Р. Мизес - Математическая теория течений сжимаемой жидкости (1161654), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Аналитически х,(6) является функцией, обратной функции $=о(х)+ и(х), ах,(ц) — функцией, обратной функции ц = о(х) — и (х). Таким образом, каждую точку Р' в А'В'С' можно характеризовать двумя величинами или «координатамн» х,(6) и х,(»)). Точки на границе А'В', причем только эти точки (которые соответствуют е = 0), характеризуются условием х»($) =х«(ц). Это наводит на мысль об использовании х»(6) и х,(»)) для определения вида функций ~(6) и а (ч). 1ВЛ. Задали нпчплъние аначения При с =0 уравнения (47) иметот вид т' — е — о(т — е ) = 3 (/+ д) — Зо Ц'+ «) + о' (/" + я) = О, (61) где о-заданная функция х [см. условия (60)).
Зяачения и как заданной функции х также входят в уравнения (61) через аргументы $ и т) функций т и д. Легко проверить, что члены, стоящие в левой части каждого из этих уравнений, не изменятся, если мы к ~ прибавим Я,+$АУ,+Р~эю а к д прибавим — Ф,+ чЯе — т~~ое, где Юю Яэ и Жэ — любые постоянные. Это наводит на мысль, что, как и в хорошо известном методе твариации постоянныхт, функции ~ Д) и д (т)) следует взять е виде тт) (($) = Я [х(з))+ чАу [х (э)]+ ДМ [х($)], а(Ч) = — д1- [х ИН+ Чйт [х (Ч)] — Ч'й [*(Ч)]- Новые коэффициенты Ю,АР, М являются функциями одного пере- менного, которые выбираются так, чтобы удовлетворялись усло- вия (61). Эти условия имеют место только при г=О и, следо- вательно, при х(5) =х(т)), так что мы можем оперировать с Ф, Я', 6 просто как с функциями х и написать Ы.Ф дФ' д1 дМ',, дМ дэ тУ$ Я' = — = — — = — (о'+ и') = — — = — (о' — и') Их Ис ттх д$ эч Им Ы3 ат т.
д. Тогда для точек на граничной дуге А'В' мы имеем / =,Ф+ $М+ $т е, а= -от+Чу — ц'й, 1' = Я+ 256+ У„я' = Я вЂ” 2т~б+ У„(63) /" = 2й+ Я„е" = — 2й+Е„ где У, и Ят являются функциями х, определяемые соотношениями (о'+ и') У, = М'+ $Я'+ Этй', (о' — и') У, =' —,Ф'+ т~АУ' — т)т6', (о'+ и') Ет = У;+,У'+ 2$М', (о' — и') Е = Ут'+ АУ' — 2т~6'. (64) Когда выражения (63) подставляются в уравнения (6Ц, последние сводятся к условиям У (2 -2 ) = оэх, т т т (65) 3(У,+У,) — (2,+г,) =О.
] етравнения (64) и (65) являются шестью линейными соотношениями между семью переменными Ю', Я'; М', Ут. Ут 2т, 2з. ~тобы исключить М', лт' и Ф', мы умножаем третье и Гл. 111. Однелеернае «течение четвертое из уравнений (64) на — о и складываем все четыре уравнения вместе, "результат будет таков: о(У;+У;) = '[о(~,+2а) — (У,+Уа))+ +и'[о(2,— 2,) (У, У,)). (66) Подставляя в зто уравнение значения (65) для Е,+Е и Яа — уа получаем 2о' У[+ Уа „(Уа+ е а) = — о хи'. Этс — линейное дифференциальное уравнение первого-порядка для функции У,+У„и его общим интегралом будет « « У,+У,= — оа~ хи'Ых«« — о'~ хди«« — оаУ(х), (67) где нижний предел интегрирования является произвольным.
На границе А'В', которая соответствует 1=0, выражение дУ7ди«« =х — иг сводится к х, а дУ/до«« — аг — к нулю; таким образом, интеграл от хди, который мы обозначили через У (х), равен значению У(и, о) в точке дуги А'В', соответствующей точке т отрезка АВ. Так как только шесть соотношений связывают семь наших переменных, то одно из переменных можно выбрать произвольно.
Положим У, = У. = — ~У(х), Тогда уравнения (65) определя)от Е, и Е„и, наконец, любые три уравнения (64) служат для определения,Ф', Я' и М'. В результате получаеы аг' (х) = 4- (о' — Зиа) и'+ 4 [х (о' — и') + 2ир) о', 2 ли+2(хи 1)о' 3)е, е 1з' (х) = — — и' — — хо'. 4 4 Члены, стоящие в правых частях этих равенств, полностью выражаются через заданные функции и (х) и о (х), так как функция У (х) определяется соотношением (67).
Тогда функции, 1($) и д(ц) определяются везде в А'В'С' формулами (62) при «а й) «а гз) зр[х(й))= ~ Ю'(х)е(х, з4[х(Ч))= ~ М'(х)е(х ит. д.; (70) нижние пределы в этих интегралах произвольны, 'но должны 72.7. Заданы начальные вначенил Тогда У (х) = ~ х сси = — хт, э = (р + а) х, т) = (р — а) х, х я) = —, х (т() = — ч $ Уравнения (69) будут иметь вид Ф (х)= 8 (2р +За)(() — а), Я'(х)= 4 (р +За)а ~'(х) = — 8 (2~'+З").
с нижним пределом, равным О. тогда мы найдем, что д®=сат)а, Далее вычислим интегралы (70) н подставим их в формулы (62); 1($) = С,эа, гдв С 1 Зэе+9аб+За' (а+ а)е 1 8рь — 9ар+ Заа 240 (8 — а)' Эти решения вместе с уравнениями (47) определяют с н х-ис, а следовательно, и х как функции и и о. б. Особенно простая формула получается при и(х) аа О, когда течение начинается из состояния покоя"). Тогда У(х) в соотношении (67) равно нулсо, формулы (68) дают У, = Ут = О, и наконец нз формул (69) получаем Ф'(х)= — о'о', Я'(х)=0, Ж'(х)= — ~ оо'. Здесь мы можем найти 1' и я' непосредственно из уравнений (63); это лучше, чвм проделывать все выкладки, как в общем случае; результат будет таков: ас(41 а,(ч> 1 ($) = 2эп = — —, хоо' ссх, Ы'(т() = — 2т(6 = ф ~ хоо' с(х. 2 В этом случае равенство э=о(х)+и(х) сводится к 5=о(х), так что если через х = а (о) обозначить функцию, обратную функции о=о (х), то можно написать $ 2 быть одними и теми же в каждой паре интегралов.
)Тримеры . а. Пусть а и () — различные постоянные н пусть при с=О и=ах, о=()х для всех х. Гл. 1И. Одноиерное пнчение Непосредственной проверкой можно установить, что этот результат согласуется с результатом, получающимся по формулам, дающим решение в общем случае. э 13.
ПРОСТЫЕ ВОЛНЫ. ПРИМЕРЫ !. Простые волны; определение и основные соотношения В предыдущем параграфе мы рассмотрели некоторые задачи одномерного неустановившегося течения, используя переход иэ плоскости х, г в плоскость переменных и, о. В общем случае любая конечная область в плоскости х, г отображается в конечную область в плоскости и, о, и любой элемент площади с(хс(с преобразуется в элемент площади в плоскости и, о.
Крайним случаем вырождения является случай однородного течения и=сопз1, д=сопзь, когда вся плоскость х, г соответствует одной точке в плоскости и, о. Промежуточное положение занимает случай, который сейчас будет рассмотрен и в котором вся область х, г отображается в единственную дугу Г в плоскости и, о, а каждый элемент площади ахЖ переходит в элемент дуги Г. Этому типу течения было дано название простая волна по причинам, которые будут выяснены ниже г').
Как указывалось в п. 10.6, такое положение дел может возникнуть только тогда, когда якобиан преобразования, отобраясающего физическую плоскость в' плоскость и, о, обращается в нуль во всех точках; поэтому для анализа этого случая не применимы некоторые результаты, полученные в предыдущем параграфе (например, уравнения (12.23)]. Кривая Г в плоскости и, о не может быть произвольной кривой.
В самом деле, мы видели, что характеристики с(х/й = и+ а и с)х/де=и — 'а в плоскости х, с всегда отображаются на плоскость и, о в прямые линии с наклонами — 45' и +45'. В точку Р' может отобразиться один иа двух элементов кривых с)х(сй = = и+ а и с)х!ас = и — а, заданных в точке Р с координатами х, г, но, конечно, не оба эти элемента, так как тогда бы весь элемент площади дх ас' в точке Р должен был бы отобразиться в одну-единственную точку. Таким образом, каждый элемент дуги Г должен быть изображением элемента дуги характеристики и иметь направление либо + 45', либо — 45'. В соответствии с этим мы можем различать два вида простых волн, которые мы оудем называть волной, бегущей вперед, и волной, бегущей назад, соответственно. В первом случае весь спидограф состоит иэ одной прямой линии, имеющей наклон +45' н описываемой уравнением о = ос+ и; во всей плоскости течения (т.
е. для всех х и всех с) разность о — и имеет постоянное значение. Для волны, бегущей назад, спидографом будет линия о=о,— и, и для всех точек течения будет постоянна сумма о+и. 203 сг.с. Простые волям Для обоих видов простой волны каждая характеристика второго семейства отображается в одну точку линии Г, так как ее изображение должно лежать на линии Г и на линии, имеющей другое из направлений + 45' и — 45'. Это означает, что вдоль этих характеристик и и о постоянны, а вместе с о, постоянны также 0 и а. Иэ того, что наклон этих характеристик относительно оси г равен либо и+ а, либо и — а, следует, что эти характеристики второго семейства должны быть прямыми линиями.
Таким образом, мы приходим к следующему определению *): Простой волной является течение, в ко«порол«одно семейство характеристик в плоскости х, г состоит из прямых линий, вдоль когпорых и и и (а также 0 и а) имеют постоянные значения. Кроме того, в волне, бегущей вперед, о — и, а в волне, бегущей назад, о+и являются постоянными' для всех х и г; в первом случае прямыми линиями являются характеристики с(х/ссг = и+ а, тоеда как во втором случае — характеристики ах~й = и — а. Характеристики другого семейства, т. е. характеристики с»х/йг= = и — а, в случае волны, бегущей вперед, обычно называются поперечными характеристиками. Название «волна» отражает то обстоятельство, что состояние, характеризуемое параметрами и и 0, т.
е. геометрическая точка, в которой и и 0 имеют заданные значения, «распространяется» с постоянной скоростью и+а или и — а, в то время как любая материальная частица,.конечно, движется со скоростью и. Таким образом; волна, бегущая вперед, распространяется впереди движущихся частиц, в то время как волна, бегущая назад, распространяется позади них. Очевидно, что однородное течение и = сопз1, 0 = сопзФ с двумя семействами прямолинейных (и параллельных) характеристик является предельным случаем простой волны. На рис. 65 показан пример волны, бегущей вперед.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
