Р. Мизес - Математическая теория течений сжимаемой жидкости (1161654), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Ниже мы обсудим связь между величиной о„' и скоростью и. В качестве замыкаюи(его условия мы предположим, что движение является квазиадиабатическим в том смысле, как это было определено в п.1.5. Уравнение (3.23), определяющее условия квазиаднабатичвского движения, обсуждалось в конце п.3.5; если заменить е,е' левой частью уравнения (ЗЛ9) и пренебречь силой тяжести, то в общем случае квазиадиабатического течения мы имеем [см. уравнение (3.24)] — ( — + и ~~+ ' = — 61т(ййгаб Т), Г о' К ее+ее' Ыо( 2 ) о С а в случае одномерного течения Здесь ю определяется формулой (2.5), а ю' — формулой (ЗЛО); в случае одномерного течения эти формулы дают д (,и), д (ио'), д (и (р — о')] м= —, и'= — *, Гю+ш'= дх ' дх дх Предположим далее, что жидкость является совершенным газом п справедливы соотношения (1.6) и (1.9), а именно Р = з"ЛйТ (5) Тогда (1 [ель равенство (2.13)) определяется выражением (1 = с„Т = дегТ/(у — 1).
Таким образом, замыкающее условие записывается в следующем виде: ~Г и' дВ '~ 1 д д( дт) ~И 2 у — 1 1 о дх — — + Т )+ — — [и (р — о'Ц = — — ( й — ~. (4') — ( о дх ч дх 1 ' Уравнения (2) — (5) составляют систему четырех уравнений для четырех неизвестных функций и, р, 9 и Т при условии, что о„' выражается через эти переменные е). Обычное предположение, которое делается в теории Навье — Стокса, как указывалось в конце п.ЗЛ, заключается в том, что о„пропорционально изменению скорости движения частиц'ди/дх, т. е.
что ди 157 11.2. Уровнения уетяновивеиегоея движения Здесь р, считается известной функцией от всех переменных и, р, р и Т или от некоторых из них. Однако вязкостью, или коэф- .фициентом вязкости, обычно называется не сама величина рю а величина 3 4 Ре' бу' Это происходит по следующей причине. При предположении об одномерности течения направления у и з явля1отся взаимно заменяемыми.
В таком случае .а,', н а,' должны' быть равны, и условие (3.7), а„'+ а,',+ а,' = О, дает 1 аи = а,' = — — о;,'.. 2 (7) Р в с. 50. Напряженно, обусяоэлевиые вязкостью и действующие ва элемент Теперь рассмотрим элемент с квадратным сечением еех = е(у. Так как половина .этого элемента (рис. 50) с поперечным сечением АВС должна находиться в равновесии, необходимо, чтобы касательная .сила, действующая на грань, изображаемую отрезком АС, имела величину — = (сие(х е(г)+ = (а„Ну еЬ) = — (а„' — ае) е1х «(з; 1 1 ~ 1 У2 У'2 .
ге 2 поскольку площадь этого диагонального элемента поверхности равна (е(х у'2)е(г, то касательное напряжение будет равно 1 е ° 3 т = — (а„— а'„) = — а'. 2 4 Я. С другой стороны, скорость сдвига и в плоскости х, у, т. е. скорость изменения со временем угла САП, где ()А перпендикулярно АС, определяется разностями между скоростями в точках А, С и 1в.
За одну секунду точка С спережает точку А на (ди1дх) Их единиц длины, а точка 1) отстает от точки А на такое же расстояние. Таким образом, 2. Уравнения установившегося движения Ляфференциальные уравнения в частных производных (2), (3) и (5), в которых независимыми переменными являются х и 1, Учитывая равенство (6), мы получаем, что отношение касательного напряжения к скорости сдвига равно э/в)во=у. Численное значение этой величины см.
в п.5. 188 Ге. 111. Одномерное течение становятся обыкновенными дифференциальными уравнениями по х, когда рассматривается установившееся движение, д/дг = О. Согласно правилу дифференцирования Эйлера [см. формулу (1.4)[, производная Ы(Ш сводится к выражению и(е(/Ых), и эти три диф- ференциальных уравнения имеют вид ли л (р — о„') — (ои) =О, ои — + =О, й Г ие 8В ~ 1 й и — ( — + Т)+ — — [и(р — о„) — К]=0; ~ о'хч.2 у — 1 ) одах здесь через К обозначен поток тепла )е(е2Т(е)х). Первое нз этих уравнений показывает, что поток массы (9) яля секундный расход массы через единичное поперечное сечение, нормальное к оси х, остается постоянным. Используя это, пз второго уравнения получаем ти -1-р — о„= сопев= С,т, (10 а из третьего— /ие, ЛЛ т~ — + ' Т )+и(р — о„') — К=сооз1=Сот. 2 ' т — 1 Пз уравнения (10) мы имеем р — а„'=т(С,— и), так что последнее уравнение может быть записано з следующем виде: лй ( — — + — "Т ~ — К= (С вЂ” С,и)., (1')) 2 у — 1,г Наконец, в соотношении (10) можно заменить р, используя уравнение состояния (5): р = АПЛОТ = АКТ(и.
Разрешая уравнения (10) и (11) относительно а,'= и Ни!дх и К= йг)Т(г)х соответственно, окончательно получаем ио ли Т = и + в" ег Си и 1' ,'12 Это обыкновенные дифференциальные уравнения для функций и и Т. Решения этой системы, зависящие от уже введенных постоянных С„С и т и от двух адднтивных постоянных интегрирования, представляют все возможные картины одномерного установившегося течения совершенного газа прн наличии вязкости и теплопроводности '). Удобно заменить и и Т безразмерными переменными о и 6; поскольку С, имеет размерность скорости [см. уравнение (10)[, а Се — размерность квадрата скорости, введем следующие безраз- ее.д.
Устаноеиееиеесп течение нетеппопроеодной жидкости 139 мерные величины: дв~' р Се 3Се е = Се = Сзс Тогда система (12) примет вид — = 2о — 1/2о +6, (14) решения о и 6 этой системы будут зависеть от четырех про- извольных постоянных: т, с и двух постоянных интегрирования. Постоянная т входит в ати уравнения только как множитель при е(х, и поэтому в общее решение она войдет только в виде множителя прп х, а одна из постоянных'интегрирования может быть исключена при помощи переноса начала координат х = О (поскольку вид урав- нений (14) не изменится, если вместо х в качестве независимого переменного принять х' = х+С'). Таким образом, если исключить. подобные преобразования хп = тх+ С", то решение будет аави- сеть только от двух параметров.
Прежде чем исследовать общий вид уравнений (14), мы рас- смотрим один частный случай. (13) 3. Установивепееся течение нетеплопроводяой жидкости Тэйлор показал з), что систему (14) можно проинтегрировать з замкнутой форме, если положить й равным нулю*). Это предположение не реально, так как известно, что отношение ре/А- изменяется в малом конечном диапааоне (см. п.5).
Однако ниже будет покааано, что некоторые основные особенности течения могут быть найдены из решения системы (14) при предположении )с=О. Исключая 6 из уравнений (14) при й=О, находим )ео — — =(у+1) о — у)Г2о+с(у — 1). (15) 1 Если исключить масштабный множитель т и сдвиг по х, то. решение этого уравнения будет зависеть только от одного параметра с. Предположим, что с меняется в пределах уе ез О < с( х(уе ц — — 43 (У=1,4). (16) Т огда существуют две действительные положительные величины Ч( . >С, ее *е* ") У аан ) равнение (3.23) показывает, что услозпе зто равносильно предположевиее об адиабатическоее течении.
тсо Гл. 111. Одномерное течение в правой части уравнения (15), обращается в нуль, т. е. (у+ 1) о — у )/2о+ (у — 1) с = О. (17) В этом случае выражение, стоящее в правой части уравнения (15), может быть записано следующим образом: (7+1) о — у)/2о+ с(у — 1) = (у+ 1) (3/о — 3/ог) (3/о — )/о,). (17') При постоянном р,' и значениях о, заключенных между о, и о.„решение уравнения 1(15) для х как функции о имеет вид „, )/о,) (У,,— У.) У,,) (~.— У,,) Р яс. 5$.
Изменение сноростн и (яля Уо) с изменением х нрн в=о. ~)/ +)/,= Ц+,, — У2т . (19) ) В оставшейся части этого параграфа предполагается,, что т полошятелняо, т. е. что х возрастает в направлении течения. Здесь* ) с увеличением о от оэ до о, х уменьшается от + со до — со. При о ) о, знак аргумента первого логарифмического слагаемого в формуле (18) нужно пзменить,и тогда х будет возрастать от — со до + со при увеличении о' от о, до + со.
При О( о < о, нужно изменить знак аргумента второго логарифмического слагаемого, и тогда х будет возрастать от конечного значения до - со при увеличении о от О до о,. Если мы теперь ограничим наше внимание течениями, для которых параметры течения стремятся к конечным пределам при л — и -)-. со, то этими последними двумя ветвями решения можно пренебречь и сосредоточить внимание на функции о(х), определяемой формулой (18). Парис. 51 показана зависимость)/о от х, "ввиду того что величина )/о пропорциональна скорости и, мы получим также график зависимости и от х, взяв просто другой масштаб по вертикальной оси. Так как.
ои = сопз6, величина )/о обратно пропорциональна О. Два момента представляют для нас наибольший интерес: связь между начальным н конечным значениями и и крутизна спуска от и, к иэ. Так как )/'о, и )/о, являются корнями уравнения (17), рассматриваемого как квадратное уравнение относительно )/ о, мы имеем в1,8. Установившееся течение нетеняонроводноа жидкости 16! переходя к переменной и и учитывая формулы (13), получаем и'+"' = у С.
(19') 2 у+1 Это равенство дает некоторое истолкование постоянной С,. Когда /сяя О, второе из уравнений (14) показывает, что о и 6 удовлетворяют уравнению 6 — — с+ )/2с — с = О. (20) у — 1 Исключая с из уравнений (20) и (17), последнее из которых, однако, выполняется только при и = о, или с = о„а затем исключая )/2с иа тех же уравнений, получаем 6,+2о — )/2осякО и У Нс+ос — — с (1=1, 2), (21) тан что =' — + У"2о, = ='+)/2сз, 2о, У2оз у у у — 1 — Йз+ сз = — гв' + сз. у 1 3 1 (21') йзиз = йзиз (24) Уравнения (22) — (24) следуют также непосредственно из уравнений (9) — (11), если положить о„=К= 0 при х= -1- со. При научении перехода от и, к и мы используем соотношение (18), в котором величины )/о, )/о, и )/о, могут быть непосредственно заменены на и, и, и и (с изменением аддитивной постоянной).
Пусть е — любое число, удовлетворяющее неравенству 0 < е ( '/ . Рассмотрим два промежуточных значения и' 11 г, мизес Если заменить о и 9 их значениями (13), с = из/2С,' в 1о = р/Сзй, то первое из этих уравнений при умножении на тякйи и С, даст УРавнение р, + тиз = р' + ти„ (22) а второе при умножении на С,' даст — + — — — = — + —— и) у рв и1 у рз (23) 2 у — 1од 2 у — 1оз' Уравнение (23) аналогично уравнению Бернулли (см. уравнение (2.20') при пренебрежении силой тяжести), полученному для случая установившегося адиабатического течения идеальной жидкости, и подрааумевает сохранение энергии. Уравнение (22) может быть истолковано как условие сохранения количества движения.
Наконец, уравнение неразрывности (9) дает условие сохранения массы Гл. Ш. Одномерное течение и и' (рис. 51), удовлетворяющих соотношению и,— и'=з(и,— ив)'= и" — и, (О < з < '/в). (25) Тогда ив — и =(1 — з) (и,— ив), и изменение скорости от и' до и" равно умноженному иа (1 — 2з) полному измеиеииво скорости от и до и,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
