формулы (10) мы получаем (эти результаты будут ') Для уравнений (11') н (11') ге является параметром, который наменается с переходом от одной линна частицы н другой нлн от одной поперечной характеристики к другой; это тот момент времени, когда на рассматрнеаемой нрнаой и=-О.
С другой стороны, ие н ае сохранают постоянное аааченне ао всем теченнн. Гл. 111. Одномерное тпеченне использованы в дальнейшем) 1 к — > рз 'эдн — >> х — и1=н. (х~п 1) = ~ Ш=+а1,~ — ') 1 (11") е. зе; <З вЂ” н>1Цн-» х — иг= ~ а«1»~ ) на поперечной харак- теристике. Так как и пропорционально а и а' пропорционально пз ', то иэ формул (11') ыожно заключить, что для заданной частицы пропорционально >1! в степени — 2/(х + 1), где >1~ — время, Р не. 66. Пример центрнрованной бегущей вперед волны разре. женин прн зе=б. Показаны линии частиц для равноотстозщнз значений постоннной л.
прошедшее между данным состоянием и состоянием ~ и ~ = со, о=со. Следовательно, плотность о изменяется монотонно, уменьспаясь в волне раарежения и увеличиваясь в волне сжатия. На рис. 66 показаны линии частиц для различных значенив постоянной й и спндограф бегущей вперед волны разрежения прн и = 5,х = 1,4. Все другие волны этого же типа получаются аффинными преобразованиями, тогда как зеркальные отражения относительно оси х или 1 или обеих осей да>от волны других трех типов (см. рис. 67).
Как уясе упоминалось, «центральная» точна на каждой линии частицы соотпетствует состояни>о ~ и ~ = сг, о = со (и бесконечно удаленной точке в плоскости и, и); полагая 1=со в равенствах (11'), мы видим, что бесконечно удаленная 209 И.З. Цвнтрировснныв волны .точка каждой линии частицы соответствует точке и = ч- о = = ~ 2ас/(сс — 1) и о=0 в плоскости и, и. Физически возможйая центрированная волна может быть представлена только частью одной из четырех областей, показанных на рис. 67. й Еееувааз ваеред волна разренсвнаа П. твпвтаа ШБвеуаваа назад вина разртненио в е . - таатаа Р и с. 67. Ч тырс тяпа цевтрвроеанпой простой волны.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
