Р. Мизес - Математическая теория течений сжимаемой жидкости (1161654), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Переход в пространство годографа аа) Ц установившемся течении любого типа в каждой точке Р задан определенный вектор скорости е1, не зависящий от г. Если зти векторы отложены от неподвижной точки 0', так что е1= 0'Р', то каждой точке Р в данном потоке будет соответствовать некоторая точка Р' (см. рис. 37). Тогда, например, всем точкам одной линии тока будет соответствовать кривая, образованная соответствуаощими точкани Р'. Это соответствие, или оепображение, называется преобрагоеанием годографа. Мы будем также Рис. 37. Фпзичвскап плоскость и плоскость голографа.
Линии тока .М в Виеатеской плоскости и линия .~' в плоскости тоиотраеа. Звуковая окружность и окружность максимальной скорости. говорить о проетранстпее годографа, в котором лежат точки Р', в отличие от физического пространства, в котором происходит течение. Заметим, что каждой точке Р соответствует строго одна точка Р', хотя обратное утверждение было бы неверно: одной точке Р' может соответствовать несколько точек Р физического пространства (точек с одинаковым значением вектора е1). Если линия тока Ж в физическом пространстве отображается на кривую Я' в пространстве годографа, то касательная к Х' в точке Р имеет направление мгновенной скорости изменения е1, т.
е. направление вектора ускорения. Но при отсутствии сил тяжести и вязкости вектор ускорения имеет (см. уравнение (1.1)] направление — ягае) р; таким образом, игобара (поверхность посто- явного значения р), проходящая через любую точку Р физического пространства, пероендикулярна касательной к Я' в точке Р'.
Результаты, изложенные в п. 1, показывают, что в случае установившегося безвихревого течения все точки Р' лежат либо на сфере с центром в 0' и радиусом д (максимальная скорость), либо внутри нее; все физическое пространство отображается юв Гл. 11. Озоне теорсем в пространстве годографа в область, заключенную внутри этой сферы и включающую ее поверхность. Для исключительных соотношений между р и о эта сфера может быть бесконечной. Все точки, где скорость равна нулго (д = 0 и М = 0), отображаются в центр 0'. Точки, для которых д = в и, следовательно (в неисключительных случаях), М = со, соответствуют точкам на границе сферы, а звуковые точки фиэического пространства (точки, в которых М= 1) отображаются на звуковую сферу с центром О' и радиусом д,. Доэвуковая область течения отображается в область внутри звуковой сферы, а сверхэвуковая область— в сферический слой, заключенный между сферическими поверхностями о= а, и а= а Преобразование годографа особенно широко используется при научении плоского движения.
В этом случае все точки Р, как и все точки Р', лежат в одной плоскости, и мы говорим о физической плоскости и о плоскости годографа. Сферы теперь заменяются коицентричесвими окружностями С, и С с центром 0' и радиусами д, и д соответственно (рис. 37); дозвуковая часть течения отображается в область внутри звуковой окруоюности С„сверхэвуковая часть — в кольцевую область между окружностью С, и окружностью максилгальной скорости С точки, в которых скорость равна нулю, отображаются в 0', эвуковые точки — в точки на окружности С„а точки, где д = д в точки на окружности С Каждой точке'Р' внутри С соответствует эначение давления р, определяемое расстоянием 0'Р' = а и уравнением (2). Если эти значения р отмечены как точки () над плоскостью годографа, расстояние которых по перпендикуляру от атой плоскости равно Р'Я = р, то точки ф, соответствующие данной линии тока, лежат на колоколообраэной поверхности вращения, полученной вращением одной иэ кривых, изображенных на рис.
36, вокруг оси р. В случае беэвихревого течения упругой жидкости для всех линий тока получается одна и та же поверхность. Изображение этой поверхности, котору|о иногда называют бугром давлений, дано на рис. 38. Каждое положение образующей кривой называется меридианом поверхности вращения, траектория каждой точки образующей кривой является параллелью.
Поверхность делится на верхнюю и нижнюю части круговой параллелью, проекция которой на плоскость годографа совпадает' с С,; верхняя часть напоминает эллипсоид вращения в окрестности одной иэ вершин, а нижняя часть имеет внд однополостного гиперболоида (вращения). Если использовать терминологию, принятую в дифференциальной геометрии*), то можно скаэать, что верхняя часть *) Читатель, незнакомый с эаементэмн дифференциальной 'геометрии, может опчстнть конец этого нуннте.
992 В.2. Переход е ври«трон«та« еодоерафа бугра давлений состоит иэ эллиптических точек, а точки, лежащие ниже критической окружности, являются гиперболическими. Это значит, что если поверхность пересекается плоскостью, параллельной касательной плоскости в точке е,е и достаточно блиэкой к ней, то кривая пересечения аппроксимируется в первом случае эллипсом, а во втором — гиперболой. Оси этого конического сечения (которое называется индикатрисой Дюпена) параллельны «главным направлениям» на поверхности в точке ф в случае Ь Аоиенптотиееоние линии 9у Р в с.
33. Сверхавуковав и дозвуковав об- ласти на бугре давлений. — Р = Ьд (90'+ 9) = — сааб 9, ит (7) поверхности вращения эти направления совпадают с касательной к меридиану, проходящему через е",е, и с касательной к параллели. Если взять осн координат х и р параллельно этим направлениям, то уравйение индикатрисы имеет вид хе Эе — + — = сопэб. (б) Ле В, Здесь !Х,( и (Х,( — радиусы кривиэны двух плоских кривых, которые являются нормальными сечениями поверхности в двух главных направлениях в точке ее. Знаки Х, и Х» будут одинаковыми, если оба центра кривизны лежат по одну сторону от касательной плоскости, и противоположными в обратном случае.
Для поверхности вращения одно иэ главных сечений является меридиональвым сечением, проходящим череэ Ч. Таким образом, (Х, ~ есть радиус кривизны в точке ~ образующей кривой, которая определяется уравнением (2). Используя формулу (5) и равен- ство ио Ге. 11. Общие теоремы где 0 — угол между нормалью к кривой р = р(д) и осью т, получаем при помощи формулы для радиуса кривизны, что б'рдеее , =йзеп'Е(Мз-ц (8) К, (1+(брДЕд)е)юе и что центр кривизны находится в точке К, (рисе 39). Вторым главным сечением является нормальное сечение, проходящее Р ,Р у' Р н с.
39. Главные центры привязны Ке в Ке для гиперболической точки. Проекция асныптотнческого направления на бугре даз- леннн. через касательную к параллели. Из теоремы Манье (которая доказывается в элементарной дифференциальной геометрии), примененной к данному случаю, следует, что центр кривизны К, этого сечения лежит на оси вращения. Следовательно, (9) В.2. Переход в пространство еодоервотв 11Х так как 0 — угол между горизонтальной плоскостью параллели и нормальным сечением, а о — радиус (кривизны) параллели. ДлЯ точек 1",в на нижней части'бУгРа Давлений В .и Вх имеютпротнвоположные знаки, как на рис.
39,а; следовательно, угол 0 острый и Ме ) 1. Таким образом, при подстановке значений (8) и (9) в уравнение (6) последнее принимает следующий вид: хзр Мпв 0 (М* — 1) — —" соз 0 = сопз1. (6'~ Я угол р между осью х и асимптотами гиперболы (6') определяется равенством 18е ~ = ~ 9 з1пв 0 (Ме — 1). сов 0 Если оси и асвмптоты кривой (6'), лежащие в касательном плоскости в точке вв, проектируются на горизонтальнуво плоскость (рис.
39, б), то проекцией вв будет Р', проекцией оси х (первого главного направления) — радиальное направление О'Р', а оси у в (пунктирная) нормаль к О'Р' в точке Р'. Проекции асимптот составляют с О'Р' угол ~)', причем Из уравнений (4) и (7) следует, что 00 = с18 0, и поэтому 1ое р' = Мз — 1. Но синус угла Маха а (см.
п. 5 2) равен 1/М, так что 1ое р' = Мз — 1 = с18л а, ()' = 90' — а. (10) На поверхности, состоящей иа гиперболических точек, линии, которые в каждой точке имеют направление асимптоты индикатрисы, называвотся асимптотическими линиями поверхности; эти линии изображены на рис. 38.
Таким образом, уравнение (10) показывает, что асимптотические линии на бугре давлений проектируются на плоскость годографа в виде линий, которые составляют угол л-(90' — а) с направлением вектора «1. Ниже будет показано (п. 16.6), что для любого установившегося плоского безвихревого течения преобразование годографа отображает линии Маха (п. 5.4) в физической плоскости на кривые в плоскости годографа, которые пересекаются с лучами, проходящими через точку О', под углами 1- (90' — а). Итак, результат, выраженный уравнением (10), можно сформулировать следувощим образом: в установившемся плоском беввихревом баротропном течении линии Маха отображаются в плоскости еодо- Гл. ее. Общие еееореми графа на кривые, которые являютсл проекциями аеимптотичееких линий на бугре давлений.
Этот ревультат был впервые получен Л. Прандтлем и А. Бувеманом"). При заданном аначении х [мы обычно будем брать х= у, где у — показатель адиабаты (см. п. 1.5)] уравнение (И) зависит от одного параметра — величины входящей в него постоянной. В и. 1 покаеано, что при заданном соотношении между р и о функция р от о зависит от значения параметра р,. Повтому функция р от о содержит два независимых параметра: р, и й,. В действительности окааывается, что в случае, когда соотношение между р и о дано в виде (И), и только 'в этом случае, данные параметры появляются лишь как масштабные многюители, т. е. в безразмерных комбинациях р/р, и руд, (вместо р и д) в зависимости от числа Маха М (вместо д). Поэтому для каждой переменной необходимо вычислить единственную функцию.
Выполняя интегрирование в уравнении (2) или польауясь для Р значением (2.22в) при рв — — р„находим (12) С другой стороны, дифференцирование уравнения (И) дает др р р / р ~(и — М/и — = а' = х — * ди-' = х — * 1 — ) ай Ои Ое Ре (1З) Разделив равенство (12) на равенство (13), получаем (14) или, разрешая это уравнение относительно р/р„, находим —,=( — в М +1) (15) Из уравнений (И) и (15) получаем следующее уравнение: с =( — ') = (:,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
