Р. Мизес - Математическая теория течений сжимаемой жидкости (1161654), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Из уравнения (16) находим, что в любом случае а = — (к — 1) ~ — + — !. 3 дФ Чг ~дс 2! Если, как и в $4, мы заменим а' на а' — скорость звука з покоящейся жидкости, — опустим члены высших порядков и заменим г через х, то получим обобщенное одномерное волновое уравнение доФ одсФ а ч дФ вЂ” — а — -а— =0 дсо ода" о а да (45) с указанными выше значениями т.
Общее решение для с=2 имеет вид 'Ф= — (!с (х-ааС)+!а (*+аоС)'1 где 1, и 1,— проиавольные функции одного переменного; этот результат можно сравнить с решением Даламбера для т=О. Теория цилиндрических волн (в=1) более трудна и существенно отлична от аналогичной теории при т = 0 или т = 2.
Здесь есть аналогия с общей теорией одно-, дву- и трехмерных волн (см. конец $ 4, где мы установили, что второй случай существенно отличается от первого и третьего). $8. СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ ПАРАМЕТРАМИ УСТАНОВИВШЕГОСЯ ПОТОКА 1. Общие соотношения между ст, тс, о и Х Если течение сжимаемой жидкости является установившимся, т. е. не зависят от времени, и на каждое линии тока выполняется соотношение между р и о, то каждая из четырех величин д, р, о и Т (величины скорости, давления, плотности и абсолют- 8.1. Общие гоотнощения между' о, р, о и Т до Г Ыр — + ~~ — =0 2 (2') что опять дает р(р,. Когда пренебрегают силой тяжести, функция Бернулли Н (см.
п.2.5) определяется равенством в + Р 2 (3) В п.б.5 и 7.1 было показано, что в установившемся беэвихреэом .течении эта величина Н постоянна во всей массе жидкости. яой температуры) на эаданной линии тока может быть выраже- на как.функция одной из этих величин. Действительно, уравне- ние состояния, соотношение между р и о и уравнение Бернулли дают три соотношения между этими четырьмя перемекнымп. Ес- ли на всех линиях тока выполняется одно и то же соотношение между р и р (упругая жидкость) и если течение установившееся и безвихревое (установившееся потенциальное течение), то, как сейчас будет покаэано, соотношения между д, р, о и Т будут одинаковы для всего течения. Если пренебречь влиянием силы тяжести, то уравнение Бер- нулли в дифференциальной форме записывается в виде (2.21') дед+ — "' =О, е (1) где дифференциалы характериэу1от изменение 7 и р вдоль линии тока.
Интегрируя это уравнение и вводя постоянную величину давления торможения р, (значение, которое р принимает в той точке линии тока, где о = О), находим Ре ,) (2) и Это равенство определяет д как функцию р для всех точек линии тока — функциео, эависящую от параметра р,. Так как р, о и до неотрицательные величины, то р <р, ввиде на линии тока, причем максимальное эначение р может быть достигнуто только в той точке, где скорость обращается в нуль.
В случае упругой жидкости можно рассматривать функцию Р от р (см. п. 2.5), производная которой равна 1(д, например, Р = ) е(р/д, где р, — некоторое значение давления. Тогда Р предро ставляет собой монотонно возрастающую функцию р. В этом слу- чае уравнение (2) можно записать так: 2 Гл. П. Общие теоремы $04 Из уравнения (3) ясно, что эта величина совпадает также со значением Р/д во всех тех точках, где скорость равна нулю, поэтому Р, а следовательно, и р, имеют одно и то же значение во всех этих точках. Если р известно, то величину о можно найти из соотношения между р и о, а когда иавестны аначення р и й, аначение Т получается из уравнения состояния.
Таким образом, делается ааключение: в установивеивмхя бвввихревом баротрокном течении во всех точках, гдв скорость равна нулю, значения ры оы Т, величин р, о и Т на всех линиях тока одинаковы. При атих условиях уравнение (2), определяющее значение д как функцию р, также одинаково для всех линий тока. Изучим это соотношение.
О Р но. Зб. Графннн зависимости р от д для разлячных значеняй р, и соответствующие значения о Пуяетяаеымм яяяяямя меовеажеяы соотеетстетеяяяе еаеяоммоотм яяя яоожямаемоа жяямоети. Рнс. 35. Справа графнн зазнсвыостн р от 4/о; слева: графини зазноныостн Р от ве/2=Р(р,) — Р(р) для разлячных я значеннй р, гдеР ) ар/ч. Независимо, от того, выполняется ли данное соотношение между р и й для одной линии тока или для всей массы нтидкости, предположим, что р = О соответствует значению о = О и что р увеличивается монотонно с увеличением о, так что на линии тока из неравенства р < р, следует неравенство о < о,.
Мы даже предположим строго монотонное возрастание, т. е. условимся, что Ыр/с)д= аз никогда не обращается в О, за исключением, может быть, значения о=О. Тогда график р в зависимости от 1/о будет иметь форму, изображенную в правой части рис. 35. В левой части этого рисунка по оси абсцисс отложено значение интеграла от 1/о в пределах от р до р;, график стаеит в соответствие любому значению этой абсциссы некоторые значения ординаты р; каждой кривой соответствует частное значение параметра р„которое выражается ординатой точки пере-' сечения данной кривой с осью р.
Из уравнения (2) следует, что з.д Общие соотношения между В, р, р и Т еОЬ горизонтальная ось слева является также (положительной) осью е1е(2: При вычерчивании графиков на рис. 35 предполагалось, что р интеграл ~ егр/ц сходится при р = О, что означает, в частности, что е(р/Ыд = аз при ц = О обращается в нуль. При. этом предположении кривые в левой части чертежа пересекают горизонтальную ось при конечных значениях де/2; в противном случае все кривые имели бы эту ось асиыптотой. Рассматривая д вместо дз(2, мы получим график р в зависимости от о для различных значений параметра р, (Рис. Зб). Иа уравнения (1] находим -„— =- — еу, (4) таким образом, каждая кривая имеет одну горизонтальную касательную при о = О и р = р„а другую при р = О (р = О) и прв конечном или бесконечном значении о.
Поэтому каждая кривая должна иметь точку перегиба в некоторой промежуточной точке И Р) *) Дифференцируя уравнение (4) и используя обозначения Ыр/е(о= а', находим а зр ыс 'е йр з — = — е — ч — = — е — у — — = — р+ й —. ° ав др бв ее нли, введя число Маха М=д/а, получаем — = — — (й1)=б(М -1). дер а оде яв (о) е) Мы предположим, что имеется только одна такая точка перегиба. Можно показать, что это условие наверняка будет выполняться в том случае, когда енр/Нее) О. Произведение оо равно потоку массы через единичную площадку и может быть ваавано интенсивностью потока массы. Тогда заключение, которое можно вывести иэ уравнения (5), выражается следующим утвеРждением: кривая, изображающая зависимость р от д, имеет точку перегиба, когда число Маха равно 1 (в звуковой точке); интенсивность потока массы оо увеличивается со скоростью д в дозвуковом потоке, достигает максимума в звуковой точке и убывает, ' когда д увеличивается в сверхзвуковом потоке.
Каждому значению параметра р, (или ц, или Т,) соответствует определенная переходная скорость о, (абсе1исса точки пеРегиба), гдв М=1, и определенная максимальная' скорость Ч е гдв р=о=О. Если значение о конечно, то число Маха М-«сю при о-«д, так как а' — «О. Для случаев исключительных соот. Гм. Хг. Общие теоремм ношений между р и о, когда вышеупомянутый интеграл ~ Ир(д расходится при о -+ О и д неограниченно возрастает, может получиться так, что М остается конечным при д — +со. В случае несжимаемой жидкости, когда й = о„имеем, что др(й=(р — р,)/й, и кривые, изображающие зависимость р от ла о, будут параболами 08 Эти кривые для различных значений Р, вычерчены пунктиром на рис.
36. Этот рисунок показывает, что сжимаемая жидкость ведет себя в дозвуковой зоне почти так же, как и несжимаемая жидкость, но когда скорости становятся сверхзвуковыми, течение принимает совершенно иной характер. Предыдущему утверждени|о, касающемуся интенсивности потока массы, можно дать другую интерпретацию. В любой бесконечно малой трубке тока закон сохранения массы и условие стационарности течения приводят к тому, что расход (равный произведению йд на поперечное сечение трубки) будет одинаков во всех поперечных сечениях трубки; таким образом, ивтенсиваость потока массы оо должна быть обратно .пропорциональна поперечному сечению трубки. Тогда в дозвуковом течении уменьшению поперечного сечения соответствует увеличение о и наоборот, точно так же, как и в случае несжимаемой жидкости.
Однако в сверхзвуковом потоке увеличение поперечного сечения соответствуег увеличению скорости течения: минимальное поперечное сечение соответствует значению М=(. Это явление было продемонстрировано на случае радиального течения, изученного в п. 7.3: в дозвуковом потоке скорость уменьшается от д = д, до у=О, в то время как поперечное сечение канала увеличивается; в сверхзвуковом потоке скорость с увеличением поперечного сечения возрастает от д, до д "). Если задако соотношение между Р и о, выполняющееся всюду, то до тех пор, пока нас интересует связь между р и д (нли о и д, или Т и д), каждое возможное установившееся безвихревое течение характеризуется аначеннем однова-едяястеенноео параметра.
В качестве этого параметра можно использовать значение любой из нижеследующих величин: величины р„о, яли Т,; величины переходной скорости д,; величины максимальной скорости д (при условии, что зта величина конечна); постоянной Бернулли Н, которая равна величине Р~б в точке, где скорость обращается в нуль, или квадрату д, деленному иа 2д, если при определении Р нижний предел в интеграле взят равным нулю. 107 8.2. Переход е пространство.еодоарафа 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
