Р. Мизес - Математическая теория течений сжимаемой жидкости (1161654), страница 15
Текст из файла (страница 15)
11. Обьцие теоремы поверхность, состоящую из части поверхности трубки между С, и С, любой поверхности в6, натянутой на С. Как и раньше, интеграл равен нулю на поверхности трубки, так что интеграл по Фз имеет то же самое значение, что и интеграл по рг, что дает Г = Г*). Эту общую величину циркуляции называют иктенсивностью вихревой трубки; она представляет собой скалярную величину, которую не следует смешивать с величиной вектора- вихря. В случае вихревой нити интенсивность 4Г задается как произведение длины вектора-вихря на нормальное поперечное сечение трубки '). Если вихревая трубка разделена на несколько трубок конечного поперечного сечения (или на бесконечное число вихревых нитей), то интенсивность всей трубки равна сумме (интегралу) отдельных интенсивностей.
Это следует из аддитивности циркуляции (или из равенства (6)]. Вихревая трубка не может яачинаться ияи кончаться внутри жидкости, по должна быть либо аамкпутой (как тор илк бублик), либо (при условии, что она не встречает границы) должна простираться бесконечно в каком-либо направлении. В противном случае был бы возможен непрерывный переход по поверхности трубки тока от кривых типа Сх к кривым типа С, а это несовместимо .с тем обстоятельством, что Г, = О, а Г = сопзз Ф О. 3. Теорема Кельвина До сих пор в атом параграфе обсуждались только чисто кинематические понятия: циркуляция и среднее вращение, а также связь между ними; все это применимо к случаю любой сплошной среды.
Теперь мы ограничимся случаем невязкой упругой жидкости, т. е. примем, что имеют силу основные уравнения, выведенные в $ 1 и 2. Частицы жидкости, образующие некоторый замкнутый контур в некоторый момент времени, будут снова образовывать замкнутый контур и в последующие моменты времени,так как в силу непрерывности частицы не могут разделиться. Сразу возникает вопрос: как меняетея циркуляция при таком переносе контура? На этот вопрос можно дать очень простой и убедительный ответ. На рис. 25 сплошной линией изображен некоторый контур С, а пунктиром — контур ра, состоящие нз од- С' образованный теми же самыми материннх н тех жсчастнп.
альнымичастицамичерез времяае. Цирку- с) Еслн в жидкости но существует поверхности, натянутой на контур С, то этот результат следует нз рассуждения, аналогичного рассуждению, проведенному в конце предыдущего пуанта. 6.8. Чеорема Кемьвина ляция по этим двум контурам задана равенствами Г-УЧ.й1 и Г =УЧ й1, (8) где интегралы вычисляются по контурам С н С' соответственно. Обозначим через Р положение произвольной частицы на контуре С, через «3 — положение частицы, отстоящей от нее на расстояние Ж, а через Р' и Д' — положения тех же частиц по истечении времени сМ. Тогда РР' = и йг ф',~' = (ц + фй( ) (И, где д/д1 обозначает производную по направлению касательной к С в точке Р.
Соответствующий элемент дуги Л' контура С' можно вычислить из векторного уравнения, РР'+ Р'~' = = Рч+ Д~', что дает йр= т=т~т- =й1+4й(йг, (9) а значение ц, соответствующее точке Р', задается равенством ч'=я+У и. (10) Тогда, используя формулы (8), (9) и (10) и опуская члены высшего порядка, находим Г' — Г = Х Г Ч эч й( йг+ лч й)йг+ лч. еч й( Ф)з1 щ = К-,',( — ';) +Ф'1 где интеграл должен быть вычислен по контуру С '). Формула (11) остается справедливой для любой сплошной среды. Для идеальной жидкости величину вектора ускорения й~/ог можно взять яз уравнения движения (1.1) — = я — — ягайр, лч см э где в обозначениях, указанных в п.21, я= — дйгайй.
Более того, для упругой жидкости можно испольэовать понятие пьезометрической высоты Р/д (см. п.2.5), что дает — ягай р = огай Р. 1 э Таким образом, выражение для Нц/йг принимает вид — „~ = — огай(уй+ Р) (12) Рл. И. Общие теоремы 78 — ~.е11= — стае) (дй -(- Р).Н1 = — — (уй+ Р) еЦ. Подставляя зто выражение в формулу (11), получаем (12) Величина, стоящая в квадратных скобках, является однозначной функцией координат и времени. И так как в заданный момент времени интеграл распространен по аамкиутому контуру С, то его значение равно нулю. Таким образом, уравнение (13) дает Г' — Г=О, или: в идеальной упругой жидкости циркуляцил по любому замкнутому контуру не меняется при перемещении частиц, составляющих этот контур.
Это — теорема Кельвика'). Теорема существенным образом зависит от того обстоятельства, что уравнение движения может бгвть выражено в форме (12), т. е. от того обстоятельства, что в идеальной упругой жидкости вектор ускорения лвляется градиентом или (так как вихрь градиента тождественно равен нулю) что 'вихрь ускорения равен нулю'о). Р в с. 26. Вихревые вити, состоящие из одних в тех жс частиц.
4. Теоремы Гельмгольца о вихрях Основываясь иа теореме Кельвина, легко вывести две теоремы о вихревом движении, которые были ранее доказаны Гельмгольцем (Гельмгольц доказывал зти теоремы иначе; см. п.б). Рассмотрим вихревую трубку сЯд с бескоиечио малым поперечяым сечением (рис. 26). ЧастиС цы Ю по истечении времени Ю все еще образуют трубку Ю ', так как пе может происходить разрыва частиц; прежде всего ее яам желательно выяснить, будет ли оеУ по-прежиему вихре- вой трубкой. В п.2 мы нашли, С г что циркуляция по любому коятуру Сы лея<ащему иа боковой поверхйости вихревой трубки, яо ие охватывающему ее,доля<- па обращаться в нуль.
Из теоремы Кельвииа следует, что циркуляция по контуру С„который получается из контура С, должна также обращаться в нуль. Кроме того, контур С,' лежит яа поверхности Я.". Для бесконечно малого контура С,' циркуляция, согласно теореме Стокса, равна произведению площади, заключекиой внутри контура, иа компояеиту вектора-вихря„иормальпую В.В. Теоремы Гельвегольца о вихрях этой площадке. Так как это произведение равно нулю, вектор-вихрь доджен касаться элемента поверхности, натянутой на С,', и контур должен лежать на боковой поверхности некоторой вихревой трубки. Это верно для любого бесконечно. малого контура С, на уу п соответствующего контура С, на дуо", так что дВ" также является вихревой трубкой бесконечно малого поперечного сечениямш). Таким обРазом, мы пРиходим к следУющемУ УтвеРжденню: частицы, образующие вихревую линию в некоторый момент времени, движутся таким образом, что они образуют вихревую линию в любой момент времени.
Более краткое выражение для этой первой теоремы о вихрях таково: вихревые линии являются жидкими (та1епа1) линиями в том смысле, что они всегда состоят вв тех же самых частиц или материальных точек. Каждая вихревая трубка имеет определенную интенсивность, равную циркуляции по любому контуру, охватывающему трубку, такому, как контур Сз, изображенный на рис. 26. Согласно теореме Кельвина, циркуляция имеет ту же самую величину .по соответствующему контуру С, на еУо', так что интенсивность вихревой трубки Ю' такова же, что и интенсивность трубки р~'.
Итак, мы можем сформулировать вторую теорему Гельмгольца: интенсивность вихревой трубки нв изменяется при перемещении, образующих вв частиц *). В п.2 было показано, что вихревые трубки не могут кон-. чаться внутри жидкости, а должны либо встречать границу, либо простираться в бесконечность, либо быть замкнутыми, Трубки последнего типа можно наблюдать в воздухе в виде колец ') Изложенные вопросы являются частью общей проблемы сохранения вихревых линий и интенсивности вихревых трубок. Эта проблема может быть сформулирована в чисто вивематвческом аспекте.
Пустя в жидкости, течение которой описывается векторным полем Ч, определено векторное поле а. Спрашивается, в паком соотношении должны находиться векторвыо поля ц и а, чтобы векторные линии полн а состояли вз одних и тех же частиц и чтобы интенсивность векторяых трубок поля а оставалась пеизмепвой. В таком общем виде ета проблема впервые была поставяева со.
еетсвим ученым А, А. Фридмавом (см. Фридман А. А., Опыт гидро. механики сжимаемой жидкости, 1934) и решена им до ковца. Фридман доказал, что необходимым и достаточным условием для того, чтобы поле а обладало указанным свойством, является вьшолвепие равенства аа — +а д(ч Ч вЂ” (а.Ч) е)=0. ае Если теперь поле а представлает собой поле вектора-вихря, то, привлекая уРавнения гидродпяамикв, можно получить ряд условий, при которых имеет место сохранение вихревых линий и иитепсиввости вихревых трубок.
Рассмотренный Мизесом случай течевяя упругой жидкости. в поле тяжести является частным случаем, когда етя условия выполвевы. (См. по етому "оводУ Кочин Н. Е., Кибель И. А. и Розе Нь В., Теоуетическао овдромехаяява, т. 1, М.— Л., 1948, стр. 152 — 157.) — Прим. род. Гл. уу. Обя~ие теоремы дыма, которые получаются, если придать вращательное движение частицам дыма. В действительности кольца дыма не могут сохраняться бесконечно долго, что находится в явном противоречии с теоремами о вихрях.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
