Р. Мизес - Математическая теория течений сжимаемой жидкости (1161654), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Ф йовеуновоо Спидограф во многих отношениях область аналогичен годографу плоского установившегося течения (см. п.8.2). В плоскости годографа линии постояннон скорости д, вукоеое сто Сееревву облает а следовательно, и постоянного числа Маха М, являются концентрическими окружностями.. Здесь же в случае политропического течения линиями, на которых число Маха постоянно, являются прямые линии, проходящие через начало координат в плоскости и, о, так как М=(и(~а равно произведению 2!(к — 1) на ) и(/о. В частности, лучи о/и = л- 2~(к — 1) отделяют дозвуковую область, которая находится внутри угла, образованного этими лучами, от сверхзвуковых областей, которые расположены вне этого угла (рис.
59). Складывая и вычитая уравнения (20), находим (и ш а) д" + де = -с Г(и ш а) д +'де 1 Член, стоящий з левой части этого уравнения, выражает скорость изменения и в соответствующем характеристическом направлении Ых/Ж= и~а, а выражение, стоящее в квадратной скобке в'!правой части, представляет собой то же самое для о. Таким образом, вдоль характеристики Ых(с(1 = и + а в плоскости х, 1 "меем Ии = — Ыо, а вдоль характеристики другого семейства да= Но. Отсюда видно, что два семейства характеристик Йх(<И=и+а еьхЮ = и — а в плоскости х, е отображаются в плоскости а, о на линии с наклоном — 45 и +45': Гл. !11.
Одаааарние течение от зависимых переменных и и и; поэтому мы поступим так, как было указано в п.10.6, и поменяем местами зависимые и нева. висимые переменные. 'Уравнения (20) могут быть отождествлены с уравнениями (10.1); если переменное ~ заменяет переменное у, то коэффициенты уравнения (10.1) будут равны а,=Ьа=а, а,=Ь,=и, а =Ьз=1, а =Ь =0 и преобразованные уравнения (10.22) аапишутся так: ад — — + — =О дй ди ди да дФ ди и — — а — — — = О. ди да ди (23) Эта система уравнений в отличие от систем (18) и (20) является линейной, так что характеристики не 'зависят от неизвестных. Характеристические направления могут быть вычислены, как и в п.10.1; при этом мы получаем бо(йи = + 1 и Ип/Ыи — 1, что согласуется с уравнениями (22).
Чтобы получить из системы (23) одно уравнение второго порядка с одним неизвестным, можно исключить х путем дифференцирования первого уравнения по о и второго уравнения по и. Вспоминая, что а является функцией только от с, полу- чаем ды дии 1 / Ыа'~ ди — — /~1+ — ) †. дии дии а ~ ди ) ди (24) Уравнение для х, получающееся путем аналогичного исключения у, будет подобным этому уравнению, за исключением того, что в правой части частная производная первого порядка от неизвестного заменяется более сложной комбинацией проиаводных первого порядка. Члены уравнения (24), содержащие производные второго порядка, снова показывают, что характеристиками данной задачи являются прямые Ис(ди = + 1 и Ио!Ыи = — 1. С другой стороны, испольауя соотношение адй= ОЫо, уравнения (23) можно переписать в виде — (х — из)+ — — (йг) = О, д а д да ди — (х — ию) + — — (ог) = О.
(25) $ дд' Ода' а дСУ х — и1 = — —, о ди (26) тогда из второго уравнения видно„ что функция У должна Чтобы проинтегрировать первое из этих уравнений, введем функ- цию У от и и о, полагая ез.д. Новые иераиеииые. Сиидограф 185 удовлетворять уравнению 'деН деН 1 Ыа дУ вЂ” — =-(~ — )— (26') Аналогично второе уравнение (25) будет удовлетворено, если мы положим др 1 де' х — иг = —, (27) ди а до и тогда первое уравнение даст условие 'е) дее' дее' 1 / Ыа 1 д'е' — — — = --(1 — — )— дое дие а ~, Ыо) до (27') дх д1 д — -Еи — =Š— (х-иг)+Е1, ди ди ди — — Еи — = — (Е (х — и1)) — — (х — иЕ).
дх д1 д е до до до а д$ — и=Е ди (28) Легко видеть, что выражения, стоящие в правых частях обоих уравнений, являются проиаводными от идбе(до — бе по и и о соответственно. Таким образом, с точностью до аддитивной постоянной, которая не имеет значения, дУ ер= и — — У. до (29) Точно таким же образом находим, что д'е' 1/ иехди Ф= и — + — ~ Р— — ) — — е'.
ди а~ 2)до (8О) Для дФ~ди и дФ7до можно выписать уравнения, аналогичные первой части уравнений (28). Сравнивая зти уравнения с урав- нениями (28) и используя уравнения (25), мы можем проверить, что — =А — + —, дФ дед дед ди 1 ди ~ до дФ д$ дт — =А — + —, до иди еде (3$) Кроме того, из системы (25) можно исключить либо х — и1, либо Е1; при атом оказывается, что ЕГ и х — и1 удовлетворяют тем же уравнениям второго порядка, что У и У соответственно. Интересно также изучить соотношения между функциями У и У, с одной стороны, и ранее введенными потенциалом Ф и функцией частицы ер — с другой.
Из определения (е1) следует, что 186 Гн. И1. Одномерное течение где А,=Во= — ", Аа=Вд — — — (Р— — ") . (31') Кроме того, используя равенства адй=ре(о и бР=ае(о, имеем дАе дАе — — — =О, до ди Таким образом, при исключении Ф из уравнений (31) в резуль- тате получится (1+ — ) —. деа дез 1 Г да дь (32) дое дие а ( 'до ) до Исключение ~р приводит к подобному же уравнению для Ф, но с более сложной комбинацией производных первого порядка з правой части. Все эти уравнения — уравнения (24), (26'), (27') и (32) для функций 1, У, о' и ~р соответственно в подобны по форме и отличаются толы<о множителями 1- (1+ е(а(Ао) в правой части. В случае политропического течения все зти множители являютсл постоянными, так как формула (19') дает Аа/Ао=(х — 1)/2. Правые части всех уравнений состоят тогда из производной неизвестной функции по о, умноженной соответственно па коэффи- циенты 3 — х 1 3 — х 1 х — 1 о' х+1 1 "+ —, (33) х — 1 о ' х — 1 о' х — 1 о которые з частном случае х= 1,4 будут равны 6 4 4 6 (33') о ' о В следующем пункте будет показано, что общий интеграл етого уравнения в случаях (33'), а также в некоторых других случаях может быть представлен в простом виде.
4. Общий интеграл в случае адиабатического течения В предыдущем пункте было показано, что если соотнощеине между р и о имеет вид (3)") и показатель политропы х равен 1,4, то дифференциальные уравнения второго порядка для 1, У, )е, ер, т — п1 и о1 имеют общий вид") деон деон 3н де„ дое дие о до (34) где л= 2 для з„=У или ог, п= — 2 для о или х — и1, и =3 для ер и л= — 3 для 1. Можно.
показать, что если в уравнении (34) н 12А. Общий интеграл г случае адиабатического течения 187 является любым целым числом, то общий интеграл уравнения (34) может быть представлен в простой форме. Иначе говоря, этот результат применим всякий раз, когда х имеет любое значение, при котором коэффициенты (3 — х)/(х — 1) и (х+ 1)7(х — 1) ").являются целыми четными числами.
Более того, формулы могут быть обобщены таким образом, чтобы охватить случай любого действительного и. Рассмотрим прежде всего случай и = О; в этом случае уравнение (34) будет одномерным. волновым уравнением (4.6), так что по формуле (4.7) его общее решение будет иметь вид х (и,о)-1(о+ )+б( — ): (35) где 7' и и†произвольные, достаточное количество раз дифференцируемые функции одного переменного. Последовательные производные этих функций будем обозначать через ~', 7'", ..., д', д", .... Для краткости введем обозначение х,'= ~'+б', х," =/" +л", ..., х', =(т'+ лт', (36) где аргументы те же, что и в формуле (35). Тогда каждое х('> является суммой функции, зависящей от о+ и, и функции, зависящей от о — и.
Можно заметить, что хс"~ ! представляет собой. производную от хо' по о, в то время как хэ"+ ! является результатом двукратного дифференцирования х(;! либо по о, либо по и. При произвольном х, вида (35) общее решение уравнения (34) для целого положительного и может быть записано в виде '") х„(и, о) =хо+а,ох,'+а оох,"+... +а„о"х,',"', (37) где числовые коэффициенты и„зависящие от п, находятся путем подстановки выражения (37) в уравнение (34) ч 2ч ~ (л — 1) (л — 2) ... (л — о+1) г ' ч ( ) ч! (2л — 1) (2л — 2)... (2л — о+1) (о=2, 3,..., и). (37') Если и †отрицательн целое число, то удобнее положить ло = = — и > О и написать х =хи=о'-'~(хо+Цгохо+~гоохо+" +))и го" 'хо" ") (38) где ч 2ч 1 (лг — 2) (т — 3)...
(т — ч) ч! (2т — 3) (2т — 4)... (2лг — ч — 1! (ч = 2, 3, ..., ло — 1). (38') Гл. е!!. Одномерное течение Первые члены разложений будут таковы: г а ,= г,— ог,'+ — о г,", г, = г — ог„ г = г — ог'+ — о г" — — о г а ° 1 а а — о е 5 е 25 е г-а= —, г а — — — е(ге — ог~), г а — — — а( го — ого+ з о ге~~. (40) Чтобы проверить формулы (37') и (38'), начнем с рассмотрения результата подстановки общего члена разложения (37) в дифференциальное уравнение ( да да 2н д Х ~ч) ) (а очг дое диа о до ) ч е = а (т(о — 1 — 2п) о -ггЫ ~+2(о — п) оч аз~~ т ~). Таким образом, подставляя ряд (37) в уравнение (34) и приравнивая нулю коэффициент при оч гг~ ~, находим аа= — 1; ачт(о — 1 — 2п)+ач а2(т — 1 — п)=0 д~У дак 4 дУ доа диа о до (41) Пи+а(ч) 1'а+в'(ч) оа оа э=о+и, 8=о — и. (42) Осталось еще определить функции / и д для частных задач. (о=2, 3,...,п).
Эта рекуррентная формула дает формулы (37'). Формулы (38') можно проверить таким же образом. В любом случае члены более высокой степени, чем члены, содержащиеся в разложениях (37) или (38), не нужны вследствие того, что такие члены обращались бы в нуль, так как и является целым числом. Это наводит на ммслгн что в том случае, когда п не является целым числом, решение может быть разложено в бесконечный ряд, начинающийся с членов вида (37) или (38), с коэффициентами, определяющимися по рекуррентным формулам ае). Если функции р и я являются полиномами, то ряд даже в атом случае сводится к конечной сумме. Кажется, что наиболее подходящей функцией для исследования большинства задач является У.
Перепишем уравнение (27') для адиабатического течения при к=у=1,4 и его решение (40): ез.А Обигиа интеерал е случае адиабатичесяого течения 189 (44) где Р и () — произвольные функции одного переменного*). Частное решение, или функция Римана, которое использовалось в п.10.5, было решением, удовлетворяющим граничным условиям Й(си» Ч,) =1, а — — Ьй при Ч=тЬ, а — — ай при ьг =ге„ д() дИ дг) гДе 9„Чг — паРаметРы. Можно пРовеРить пУтем ДиффеРенЦиРования, что функцией Римана, соответствующей уравнению (43), является ") ~Б, Ч; 5ы Ч)= ~++„")г (2$гЧ +25Ч+($ — Ч)6 — ЧЛ=. — 2 (о, — и,+о — и ) +ии,|. о ( г г г г ог (.2 (46) В п.10.5 (см. также п.7) было показано, что если известна функция Римана, то решение общей задачи Коши может быть получено в явном виде.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
