Р. Мизес - Математическая теория течений сжимаемой жидкости (1161654), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Таким образом, заданные значения ппределяют Ф с точностью до малых высшего порядка на любой соседней параллельной линии, скажем х = х, = хо+ е)х, Ф(хы у) =Ф(хо, у)+ — (х„у) Ых, (3) и мы получаем дф дФ доФ вЂ” (х„У) = — (хо У)+б е (хо У)еех при условии, что коэффициент при е(х можно определить из уравнения (2'). Таким образом, если А не обращается тождественно в нуль во всех точках прямой х= х„заданные функции можно определить и на прямой х=х,.
Затем можно продолжить процесс и вычислить производные по у на прямой х=х,; если А не обращается в нуль при х=х„то можно определить значение доФ/дхо при х = х, и значения Ф и дФ(дх при х=х,=х,+е(х. Итак, до тех пор пока А отлично от нуля, можно выполнять приближенное интегрирование дифференциального уравнения в полуплоскости х>хо (и конечно, тем же способом и в другой полуплоскости), и чем меньше будет приращение е(х, тем лучше окажется приближение. Можно заметить, что для перехода от (х„у,) к (х +Их, у,) не требуется знать значения функций на всей линии х=х„а достаточно знать их на малом интервале этой линии, содержащем точку (х„у,) или даже на дуге кривой, касательной к прямой х =хо в точке (х, у,). В частном случае уравнения (1) имеем А=1 — д",, (4) Но, если рассматриваемое движение дозвуковое (д ( а), то тогда заведомо де(ао (1, и А вс1оду остается положительным.
В атом 44З 9.1. Введение счучае при продолжении решения не может возникнуть трудностей. Не так обстоит дело в сверхзвуковом течении (д ) а). Н этом случае может оказаться, что величина д„компоненты вектора «( по оси х будет в точности равна местной скорости звука а. В такой точке Р угол а между направлением оси у и' вектором скорости е1 (рис.
42) удовлетворяет уравнению а(пав = — = — = —; е„а 1 (5) д у М' таким образом, угол а представляет собой угол Маха (см. п.5.2) и ось у в точке Р совпадает с одной из линий Маха. Оказы- вается, что процесс интегрирования нельзя продолжать через элемент ееу, если угол между ееу и «1 равен углу Маха, Ликии евека Рис. 43. Харвктервствки квк ливии раздела. Р и с. 42. Направление оси у как характеристическое направление.
Так как направления х и у в уравнении (1) совершенно произвольны, то это означает; что процесс последовательного интегрирования становится невозможным, как только мы проходим через линейный элемент, который составляет угол а с вектором скорости, т. е. как только компонента дч, нормальная к этому линейному элементу, будет равна а.
Кривые, которые пересекают линии тока под углом а, были названы линиями ЛХаха (п. 5.4); через каждую точку Р проходят две линии Маха С' и С (рис. 43), причем вдоль каждой линии д,=а. Теперь можно установить, какую роль играют линии Маха по отношению к дифференциальному уравнению.(1). Даже в том случае, когда функция Ф известна во всех точках области В между С' и С, дифференциальное уравнение (1) не дает никаких сведений о величине Ф по другую сторону от линий Маха. Если найти решение уравнения (1) в области В' при тех же значениях дФ(дх и дФ/ду на С', что и для решения в В, то оба решения, рассматриваемые совместно, описывают в области В+ В' течение, в котором величины скорости (и давления) непрерывны Гл. 71. Обооио теоремы и которое удовлетворяет дифференциальному уравнению всюду, даже на граничной линии С'.
(Если, например, линейный элемент С' есть ау, то разрыв может иметь только величина дзФ/дхз, коэффициент А при которой равен нулю.) Эти два решения могут быть аналитически совершенно раз- С личными в том смысле, что не существует рядов Тейлора, которые сходились бы к решению в любой области, которая частично лежит з В и частично в В'. Например, может случиться, что равномерный параллельный поток за линией Маха (которая в этом случае должна быть прямой линией, как показано на рис. 44) искривляется. Такое изменение невозможно в дозвуковом потоке; там решения всюду являются аналитическими и нет таких кривых, за которые решение нельзя продолжить.
Кривые (или поверхности в случае ббль- шего числа измерений), вдоль которых моле- 'Р но 44 СопРЯжс но сопрязать аналитически различные региенпе двух различных рошзннй вдоль при- ния дифференциальных уравнений или систем. иолинсйной харак- таких уравнений (при определенных огранитсристини. чениях, следующих из самих уравнений) на- зываются характеристиками уравнения или системы. В той мере, в которой предыдущие рассуждения можно считать строгими, было показано, что линии Маха являются характеристиками двумерного уравнения для потенциала (1). 2.
Общая теория") Во многих разделах физики соответствующую математическую задачу можно сформулировать следующим образом: йнеизвестных и„и,..., ию являющихся функциями и независимых переменных х, хз, ..., х„, удовлетворяют дифференциальным уравнениям первого порядка, линейным относительно производных ди„)дх,. Так как коэффициенты могут зависеть как от независимых переменных, так и от неизвестных функций и„, то эти дифференциальные уравнения в общем случае нелипейны. Мы будем пользоваться термином квазалинейный *), чтс бы указать, что они тем не менее линейны относительно производных. В случае течения жидкости имеетсяй= 5 зависимых переменных: д„, ао, д„р и о и и =4 независимых переменных х, у, х и ц система уравнений состоит из уравнения Ньютона (1), уравнения неразрывности (11) и замыкающего уравнения (П1).
*) Автор называет такую систему уравнений «планарнойо(ор)апаго, сн. приисчзние 27). — Прим. корев. 9.2. Оби1аз вьеорил 121 Выражение вида ди ди ди — +аа — +."+ив дх1 дх~ ' ' " дз„ всегда можно рассматривать как скалярное произведение и-мерного вектора а с компонентами ам аз,..., а„и вектора йгаби, который также имеет и компонент ди(дх .
Так как имеется й неизвестных и„и й уравнений, то для того, чтобы записать систему квазилннейных дифференциальных уравнений в следующем виде: ~~>'„а„„дгаб и„= Ь, (~ = 1, 2,..., й), (6) э=1 нужно задать йз и-мерных векторов аии где 1 и х пробега1от все значения от 1 до й. При записи этой системы в векторной форме получается то преимущество, что такая запись не зависит от выбора системы координат. При исследовании какого-либо конкретного физического процесса при помощи уравнения (6) можно выбрать оси координат таким образом, чтобы компоненты векторов, характеризующих этот процесс, имели бы возможно более простой видзз).
Входящие в систему (6) й градиентов име1от ий компонент. Предположим, что при некотором выборе осей комп;ненты этих градиентов в направлении и — 1 оси координат известны в точке Р, т. е. что (и — 1) й значений ааданы произвгльно; тогда й уравнений (6) позволяют, вообще говоря, определить остающиеся й компонент в направлении нормали. к «плоскости», проходящей через точку Р и содержащей и — 1 заданных направлений. В случае и = 3 заданы 2й компонент, параллельных некоторой плоскости (плоскости в обычном смысле этого слова), и уравнения (6) служат для вычисления остающихся й компонент: Может случиться, однако, что существует такая плоскость Е, что если заданы (и — 1) й компонент дгаби„, параллельных Е, то уравнения (6) не дают возможности определить остальные й компонент. Для этого необходимо и достаточно, чтобы определитель из коэффициентов при этих й компонентах в системе (6) обращался в нуль, или, что то же самое, чтобы существовала линейная комбинация уравнений (6), которая не содержала бы ни одной из этих компонент.
Плоскость Е, для которой это имеет место, будет называться исключительной (ехсерПопа)) плоскостью для системы (6) в точке Р. Ваша'задача состоит в том, итобы найти в каждой точке исключительные плоскости, если они существуют, или, что то же самое, найти направление нормали Х к каждой из этих исключительных плоскостей. Го. 11. Общие тпеоремы Рассмотрим линейную комбинацию уравнений системы (6), полученную при помощи умножения каждого уравнения на множители а„а„..., ад и последующего сложения я а„р', а,„угад)и„= ~ч~ ад(д„ д д н д д д д 'Я А„игад) и„=В, (7') в=д где А = '5' а„а,„, В= ~ч~~ а„Ь, (к=1,..., де). (8) д д е=! и,(Л.а„)+а,().а„)+... +ад(Л ад,)=0, а,(Л.а„)+а,(Л азз)+...
+ад(Л ад,).=0, (9') ад(Л.адд)+ае(Л а д)+... +ид(Л адд)=0. Нетривиальное решение а„а,..., ад этихуравнений существует тогда, когда определитель из коэффициентов равен нулю, т. е. Уравнение (7') является необходимым следствием уравнения (6) и должно удовлетворяться решениями и„системы (6) при произвольном выборе а„. Левая часть уравнения (7) есть сумма скалярных произведений, каждое из которых имеет вид А„ягай и„, где вектор А„ является линейной комбинацией векторов а„„, д = 1, ..., Й; каждое скалярное произведение равно также произведенидо А„ на проекцию вектора ягад и„ на направление А„. Предположим, что при некотором выборе множителей а, (не.равных одновременно нулю) все векторы А„параллельны некоторой плоскости Е; тогда эта плоскость обязательно будет исключительной, так как существует линейная комбинация уравнений (6), которая не содержит нормальных к Е компонент градиентов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
