Р. Мизес - Математическая теория течений сжимаемой жидкости (1161654), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Оно состоит из двух уравнений †уравнен для ф' и вва' и уравнения для ф и вво; каждое уравнение выполняется вдоль одной из характеристик *). Уравнения (14) допускают полезное видоизменение: из вышеуказанного квадратного уравнения для 1яф следует, что 1'й ф+ 1'со ф = А Следовательно, два уравнения, содержащиеся в уравнении (14), можно записать так: 'А( — "'+Сдфх — "' ~=Рсозфх.. удое доя / (14') Использовав равенство Ых=созфАо, запишем искомое условие совместности в дифференциальной форме, а именно Аивх + $д фхв)иь = — в(хь.
р А Если наши уравнения относятся к одному из случаев течения, которое описывается уравнением (7.43), то ыы знаем, что характеристические кривые являются линиями Маха, так что ф'=9+а, ф =9 — а, где 9 — угол между осью х и направлением течения, а а —. угол Маха. Н уравнении (7.43) при т=О для плоского потенциального течения В=О, и уравнение (14") сводится к уравнению ( — ') = — с1я ф*. (15) Это соотношение между дифференциалами зависимых переменных вдоль характеристик может быть сопоставлено с равенством (вву7Ах)е = 13 фь. В уравнении (7.43) при 'ч=1, д„=им д„=и, мы имеем Г= — иеае7у и А=а* — и",; тогда при фь = 9 7- а мы получаем в(и~+ Ьд(9 .та) с)ивь = — ",' . Ыхь.
(16) *) В отечестзеяяой литературе характеристики о' обычно называются характеристиками первого семейства, а характеристики а †хараятерястикамк второго семейства, как это имеет место к Лля ливий Маха (см. прямечавке яа стр. Щ.— Прим. рвд. Гл. П. Обизие теоремы Эти уравнения упрощаются при использовании полярных координат о и б, так как а зависит только от д. Подставив в уравнения (16) выражения е)и,=е1дсоэб — Ыбов)пб, Ыи =Ыдв(пб+Ибдсовб, после некоторых простых преобразований получим нв взоавзаб — — езб= с)х вдоль С', у Сга = усов(а-)-а) (17) + Иб = в а е(х вдоль С . узла усов(6 — а) Эти соотношения, а также уравнения (15) будут более понятны после ознакомления с п.10.6 и п.10.7.
Если те же полярные координаты введены не в уравнении (16), а в уравнении (15), то мы получим уравнения, левая часть которых будет совпадать с левой частью уравнений (17), а правая часть будет заменена нулями (см. п.16.3). 5. Дальнейшие примеры При рассмотрении трехмерного случая установившегося потенциального течения необходима известная осторожность. Предположим, что дифференциальное уравнение для Ф имеет вид где, как и раньше, коэффициенты явно не зависят от Ф. Если производные первого порядка от Ф взять в качестве неизвестных и,, и„из, то и=/с=Э и уравнение (18) можно заменить системой трех уравнений: дид диз диз Г диз диз Х здх зду зде з~ ду дз) — "' — — "'=О, — "' — — "'=О. дз дх ' дх ду Как и ранее, добавочные уравнения получаются из того условия, что неизвестные являются производными от одной и той же функции Ф. Это условие можно записать еще и так: гоСп = 0; в системе (19) выписаны только проекции этого последнего уравнения на оси у, и г.
Проекция на ось х, а именно равенство (19') ду дз не является следствием двух других. Действительно, если компоненты гоСп по осям у и в обращаются в нуль, то мы можем 9.5. Дапьнейшие примеры 129 =1: (Ам Вз, В,), (Вз Ае, В,), (В, В, А); =2: (О, О, 1), (О, О, О), (-1, О, О); = Э: (О, — 1, О), (1, О, О), (О, О, О). Таким образом, уравнение (10) для Л принимает вид АгЛ, + ВеЛ, + В,Ле ВеЛг+ А,Ле+ ВгЛе ВеЛ, -(- ВтЛе+ АеЛ Ле Ле 0 = Л, (АЯ -+ А Л1+ АеЛее -(- 2ВьЛ Ле -)- 2В ЛеЛ, -)- 2ВеЛеЛе) = Оь (20) Выражение в квадратных скобках определяет конус второго порядка; в данной точке Р этот конус снова может быть действительным (возможно, вырожденным) или мнимым в зависимости от значений коэффициентов А, и Ве в точке Р. В частности, если мы рассмотрим случай установившегося трехмерного потенциального течения, т.
е. уравнение (7.14) при д/дг= О, и выберем ось х параллельно вектору е1 в точке Р, то коэффициенты системы (19) будут равны А, = 1 — М', А = Аз = 1, Вь = Ве= = В„ = О. Тогда конус задается уравнением (М' — 1) Л„' — Ц вЂ” Л,' = О. (21) Это уравнение определяет конус вращения, ось которого. совпадает с осью х, а половина а угла раствора удовлетворяет уравненвго $9 а = + ' = 1'М' — 1 = сФя а, — ~ГЛ1-)-Л1 1 причем этот угол (и этот конус) будет действительным только при М > 1. Таким образом, характеристическая поверхность, нормальная к Л в точке Р, составляет угол Маха а с осью х кли с направлением е1 и касается конуса Маха в точке Р, как это определено в п.5.2е'); 9 г.
миеее заключить, что компонента по оси х не зависит от х, но не можем заключить, что она равна нулю. [Независимость от х компоненты (гоь и)„= — две/ду — дие/дз устанавливается непосредственным дифференцированием этого выражения по х, а затем подстанов-. кой последних двух уравнений (19); тогда оказывается, что производная д(гоьп)е/дх равна нулю.] Таким образом, задача не определяется полностью системой (19), и в конечном итоге мы должны учесть также уравнение (19'). Прежде всего найдем характеристические поверхности системы (19). Для этой системы уравнений компоненты векторов коэффициентов а,н равны 180 Г*.
1/. Общие огеареегм Видно, что уравнение (20) имеет дополнительное решение Лг=О для всех точек Р, так что любая плоскость, параллельная оси х, является исключительной плоскостью для системы (19). Эти плоскости, однако, не будут исключительными для исходного уравнения (18), как это следует из рассмотрения уравнения (19') совместно с системой (19). Возьмем, например, плоскость х, г и попытаемся вычислить производные по у по известным производным по х и г.
Этого нельзя сделать только при помощи уравнений (19), так как два из этих уравнений не содержат какого-либо из неизвестных ди,/ду, диз/ду, диз/ду. Однако из уравнения (19') сразу находится ди,/ду, и тогда ди,/ду и ди /ду определяются первым и последним из уравнений (19).
Так как производные по у определить мегино, то плоскость х, г не является исключительной плоскостью *). Таким обрааом, конус (21) содержит в действительности все исключительные направления *е). В качестве последнего примера кратко рассмотрим одномерное неустановившееся движение: в этом случае потенциал удовлетворяет уравнению (7.24), которое принадлежит к типу (2), если за независимые переменные приняты х и Г. Здесь А = а' — дт, В= — д, С= — 1, так что уравнение (13') показывает, что отяогпение йг — 9~У из 1 (22) )а а' — де о~а да~а дает наклон характеристических направлений в плоскости х, к Характеристики составляют с осью 1 угол, тангенс которого равен дх -)- а.
Этот результат играет важную роль в теории одномерного движения (см. гл. 111), где условия совместности берутся для уравнения (7.24) или (7.43') при т = О. Условия совместности, соответствующие этому последнему уравнению при т = О, 1, 2, можно вывести непосредственно из уравнения (14"). Предоставляем читателю сделать это в качестве упражнения.
При соответствующем выборе переменных характеристики зо всех трех случаях будут одинаковы. е) Если бы з системе (19) мы нспользоналн компоненты го1 п по осям х н у, то з уравнении, аналогичном уравнению (20), вместо множнтеля 2г появился бы множитель йе и можно было бы применить подобные рассуждения. *') Если общие рассужденнн, проведенные з и. 2, пркменяютса к одному кназнлннейному дифференциальному уравнению второго порядка для Ф(»г, хе, ..., х„), то видно, что уравнение для 2, сразу получается, если з начальном уравнении каждый множитель дЧР/дх,дх заменить через 2,), . Это можно доказать точно таким я<е путем, каким уразнепне (20) выводится нз, уразнення (18).
В самом деле теория характернстпк уравнений второго порядка может быть разнята непосредственным прнмененнем методов, наложенных'з пл; прн етом получается результат, который уже был получен выше езг д.б. Общий случай дсиссссниа хсидлости 6. Общий случай движения жидкости При рассмотрении общих дифференциальных уравнений не. установившегося непотенцнального трехмерного течения в точке р направим опять ось х вдоль вектора и. Тогда полная производная Ы/с(с в равенстве (1.4) выражается так: д/дг-1-од/дх. Мы воспользуемся уравнениями движения для идеальной жидкости (уравнение (1.1)1, но будем пренебрегать гравитационными силами",).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
