Р. Мизес - Математическая теория течений сжимаемой жидкости (1161654), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Таким образом, если используется уравнение (34), то необходимо прибавить условие (1) существования потенциала; для плоского движения условие (1) сводится к уравненшо дух дэх — — — =О дх ду Чтобы вывести последние иэ этих формул, нужно воспользоваться рисунком, являющимся обобщением рис. 28. Для этого замечаем, что производная по у от компоненты д„по оси у равна .г/„/г по той же причине, что и в п.3. Однако здесь мы должны также учесть компоненту д1 по у, производная которой по у равна (1/г) дд,/дд.
Уравнения (32) дают обычные формулы для производных от Ф в полярных координатах при 9 =0. Теперь уравнение (31) можно записать в виде 97 7.бс Установившееся яяоское движение в декартовых координатах, или, как это следует иэ формул (32), к уравнению ~ЧЕ 1 д«„ Ч« — — ' —."+ — = О (35) дс с ое в полярных координатах. Уравнения (34) и (35), рассматриваемые совместно, эквивалентны уравнению (33). Случай радиального движения, когда де = О и д„эависит только от г, уже был рассмотрен в конце п.З. Сейчас мы рассмотрим более общий случай, который можно .назвать осесимпетрпчным' течением "3: д„и д«не зависят от д, но д«не равно нулю.
Условие (35) тогда запишется в виде — + — = О, или где = сонэ«. 'дв де Ыс с (36) Но произведение 2ягд«равно величине циркуляции Г по кругу радиуса г с центром в начале координат, так что мы имеем эдесь иллюстрацию случая, упомянутого раньше (п.6.1), когда Г была постоянной (отличной от нуля) на контурах, охватывающих бесконечно длинное цилиндрическое препятствие. Здесь «препятствиеме является некоторый круговой цилиндр, г = г, (см. п.б). Дифференциальные уравнения применяются только к области, внешней к соответствующему кругу с.центром в О. В этой (двусвязной) области существует регулярное потенциальное течение прн 2ягд«оо сопев= Г.
Непосредственная окрестность точки г= О не представляет для нас интереса. Поскольку ое определено, иэ уравнения (34) можно найти о„во). Зто уравнение, если в нем опустить производные по' 9 и умножить результат на г, приводится к уравнению Здесь дк написано вместо ф+ де. Рассматривая упругую жидкость в общем случае, полагаем ссН(ссг = сс ('/е де+ Р)/й. = О (см. конец п.1), или и замечаем, что член, стоящий в правой части уравнения (37), равен *) '1 др — гй ге Ис *) Этот реауаьтат также следует вепосредствевпо ие уравнение вераарывпости (3).
7 г. Мессе Гм. 1г. Общие теоремм Таким образом; разделив уравнение (37) на множитель гд„, мы можем проинтегрировать обе его части и получить 1п (гд„) = — 1п 9+ сопз1, гд„= сопзз 1 (39) Зто равенство вместе с равенством (36) дает решение задачи, так как введя в уравнения (36) и (39) две константы С ( = Г/2п) и к соответственно, возведя этн уравнения в квадрат и слон1ив результаты, мы получим У 2 С ьэ гааз = Сз+ —, или г' = — + — . е' ' '=э* (е)' (40) Это — уравнение Бернулли, которое, как нам известно, устанавливает соотношение между дз и 9. Если это соотношение использовать для исключения й из уравнения (40), то полученное уравнение свяжет г' и д', и так как д~ уже известно как функция г, то мы можем в результате найти соотношение между д„'н г.
Исследование этих соотношений приводит к двум важным выводам, которые будут рассмотрены в следующем пункте (см. также конец пЛ7.4). 6. Переход от дозвукового течения и сверхзвуковому. Предельные линии. Связь между 9 и д, устанавливаемая уравнением Бернулли, будет подробно рассмотрена в 9 8. Здесь же достаточно знать, что при росте д 9 монотонно уменьшается, а произведение дд сначала возрастает от нуля при д = О, достигает максимума в звуковой точке д = а, М = 1, а затем убывает до нуля, когда д, возрастая, принимает сверхзвуковые значения. Функция к'Я97)' в зависимости от д' вычерчена на рис. 31; абсцисса ОЕ, точки минимума, как сейчас установлено, равна д' = а'.
На графике показана также гипербола с ординатой С'/дз. Ордннаты кривой, вычерченной жирной линией на рнс. 31, равны сумме ординат двух других кривых, и эти суммы, согласно уравнению (40), должны быть равны гз. Так, если одна кривая имеет минимум в звуковой точке, а затем неограниченно возрастает, а вторая монотонно убывает, то очевидно, что каковы бы ни были (положительные) постоянные С' и й', результирующая кривая должна иметь минимум Р с ординатой, отличной от нуля, и с абсциссой ОР, ) ОЕ„т. е.
лежащей в сверхзвуковой области. Обозначим минимальную ордннату Р Р через г1. Если задана некоторая величина г'=ОА, то этот график показывает, что ей соответствуют два различных значения оз прв г') г); если же г' < г), то нельзя найти ни одного значения д', удовлетворяющего уравнению (40). Зто означает, что для любой пары постоянных С и й существуют два различных потенциальных осесимметрнческих течения, оба простирающихся в области У.С. Переход от доевуковоео те«еккл к еверкевуковоову 99 от г=г, до г= ос и имеющих одну и ту же скорость при г=г,. Одно течение, соответству«ощее ветви кривой справа от Р, целиком сверхзвуковое, а второе содержит как дозвуковые, так и сверхзвуковые области.
На круге г=г, течение кончается; оно имеет Смешпккве Сверхзвуковое 0 по Р в с. 31. Спиральное точеппе, возникающее в результате наложения вихревого точовня ва радиальное точовво. «естественный предел». Нечто подобное было обнаружено в п.З при рассмотрении радиального течения. Но в радиальном течении предельная линия совпадала с ливией, на которой М = 4, еав вавил Р и«. 32.
Линии тона в смешан- ном спиральном течении. Рнс. 33. Линии тона в сверхзвуко- вом спиральном течении. н, таким образом, ее существование могло быть приписано тому обстоятельству, что достигается скорость звука. Теперь мы'знаем, что естественный предел совершенно не связан с линией, 'разделяющей сверхзвуковую и дозвуковую области.
Наоборот, настоящий пример показывает, что возможно «смешанное» потеи7о -Ге. Х1. ОбиЕие тееремн циальное течение беэ каких-либо особенностей или нерегулярное, тей на границе между областями, где М < 1 и М > 1. На рис. 32 и 33 изображены линии тока, соответствующие двум решениям, .определяемым рис.
31. Чтобы найти эти линии тока, нужно только измерить на рис. 31 для' различных положений ее ' точки А на вертикальной оси величи- Ю ны АВ=део и ВС или ВЮ для д'„. Тогда отношение до/д„дает наклон ,р т линий тока к радиусу-вектору, а именно Фл8 (см. рис. 34).
Линнитока находятся графическим или числен- 0 ным интегрированием. Рве. 34. Угол между око- Рисунок 32 относится к смешанроотью и радиусом-вектором ному течению с меньшими эначениями э еаарааьсом течеваа для ое. В этом случае скорость равна нулоо на бесконечности, увеличивается монотонно до скорости звука на звуковой окружности, а затем до сверхэвуковых значений в кольцевой области между звуковой и предельной окружностями. В силу уравнений (36) и (39) предел наклона линий тока к радиусу-вектору при г= со равен 1(ш — = 1(ш — = 11ш — = — „' =сопэь.
оо 1 оо СО СШ е--О о о% е о" 'Таким обрааом, в этом случае линии тока при г — э оэ приближаются к логарифмическим спиралям. Если две жирные линии, нанесенные на рис. 32, изображают стенки канала, то течение внутри этого канала может следовать схеме, показанной на этом рисунке, вплоть до предельного круга. На рис. ЗЗ показаны линии тока в случае полностью сверхэвукового движения.
Здесь скорость на предельной линии такал же, как' и в случае, соответствующем рпс. 32. Но теперь скорость увеличивается, когда мы движемся вперед. Так как до стремится' к нулю с увеличением г, то течение все более и более приближается к радиальному. Это течение может в обоих случаях.
либо сходиться, как покааано на рисунках, либо расходиться. 7. Другие частные случаи общего уравнения для потенциала В случае установившегося движения общее уравнение (14) становится таким: у.т. другие частные случаи 101 где, согласно уравнени1о (16), "= а'- —. (9'+9'+9*). Зто же самое уравнение в цилиндрических координатах г, 9 и з при д„= дФ/дг, ос = (1/г) дФ/99 имеет внд — 2 — — — 2 — —. — 2-' — -'- — + —" ~1+ — / = О. (42) бгбб д'Ф бббе д'Ф дебг деФ дг / Че~ гас дгдб гас обде гас дедг г ~ ае/ Заметим, что при ае — иоэ уравнение (42) переходит в уравнение Лапласа в полярных координатах, а именно деФ 1 деФ деФ 1 дФ вЂ” +- — + — + — —.= О. дге г дбе дее г дг' При д, = 0 из уравнения (42) мы опять получаем уравнение (33).
Другим случаем с двумя неаависимыми переменными является случай осевой симметрии, когда Ф зависит только от г и г и не зависит от 9, и уравнение (42) сводится к следующему: Если здесь з и г ааменить на х и у соответственно, так что ось х будет осью вращения, то зто уравнение будет отличаться от уравнения (31) только членом да/у.
Можно ввести уравнение деФ / бх1 деФ / бй1 беби дФ вЂ” ~1 — — /+ — -~1 — — / — 2 —" — + — д =0 (43) дхе ~ ае/ дуе ~ ае/ ае дхду у и где т=О в случае плоского течения и т=1 в случае осесимметричного течения "). Далее мы рассмотрим неустановившиеся движения. Начнем с уравнения плоского неустановввшегося движения, выведенного из уравнения (14), а именно с уравнения деФ ба деФ ди деф — — — — 2 — * —. — 2 — "- — = О. (44) ае дм а' дхдс а' дудс Если Ф не зависит от 9, то, снова вводя полярные координаты [при помощи формул (32)1, получаем — ~1 — — г/ — — — — 2 —" — + — г=О дг' ~ а'/ ае дее ае дгдС + г т. е.
случай неустановившегося течения с 9илинд/гнческой симметрией. Обобщая аналогичным образом уравнение (19) на случай Гл. 31. Обисыа теоремы Р82 неустановившегося течения или преобразуя непосредственно уравнение (14), получаем в случае сферической силсмесирии д~ф ! гСг с 1 доФ Чг дсФ 2 — ~1 — — "! — — — -2 — ' — + — д =О.
дга 'Ч ао! ас ды ао дгдС г Сравнивая эти последние два уравнения с уравнением (24), видим, что можно написать дсФ I чг '| 1 доФ дг доФ ч — (1 — — ") — — — — 2 —" — + — о =0 дго ~ ао ) ао дСо ас дгдС г (43') где в=0, 1 или 2 для неустановившегося параллельного течения, неустановившегося течения с цилиндрической симметрией и со сферической симметрией соответственно. Опять имеются только две независимые переменные, а именно с и с.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
