Р. Мизес - Математическая теория течений сжимаемой жидкости (1161654), страница 41
Текст из файла (страница 41)
С оотзетстзующпс изменеапл з двух плоскостах Если С является постоянной, входящей в уравнение поли- тропы, т. е. если С= р/йн, то уравнения (12.19') и (11) дают к — 1 '1~к~ — 1 (/в в С) — з/1н — 1> /' и ~~Л" — 0 (1 =( = 7"'= 2 хС / /',,~ ) Формулы (12) и (10) определяеот производные дф/дх = й и дву/да= — ои функции частицы ф(х, 1) центрированной волны. Легко проверить дифференцированием, что вр(х, г) = Ь вЂ” „', (Ьз)/ссС) зд" "(о, 1- — *,)ь. (13) С другой стороны, проиаводной потенциала Ф (х, 1) по х является и, а производной по 1 является величина ив ~> и' ав ив н — 1 2 2 х — 1 2 4 ° Этим условиям удовлетворяет выражение Ф(х, 1) = — 1( —,1- а, / — „ (14) Ясно, что центрированная простая волна является одним из примеров, обсуждавшихся в п.
7.4 (пример (а) при с, = 0] и в п. 12. 2 [пример решения для (12.17в)). 14 ю киево Га. П1. Одномерное течение 2!О В каждой точке (х, е) число Маха определяется формулой Ч !34! 2 !и! 2 |и-гаог! (15) а и — $ о и — 1 соево верхние знаки берутся в случае волны, бегущей вперед, нижние— в случае волны, бегущей иааад. 3.
Другие примеры простых волн Предположим, что огибающая Е прямолинейных характеристик состоит из двух дуг АВ и СР (см. рис. 68), каждая из которых касается прямой ВС. Предположим далее, что касательные в точках А и Л параллельны и имеют относительно оси г наклон а, равный .скорости звука при а=О. Тогда для волны, 'о Рис. 68. Ограниченное возмущение типа простой волны. бегущей вперед, каображеиием той части плоскости х, г, которая покрывается касательными к Е, является отрезок А'В' линии с наклоном 45', где точка А'(=Р') имеет координаты и=О, о= вы а конечная точка В'(=С') с координатами, скажем и, и п„может быть найдена обращением обычного построения: в плоскости и, с через точку М нужно провести линию, параллельную ВС, через точку ее пересечения с освю и провести линию с наклоном — 5; последняя будет пересекать линию с наклоном 45' как раз в точке В'.
Картина течения в плоскости х, г однозначно определяется в области,. которая отображается в А'В', т. е. в области между параллельными прямыми, касающимися в точках А и Р кривой Е, за исключением двух областей ААВ и РЪС, 18.8. Друвые ары.ыерм ироетые волн 211 э которых касательные к В пересекают одна другую. Так как касательные в точках А и В являются характеристиками, то рен1ение в прилегающей области может иметь совершенно другое аналитическое выражение; единственное условие, которое должно прп этом выполняться, состоит в том, что объединенное решение должно быть непрерывно вдоль этих васательных. Таким образом, мы можем предположить, что вне этих параллельных пря'мых и.= 0 и с=о .
Тогда изображением этих областой в плоско- ' сти и, о будет точка А'. -1 а , Ф Р я с. 99. Искаженно нрофнла оноростн. В интервале времени, определяемом двумя горизонтальными прямыми, проходящими через точки В и С, скажем 1=1 а н с = =ге, движеяие определено для всех х. Линии частиц можно легко построить с помощью спндографа нлп рассчитать по формулам, полученным в п.1. Однако мы хотим изучить, как иаменяются со временем значения и, рассматриваемые как функции х (см. рис. 69). В момент времени 1=1 в средней точке укаэанного выше интервала скорость равна нулю во всех точках слева от Аа, увеличивается от нуля в точке А, до максимального значения и, в точке О (которая отображается в В'), когда мы пересекаем прямолинейные характеристики, и затем снова уменьшается до нуля з точке В .
Если дуги АВ и СВ симметричны относительно точки О, то кривая и(в) будет симметричной относительно линии в =сопзс, проходящей через точку О (см. средний график на ряс 69). Далее, значения и постоянны вдоль прямолинейной характеристики. Таким образом, если мы рассмотрим значения и 14* 2Г2 Гл. 111. Однол~ерно«я«оч«ни« вдоль 1=«ю то они окажутся такими же, как и вдоль 1=1», но будут сдвинуты вправо н будут соответствовать большим значениям х. Однако ясно, что скорость движения вправо является наибольшей для максимального значения и, и наименьшей для значений на концах. Аналогичное явление, только со сдвигом влево, имеет место при переходе от 1 = 1» к 1 = 1, (см.
рис. 69). Эта картина течения, очевидно, представляет йоведение ограниченного возмущении в жидкости, которая при его отсутствии находилась бы в покое, и она убедительно показывает, 'Мто выражение «волна» является подходящим. Две концевые точки возмущения движутся со скоростью а, тогда как точка максимального значения движется с большей скоростьщ(см. Р Р и АР на рис. 69).
Таким образом, передняя часть волны становится круче, а задняя — положе. Этот реаультат можно сравнить с результатами для малого возмущения„приведенными в п.4.2, где мы нашли, что каждая часть первоначального возмущения распространяется, не иаменяясь по форме, со скоростью звука а . Однако там, пренебрегая членами более высокого порядка в основных уравнениях, мы сделалп задачу в плоскости х, 1 линейной, так что характеристики были одними и теми же для всех решений и в действительности являлись параллельными прямыми с наклоном +ао. Из рассматриваемого здесь точного решения видно,, что характеристики являются расходящ«шипя назад по потоку и сходящимися вперед; это приводит к исказ«сепию кривых и = и(х). Далее, и†и сохраняет постоянное значение во всем течении,поэтому кривые для и, а следовательно, для р и д, искажа«ется подобным образом.
Если мы устремим значение 1 к нижнему или верхнему пределу интервала времени (1 „1»), в котором картина течения определена для всех х, мы найдем, что производная ди1дх становится бесконечной на одной стороне горба волны з«). Это значит, что волна, которая описывается этим решением, разрушается полностью для значений 1, лежащих вне интервала времени (ты 1 ). напРимеР, пРп 1 = 1 з и г= 1» длЯ некотоРых значений х будет существовать более чем одно значение и(х) *.. Другой пример решения, представляющего простую волну, показан на рис.
70. В трубе, простирающейся до бесконечности в обоих направлениях, жидкость первоначально находится в покое; величина а всюду одна и та же и равна а,; и постоянно и равно, скажем, по. Предположим, что в момент времени 1=0 *) Это разрушение происходит яе кз-за разрыва з паклене кривой и=и(з) к, очезпдяо, зезпккзет з каждом случае конечного зозмущеяпя типа простой золян. Действктельяо, легко видеть, что прк увеличении « провзводвзе дз/дз впервые становится бесконечной з точке, соответствующей точке максимального отркцзтельпого наклона на исхедяой кривой я= я(х).
вл.а. другнв нрноввры ороопоых ооон 2!3 поршень начинает двигаться вправо из положении х = 0 по закону х=х,(~), изображаевшму кривой С эо). Касательная к кривой С в начале координат вертикальна, так что скорость поршня непрерывна при в = О. Кривая С является линией частицы для всех частиц, приыыкающих к поршню с каждой стороны. Наг чальные условия и=0, п=оо однозначно определяют состояние покоя и=0, о=по во всех точках внутри любого характеристического четырехугольника, определяемого отрезном оси х, лежащим справа или слева от начала С координат. Характеристиками для этого А о состояния покоя являются прямые ли- Р р вв иин„наклоны которых относительно осп в' будут +а, и — а,. Таким образом, две прямые линии ОА и ОВ с наклонаын — а и + ао ограничивают внешние О области, в которых скорость тождест- У ненно равна нулю.
Картина течения между ОА и ОВ определяется следующим обрааом. Каждая точка Рна кри- А'8'О' вой х, имеет скорость и, изображаему|о наклоном касательной н точке Р. Поэтому Р отображается в плоскости и, о н одну из точек Р' или Р", имеющих абсциссу и и лежащих на линии с па- Р, клоном либо + 45', либо — 45', проходящей через точку О' с координатами О, п,. Так как ОА является характе- рис.
то. Пестроенне двух рнстикой дх/й = и — а, О — характе- центрнрсаанных простых ристикой с)х/Й = и+ а, то область, за- волн н случае еозыуженнп, выананного ключенная между ОА и С, покрывается изей торыйлвнжетсн вдоль пути волной, бегущей назад, и отображается с в газе, нахолнщенсн е е линию — 45', тогда как область, за- состоянии покоя. ключенная между ОВ и С, покрывается волной, бегущей вперед, и отображается в линию +45'. Используя Р' для правой и Р для левой части течения и используя линии с наклонами +5 и — 5 в плоскости и, о, можно построить две прямолинейные характеристики, проходящие через точку Р.
Вдоль каждой иа этих линий и и о являются постоянными, так что можно приступить к построению линий частиц. Значения давления (определяемые значениями п) рааличны па двух сторонах поршня. Разность значений о определяется расстоянием Р'Р". Для осуществления такого течения нужно приложить к поршню внешнюю силу, направленную вправо, и постепенно увеличивать ее, чтобы получить соответствующую разность Р'Р'. 214 Гл. П1. Однеееериее епееенка Видно, что течение справа будет волной сжатия. Течение, соответствусощее такому виду решения, разрушается через конечный интервал времени.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
