Р. Мизес - Математическая теория течений сжимаемой жидкости (1161654), страница 22
Текст из файла (страница 22)
М'+1), (16) 3. Случай политропического соотношения между тг и й Соотношение между р и д (или между р и а, или Т и д) имеет особенно простой вид в случае политропического соотношения между р и 0 — „=сопаь = — „. Р Ре (И) е" 8.д. Случай полшпропичеспоео соотношения между р и р ' 113 и, наконец, рассматривая жидкость как совершенный газ,'.
иа уравнения состояния (1.6) находим Ров (Х вЂ” 1 ма+ 1 )- (17) Т, рва ( 2 Уравнения (15) — (17) выражают результат, упомянутый в конце предыдущего параграфа. Для того чтобы выразить скорость о в безразмерной форме, возьмем в качестве масштабного множителя скорость звука а, в точке, где скорость равна нулю. Согласно уравнениям (13), (15) и (17), а, аадается так: р,, Г р ~-< -)Уи, Т, (18) Ев Рв Т Заметим, что равенство первого и последнего членов в уравне- нии (18) согласуется с равенством а' =ну)чТ, которое следует нз определения ао и нз условия, что газ является совершенным.
Тогда уравнения (18) и (15) дают "в =М' — =М'( Р ) =М*( — Ма+1) . (19) Далее на основании уравнений (19) и (16) интенсивность потока массы Е!7 удовлетворяет уравнению а тар называемое динамическое давление Еоз/2 в уравнени)о — М ( — М+1) (21) Пусть индекс г покааывает, что значение данной величины берется в звуковой точке (М = 1); тогда из уравнений (15) — (17) и (19) — (21) могут быть получены следующие соотношения: = ( †.) = ( †.) и+1~ — ияи — !) /и+1~ — )Ли — !) Т =Т— 2 в !ив+! (22) Ги+1~ — <и+!))З! — !) е 71 = е.а~ ( —,) (23) В п. 1 было показано, что Е)д! представляет собой максимальное значение ЕЧ.
З ж мивео Га. 11. 06иЕие ееееремм. Максимальная скорость д, соответствующая Р = О, может быть определена из уравнений (12) и (18), а именно д = — — = — а,. и 2х Ре з е (24) х — 1ое х — 1 Для любого х > 1 это максимальное значение д конечно. Все предшествующие уравнения справедливы также в изотермическом случае (х = 1), если перейти к пределу при х -+ 1; в частности, значение д тогда бесконечно для всех значений параметров Р, и 9,. Комбинапня уравнения (24) и первого из равенств (23) дает следующее важное соотношение: 7~~= х 17о х+1 (25) На основании уравнения (15) или уравнения (19) можно установить, что при р = 0 и д = д число Маха обращается в бесконечность, если х > 1. Из уравнения (17) следует, что соответствующая температура Т должна быть равна нулю, откуда ясно, что в реальном течении предел д = д никогда не может быть достигнут.
Нужно вще раз подчеркнуть, что все формулы, выведенные в этом пункте, справедливы для: а) установившегося течения вдоль одной ливии тока (трубки тока), если уравнение (11) выполняется во всех точках этой линии тока; б) установившегося бгевихревого течения в одном, двух или трех измерениях, если уравнение (11) выполняется во всей массе жидкости. 4.
Адиабатический (безвихревой) поток воздуха Сухой воздух можно приближенно считать двухатомным совершенным газом, для которого теоретическая величина показателя адиабаты у=ср~с, равна '/е=1,4. Эксперименты приводят к несколько большему значению, не превышающему 1,405. Выбор того или другого из этих значений не оказывает значительного влияния на результат ввиду того обстоятельства, что вся теория является приближенной. Например, отношение давлений в звуковой точке и точке, где д = О, которое дается первым равенством (22), равно Ру+1, тдт-ц )0,5283 при у=1,400, Ре 1.
2 Г (0,5274 при у = 1,405. Для простоты все численные'данные, относящиеся к адиабатичвскому течению воздуха, основаны на предположении, что значение х в предшествующих формулах равно 1,4. В частности, 8.4. Адиабатичеевий (беввихревой/ поеоов вовдрхп Ий зто означает, что отношение площадей двух кругов Сш и С, в плоскости годографа на основании равенства (25) равно (1,4+. 1)/(1,4 — 1) = 6, а соответствующие отношения скоростей на основании равенств (25) и (24) равны — = ~/ 8 — — 0,91. (26) = )/5=2,24, а, рт = )/6 = 2,45, й На рис.
40 изображены графики отношений р/рш д/9„Т/Т, и е//д в зависимости от числа Маха М, основанные на уравне- 4О ав 50 о /О гп йп 4О бО йО м' Рис. 40. Графики ааввспиостей— р о т е Рв Ов тв тт —, — от числа Маха. ет опте Ееде ' Ед Для последвей кривой следует полввоваться правой иасштаб~пой шкалОЙ. пнях (15) — (17) и (19). Следующая кривая представляет отноше= ние д,д,/йе/, которое, согласно уравнению (20) и второму равенству (23), можно записать в следующем виде: (27) Так как'площадь поперечного сечения обратно пропорциональна.
интенсивности потока массы, отношение (27) равно отношению поперечного сечения, проведенного через любую точку трубки тока к поперечному сечению, проведенному через звуковую точку, 8в 116 Гл. 11. Общие теоремы т. е. к минимальному поперечному сечению трубки. Последняя кривая характеризует интенсивность потока массы ОЭ/р,д„ которая имеет максимальное значение при з4 = 1.
Численные значения для пяти первых функций приведены в табл. 1. Таблица ! ЗАВИСИМОСТЬ ПАРАМЕТРОВ ПОТОКА ОТ ЧИСЛА МАХА М ДЛЯ АДИАБАТИЧВСКОГО ТЕЧЕНИЯ ВОЗДУХА Т1Т, Р1ее О1ее а!о с1зо Теперь кривую, схематически представлявшую зависимость р и д на рис. 36, можно вь7чертить точно, так как соотношение между р и О ЗЪдано в явном виде уравнением (11); эта кривая изображена на рис. 41. Зависимость между р и с выражается следу!Ощей формулой "): 128) 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,1 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,5 2,0 3,0 4,0 6,0 8,0 10,0 15,0 20,0 25,0 1,0 0,99993 0,99972 0,99937 0,99888 0,99825 0,99303 0.97250 0,89561 0,78400 0,65602 0,52828 0,41238 0,27240 0,12780 0,02722 0,00659 0;000633 0,000!02 0,0000236 1,0 0,99995 0,99980 0,99955 0,99920 0,99875 0,99502 0,98028 0,92427 0,84045 0,73999 0,63394 0,53114 0,39498 0,23005 0,07623 0,02766 0,00519 0,00141 0,000493 1,0 0,99998 0,99992 0,99982 0,99968 0,99950 0,99800 0,99206 0,96899 0,93284 0,88652 0,83333 0,77640 0,68966 0,55556 0,35714 0,23810 0,12195 0,07246 0,04762 0,02173 0,01235 0,00794 0,0 0,00447 0,00894 0,0!342 0,0!789 0,02236 0,04468 0,08909 0,17609 .
0,25916 0,33686 0,40825 0,47287 0,55709 0,66667 0,80178 0,87287 0,93704 0,96309 0,97590 0,98907 0,99381 0,99602 57,874 28,942 19,300 14,481 11,591 5,82!8 2,9635 1,5901 1,1882 1,0382 1,0 1,0304 1,1762 1,6875 4,2346 10,7!9 53,180 190,11 535,94 3755,2 15377 46305 9.1. Введение Зта формула была сначала получена в частном случае чисто радиального течения в виде уравнения (7.23'). С точностью Рис.
41. Графин зависимости р от д для адиабатического потока воздуха. до масштабных множителей эта кривая представляет собой меридиан бугра давлений для всех значений параметров р, и й,зе). 5 9. ТЕОРИЯ ХАРАКТЕРИСТИК 1. Введение Чтобы разъяснить понятие характеристик дифференциальных уравнений е частных производных в той мере, в которой это необходимо в теории течения сжимаемой жидкости, мы начнем сначала с исследования сравнительно простого случая установившегося потенциального течения в двух измерениях. Было показано (к. 7.5), что в этом случае потенциал Ф (х, у) должен удовлетворять дифференциальному уравнению второго порядка в частных производных деФ Здесь д„и д„— частные производныв от Ф по х и у, а а' — квадрат скоростй звука; а' также можно выразить через первые производные функции Ф, используя для этого в случае, например, политропического соотношения между р и 9 уравнение (7.17).
Поэтому уравнение (1) принадлежит общему классу уравнений вида деФ деФ де Ф (2) НВ Ге. е'е'. Общие теоремы где А, В, С иР являются функциями от Ф и ев первых производных, а, возможно, также от х н у "). Зададимся вопросом: какое значение имеет то обстоятельство, что Ф удовлетворяет уравнению типа (2)? Предположим, что значения Ф и дФ/дх заданы для всех точек некоторой прямой, параллельной оси у, скажем линии х = х . Тогда эти значения позволяют определить во всех точках линий х = х, всв производные по у от обеих из этих величин, в частности дФ/ду, деФ~дхду и деФ/дуо. Единственной производной второго порядка от Ф, которая не определяется этими значениями на х=х, является производная доФ/дхо, и эту производную можно вычислить из уравнения (2) в виде беФ 2В деФ О деФ Р дхе А дхди А дие А для всех точек, где А отлично от нуля.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
