Р. Мизес - Математическая теория течений сжимаемой жидкости (1161654), страница 18
Текст из файла (страница 18)
В новых переменных уравнение (19') переходит в уравнение ййт) т) 2 — (к — 1) т)й 2 — (к+1) т)й ' решение которого имеет вид 1 ~ к 1 й~йякй) (20) 1 ай 1 к — 1 Ый Чй т)й (21) В решении(20) прих>1 значению $=со соответствутот два значения т), а именно т) =0 и т) =[2!(х — 1))~~й, причем последнее значение при х=1,4 равно 3~5 . Из равенства (21) следует, что соответствутощие значения для М равны 0 и оо.
На рис. 29 сплошная кривая представляет т) как функцито $ (в уравнении (20) берется знак плюс) при к=1,4. Вта кривая имеет две горизонтальные асимптоты: т) =0 и т) = )/5 . Точку (з„т)й), соответствующую мвнимальйому аначению а, можно найти, дифферен- что можно проверить дифференцированием. Если любой из членов выражения (20) умножить на произвольный постоянный множитель, то результат по-прежнему будет удовлетворять уравнению (19"), но в этом нет необходимости, так как произвольный (положительный) множитель г уже вклточен в определение а.
Прежде чем исследовать этот результат, найдем соотношение между т) и местным числом Маха фа; из уравнения (17) следует, что у.в. огонеаноеивиеееея радиальное течение цируя $ как функцию т), что дает Когда значение т)г подставлено в формулу (21), то соответствующее значение числа Маха окааывается равным единице. Если это решение рассматривается для всех лучей внутри некоторого телесного угла, то получится следующий результат: в коническом расходящемся накале возмозесны два вида радиальных у= %- езе г Рис.
29. График зависимости бзаразмерной скорости Ч=д„/ае от безразмерного расстояния -$ в установившемся радиальном течении; для плоского точения $ = г/г„для пространственного течения $= '/гое лзеченпй: дозвуковое течение с нулевой скоростью в бесконечности и сверхзвуковое течение с бесконечным значением числа Маха на бесконечности.
Это утверждение было доказано для т) > О, что соответствует расходящемуся теченшо; если в решении (20) используется анак минус, то график будет аеркальным отражением рис. 29 относительно оси $, и то же самое утверждение будет справедливым для сходящегося течения при т) <О. Поток массы черен единичный телесный угол в этом конусе равен /,') =йд)в=а,гзйф)). Так как масса сохраняется, то величина ~) должна быть одинаковой для всех г и, следовательно, одинаковой для всех точек кривой э = э(т)); таким образом е',) можно вычислить для нижней ветви кривой, когда $ стремится к бесконечности, а т) — к нулю.
Иэ равенства (20) следует, что $т) — н1; предельное вначение о можно обозначить через о, и назвать плотностью покоящегося газа, так как оно соответствует 92 Гл. П. Общие»пеорелиа (23) т) = д=О. Тогда () = а,г,'от) = а,г,'1тш 9Ят) = а,р,гт. (22) ь-э»о Если величина ~ задана, то формула (22) определяет г. То обстоятельство, что течение не распространяется до с=О, не является неожиданным; зто имеет место даже в случае не- сжимаемой жидкости.
Пунктирная линия на рис. 29 изобрая<ает распределение скорости в случае несжимаемой жидкости для течения с теми же самыми величинами р„д, и с тем же расхо- дом (б'. Здесь 9 = д„так что д = р,дгт = й,а,г»вт). Сравнивая это выражение с выражением (22), получаем, что ета кривая имеет уравнение $т)=1.
Конечная левая точка определяется тем усло- вием, что р не может быть отрицательным. Уравнение Бернулли (2.20) для случая несжимаемой нтидкости при отсутствии силы тяжести имеет впд Ч~ Р Р» чт — + — = — ' илн Р=Р— Я вЂ”, 2 9» 9» »» 2 откуда можно заключить, что р обращается в нуль прп де= =- 2р,/9, и Ч'= »2т~а,' = 2р,(д,ат. Так как величина а,' связана с р, и о, равенством а,*=хр,/9,, то значение т)т в критической точке для течения несжимаемой жидкости равно 2/х, и на основании уравнения $т) = 1 мы получаем, что зт равно х,»2. Когда М уменьшается, кривая для течения сжимаемой жидкости стано- вится все больше и больше похожей на кривую для течения несжимаемой жидкости. Из формулы (22) следует, что д~т) = о»; зто равенство сов- местно с уравнением (20) дает ' Е = Е.
(1 — —, Ч') и, следовательно, поскольку р/9" = совет, (23') Уравнение (23) можно получить н другим путем, а именно можно вывести его из уравнения Бернулли, взятого в форме Я х Р х Р» —.+ — — = — —" 2 х — то х — т9»' н соотношения между р н о. Тогда основной результат (20) получится из условия нераарывности (22), причем не потребуется переход к потенциалу. Если изучается плоское радиальное течениетт), где т = т Чт = (вз+ у') ~т, то единственное отличие от рассмотренного случая будет заклточаться в том, что в уравнении (18) нужно опустить слагаемое дтФ/дат; тогда во втором члене уравнения (19) нужно зз 7.а. Неустановивваеесл нараллельное освоение опустить множитель 2. Однако если $ взять равным г/го, а не георг'„то получится то же самое дифференциальное уравнение (19").
Таким обрааом, все полученные нами результаты, включая графини, изображенные на рис. 29, остаются в силе при условии, что $ имеет другое истолкование. Так как дз — — де=О, то уравнение (14) сводится к следующему: дега Г Зхе - т две т, дев — ( 1 — — ") — — — — 2 — * — =О. дхв ( ав ) ав ды аедхдс (24) Как и ранее величина а' также выражается через производные Ф; если принято политропическое соотношение между р и 9, то уравнение (16) дает /дФ Чх'1 оа= — (х — 1) ( — + — ~ . (.
де 2 ) . Задача, описываемая уравнениями (24) и (25), будет подробно изучена в гл. 1П, но достаточно общий вид частного интеграла этих уравнений будет указан уже здесь. Предположим, что хе дю Ф(х, г)=.а — +бх+у, д,= д =ах+6, (26) где а, р и у зависят только от ц сможем лн мы тогда выбрать величины а„р и у так, чтобы удовлетворить уравнениям (24) и (25)? Если в уравнение (25) подставить выражения (26), то оа будет квадратичной формой переменной х, следовательно, деФ/дхе не содержит х. Таким образом, если уравнение (24) умножить на ае и подставить в него выражения (26), то левая часть полученного уравнения будет также квадратичной функцией х; дифференциальное уравнение будет удовлетворено, если коэффициенты при х', х и свободный член, являющийся функциями от г, тождественно обратятся в нуль.
Если зги коэффициенты приравнять нулю, то мы получаем а" +(х+3) аа'+(я+1) из=О, рл+(х+1) ау'+р [2а'+(к+1) ае] = О, у" + (х — 1) ау'.+ р ( —, а() + 2(3' ~ = О. (27) 4. Неустановившееся параллельное течение Если все частицы движутся параллельно оси х, то зквипотенциальные поверхности являются плоскостями, перпендикулярными атой оси. Таким образом, Ф зависит только от х и 7, в то время нак Гл. 11. Общие исесреи»е Это — три обыкновенных дифференциальных уравнения, которые можно последовательно решить для а, р и, наконец, для у.
Приведем два примера решений этой системы а. Решение 2 1 — — р = сопе6 = с, — — — '-с+с 6» — ">д"+'), х — 1 2 (28) 2 х х+1 с — — +с„ Г '-- У-' "— — — с ) — (х — 1)с с цх-с)ли+1>. х-)-1 С '/ х+1 х = с х+ С.(- АСгди» '), сн — 1 где А — некоторый параметр; это можно проверить дифференцированием. Вдоль каждой такой линии а' равно С г<и-с)ли+1), умноженному на постоянную, 'которая зависит от с, и А.
Но р=сопег йи, так что а»=Ар!Ый=сопэг йи с. Таким образом, вдоль каждой линии частицы д пропорционально 1-г)Си+с), а р пропорционально с-»исси+'>; коэффициенты пропорциональности снова эависят от с и А. б. Решение "с' = 5 — Зх се Сз-ги 3 — хн 2(х — 1) 1 а= —, с а'=(х — 2)сс — и[(х — 1)х+ссг- >. 8 — ссс-х (29) д = — +сс'-", х х — с Здесь ливии частиц дасотся уравнением х с — + — С) -х = сопэг = )с. с х — 1 (30) Некоторые из этих кривых иэображены на рис.
30 при с = — 0,3 и х=1,4. Из уравнений (29) и (30) находим, что'вдоль любой В частном случае, когда с,=О, с)„и а' являются функциями только х)с; это движение играет важную роль в теории неустановившегося одномерного течения (см. 2 13, «центрированные простые волны»). Включение члена с с, не окажет влияния на линии частиц (см. п.1.2), которые расположены в плоскости х, с, определясотся уравнением Ых/с«с=)1 и характеризуют историю каждой частицы; но распределение давления по этим линиям эависит от с, Для данного примера линии частиц ведаются уравнением т.5. Ъвстанавившеесп плоское двимсение лннвп частицы ах=с!с(сс — 1)(в — 2)11 — ", так что о пролорционально 1/1. При постоянном Г и переменном Й величина а* кратна Й, а о пропорционально Й ~1" 1. Следовательно, когда 1 постоянно, Их = в1вй согласно уравнению (30), так что после 7,5 г ЙО 05 Рис.
30. Линия частиц — + — с =совсс=й х с ив яри с= — О,З в и=1,4 дпя равноотстоящих значений Л и!п1 — 1) вычисления массы, занлючонной между двумя сечениями в данный момент, получаем хв л, д свх = сопвс ' ~ Й сей = сопев (Й3 Й1 х л, Линии частиц на рис. 30 вычерчены для равноотстоящих значений с(=/снд ", а именно с(=0, 2, 4, 6, 8. Следовательно, массы, заключенные между двумя соседними линиями, одинаковы. 5.
Установившееся плоское движение Так как значительная часть этой книги будет посвящена задачам установившегося плоского потенциального течения, то здесь мы ограничимся только предварительным его обсуждением. По предположению, д, = 0 и дФ/дг = сопел, так что уравнение (14) сводится к следующему уравнению: Гх. 11.
Общие теорельы При полптропнческом соотношении между р и 9 формула для а' опять принимает форму (17), где а', = (1 — к) дФ/д/ представляет собой квадрат скорости звука в покоящемся газе.' Часто удобнее пользоваться полярными координатами г и 9; тогда и раскладывается на радиальную компоненту д„и трансверсальную компоненту дз. Направив ось х вдоль радиуса, имеем в каждой точке этого радиуса дФ дФ дФ 1 дФ д'Ф дзх дуг ~дФ дхэ дх дг дгх 1дээ ЭЛ 1 дзф 1дФ г дз Р г'дУ гдг' дгФ дух дув 1 дгФ 1 дФ дгФ дух 1 дуг У1 дхду дх дг г дгдэ гх дэ дудх ду г дз г д~Ф дзэ дуз ду (32) илн через компоненты скорости дэг 1 ~Юв дг 1 ~ , дуг (дзв 1 дуг ) , 1 дтз ~ дг г де г а~ 1 " дг г ~ дг г дэ / г дз — "+ — — + —" = — „Д* —" + Ч 91 — + — —" + 91 — — ° (34) Последнее уравнение в действительности представляет собой запись в полярных координатах урдвнения а не уравнение (31).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
