Р. Мизес - Математическая теория течений сжимаемой жидкости (1161654), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Можно заметить, что уравнением, сопряженным уравнению (12), является уравнение (11). Для любых двух дифференцируемых функций У (6, т)) и П(6, Ч) рассмотрим следующие выражения: (15) Дифференцируя эти выражения, прибавляя н вычитая произведение сУте п группируя члены, получаем д$+д =аж(г) — УМ(а) дт1 (14) где Я (У) обозначает левуто часть уравнения (11), а Ф (И)— левую часть уравнения (12). Но если У удовлетворяет уравнению (11)„ а ье удовлетворяет уравнению (12), то правая часть уравнения (14) обращается в нуль.
Пусть кривая С ограничивает в плоскости $, ц область А, в которой удовлетворяются оба уравнения. Применив к этой области и к вектору ( — У, Х, 0) теорему Стокса (см. п.6.1), находим, что ф(Х 1Ч Уис)= ~ ~(а +д )иА=О, (15) причем криволинейный интеграл терется по контуру С. Тот же самый результат можно получить если применить к вектору (Х, У) теорему о дивергенции (2.27 )для двумерного случая. Применим формулу (15) к 61тучаю замкнутого контура АВС (рис. 48).
Но сначала мы должны задать граничные.условия для функции П, которая до сих пор должна была удовлетворять 147 10.д. Реаеение Римана только дифференциальному уравнению (12). Если $„ц, — координаты точки С, то потребуем, чтобы — = ба вдоль АС, дй а (С) = а(амтв) =1, ~ (16) — =аа вдоль СВ. дл ФУнкЦиЯ а, зависЯЩаЯ от четыРех пеРеменных $, Ч, $м а1д и удовлетворяющая уравнениям (12) н (16), называется функиией Римана для уравнения (11). Она зависит только от коэффициентов дифференциального уравнения (11) и не зависит от заданных граничных условий для С.
Таким образом, эта функция может быть определена раа и навсегда для данного уравнения ,х(С)=О. Вследствие уравнений (16) выражения для Х и У значительно упрощаются на прямолинейных участках кривой С; вДоль СА, напРимеР, мы имеем У = е/а д(Па)/д $. ДлЯ этой же ляпин е)в=О, так что часть интеграла (15) вдоль СА равна й С 2~ ( — у) 5= ~ —,',(са) (~=и(с) — 'с(А)а(А).
С Х Подобно этому, часть интеграла вдоль ВС равна с с 2 ~ Х е(ц = ') д (иа) е(ц = и (С) — (Г (В) а (В). Когда эти значения подставлены в уравнение (15) и результат разрешен относительно В (С), получаем 4') в С(С) = — [С(А)а(А)+С(В)а(В)) — ~ (Хе(т~ — УИЦ), (17) А где последний криволинейный интеграл берется по кривой АВ. Если решение а уравнения (12) прн граничных условиях (16) ун<е определено, то формула (17) дает выражение для У, в котором используются значения величины а и ее производных, а также заданные граничные значения С и ее производных вдоль АВ"). Если предположить, что а существует, то можно (хотя и не просто) проверить, что выражение (17) действительно удовлетворяет уравнешпо (11) и принимает заданные значения вдоль АВ.
Доказательство теперь завершено, если, не учитывать, что еще не дан способ построения функции Римана а, соответствую10е '1 48 Гл. П. ОбоЕие епеореееы щий уравнениео (11). Граничные условия для й сравнительно простыес). В некоторых простых случаях функцию 1е можно задать явно, а в общем случае функция 14 может быть построена методом последовательных приближений. Таким же образом можно определить функцию У во всех точках прямоугольника АСВ.0. Ески У п )е известны, то прп помощи равенств (8) можно найти решения и и о как функции $ и ц во всех точках прямоугольника А С В В, или во всех точках четырехугольника в плоскости и, р, ограниченного характеристиках(и, проходящими через точки А н В.
Таким образом, формула Римана (17) приводит к полному доказательству теоремы А [которая устанавливает существование и единственность решения системы (1) в характеристическом четырехугольнике для заданных значений и и о на АВ) при условии, что система (1) линейна. 6. Замена переменных Если правые части двух уравнений (1) равны нулю, то можно применить очень аффективное преобразование, которое будет использовано в дальнейшем. Основной идеей этого преобразования является перемена ролей зависимых и независимых переменных.
р! ! Р к с. 49. Бескопечпо малые смещоокс а соответствующих плоскостлх. Если две переменные и и и зависят от двух независимых переменных х и у, например, как решения уравнения (1) прв соответствуаощих граничных условиях, то эту зависимость можно рассматривать как соответствие между точками Р(т,, у) в плоскости х, р и точкамп ()(и, о) в плоскости и, о (см.
рис. 49). Смещение точки Р в плоскости х, у вызывает соответствующее смещение точки (е. Вышеуказанную зависимость можно рассматривать и как соответствие между точкамп ~ и Р; тогда х и р рассматриваются как функции и и о. Любую функцию Ф, зависящую от х и у, можно равным образом считать функцией и и о. Уд.д.
дамена переменных 149 Дифференциал функцип Ф при . соответствующих дмещениях точек Р и ее может быть записан в двух видах: ИФ = — УУх + — е(у = — е(и + — еь. дФ дФ дФ дФ дх ду да де Кроме того, Ых = — Ык + — еЬ, е(у = — Ни + — УЬ дх дх ду ду ди де ' ди . де Далее эти выражения для Их и Иу следует подставить в фор- мулу (18) н рассмотреть частные случаи, когда Но = О или Ни = О. Это приводит к следующим равенствам: дФ дх, дФ ду дФ дФ дх дФ ду дФ вЂ” — + — — = —, — — + — — = —.
дх ди ду, ди ди ' д» де ду ди де" (19) Уравнения (19) могут быть разрешены относительно и дФУду, если определитель из коэффициентов дх ду дх ду У= — — — —— да де де ди отличен от нуля; в результате получаем дФ 1 У'дФ ду дФ ду'» дф 1 /дФ дх дФ дх дх У ( ди де де ди,У' ду .У ( ае ди ди де Заметим, что У не зависит от Ф. В частных случаях Ф=и и Ф=о зти решения приводят к следующим формулам: ди 1 ду ди 1 дх ди 1 ду де 1 дх (21) дх .У де ' ау ,У де ' дх .У ди ' ду .У ди Если этн формулы подставлены в уравнения (1) в случае, когда правые части равны нулю, то результат можно сократить на множитель 1уХ и получить ду дх ду дх (22) Зто снова система квазилинейных уравнений, где х и у в неизвестные функции, а и и о — независимые переменные. Такая замена переменных в уравнениях (1) возможна только в том случае, когда правая часть в этих уравнениях равна нулю.
Важность. этого преобразования в механике жидкости связана с тем обстоятельством, что в наиболее интересных сучаях коэфФидиенты а„..., Ье в УРавнениЯх (1) зависЯт только от и и о и не зависят явно от х н у. Те же самые коэффициенты входят 1бО ри. 1!. Общие «и«орски в систему (22), которая тогда явллетсл линейной системой в новых переменных и и о.
Преимущества, которые предоставляются этим обстоятельством, совершенно ясны. При выводе уравнений (20) и (22) предполагалось, что определитель ди ду ди ду д(и1) (23) отличен от нуля"). Из уравнений (21) и (23) следует также, что ди д«ди ди д(и,и) (24) .ди ду ду ди д(и,у) У Геометрический смысл этих определителей Якоби или якобианоа хорошо известен: если точка Р перемещается таким образом, что всевозможные ее положения целиком заполняют прямоугольник площади «1х Ну, то всевозможные положения соответствующей точки («целиком заполняют криволинейный «параллелограмм» площади 1'Ых«»у( и, наоборот, прямоугольной площадке ИиИо около точки «) соответствует площадь У«(и Ио около точки Р. Случай й = со (т. е. «'=О) означает, что площадь около точки Р отображается на дугу около точки «",«, если же У обращается в нуль, то площади около точки «» соответствует дуга около Р (в обоих случаях дуга может вырождаться в,точку).
Поэтому в обоих случаях преобразование выроясдается, и системы (1) и (22) уже не будут эквивалентными. Геометрический смысл этих искл«очительных случаев будет изучен в следующем пункте, а физический смысл такого преобразования в целом выявится позднее (см., например, п.12.3). и детерминант У (см. формулу (23)) принимает вкд 1 а а .— а.а. ' (27) 7.
Геометрическая интерпретация Когда соответствие между плоскостью х, у и плоскостью и, и определяется дифференцируемымя функциями и (х, у), и (х, у) или х(и, о), у(и, о), то в бесконечно малой окрестности пары соответствующих точек Р и () отображение можно рассматривать как линейное (аффинное) преобразование Ни= а»»«(х+а»««(у, Ых = Рм «1и + Р»» «Ь, 1 Но=а»»««х+а»»ду, «)у=р»»«ги+Р»»Но. 1 Здесь коэффипиепты а и () являются, конечно, частными производными ди ди а = — а»= —, ди ' »» ду 10.7.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
