Р. Мизес - Математическая теория течений сжимаемой жидкости (1161654), страница 24
Текст из файла (страница 24)
По той же самой причине (п — 1))е компонент градиентов, параллельные Е, не являются произвольными, так как онн линейно зависимы. Если векторы А„параллельны некоторой плоскости Е, то Л (нормаль к Е) удовлетворяет условиям Л А,=О, Л А,=О, ..., Л Ад=О. (9) Коли вместо А„подставить их выражения (8), то уравнения (9) дадут нам де линейных уравнений, которым должны удовлетворять )е множителей а„а именно 9.2. Общая ямороя 123 когда 3'ап Л а1е ... Л аы Л ам Л.аж ° ° ° Л аы (10) Л аят Л а„е ...
Л. а„„ У авнение (10) является, таким образом, д Р остаточным условием того, что вектор Л направлен по нормали к исключительной плоскости; если провести доказательство в обратном порядке, то легко установить, что уравнение (10) является также и необходи.аым условием, накладываемым на Л. Для того чтобы записать определитель (10) в развернутом виде, нужно просто преобразовать исходные й уравнений (6) таким образом, чтобы члены, содержащие и„ стояли в первом столбце, члены, содержащие и, — во втором и т. д.
и заменить каждую производную по х, через Л„каждую производную по хе через Ле и т. д. Если воспользоваться так называемыми условными обозначениями для суммирования *) и записать уравнение (6) в виде й а,яа Л„'б = 0 еаписга ~ оооо» =ах)Ля' е) Вводится следующая сокращеяяая ч~~ ~У, а бе =а;мб;„, и т. л.— про4~. Род. |о 4 ди а„щ, — — — Ь„, дх, (6') то определитель уравнения (10) запишется так: То, что условие (10) необходимо, можно также показать следующим образом. Мы покажем, что если Л не удовлетворяет уравнению (10), то Л не может быть нормалью к исключительной плоскости.
Итак, предположим, что вектор Л таков, что определитель (10) не равен нулю и что Л имеет длину 1. Возьмем осьх, параллельно Л, тогда Л имеет компоненты (1, О, О, ..., 0) и элементы определителя (10) являются компонентами й' векторов а„„по оси х,. Если компоненты й градиентов заданы в плоскости, нормальной Л, то в уравнениях (6) неизвестными являются компоненты этих градиентов по оси х„т. е.
ди /дхю дие/дхю ..., ди„/дх,. Тогда уравнения (6) образуют систему й линейных уравнений для определения й неизвестных да~/дх„детерминант которой состоит из компонент векторов а,„по оси х, и, по предположению, не равен нулю..Таким образом, будет возможно вычислить неизвестные компоненты по заданным, что означает, как мы помним, что плоскость, нормальная к Л, не является исключительной. 124 Гл. ГГ. Общие»»еереее»е Если уравнение (10) выражено через компоненты Х, то получается однородное алгебраическое уравнение степени й относительно этих компонент с коэффициентами, зависящими от коэффициентов данных уравнений в точке Р.
Таким образом, концы векторов Х, удовлетворяющих уравнению (10), в п-мерном пространстве лежат на «конусе» порядка й с вершиной в Р. Этот конус не обязательно будет действительным, он может вырождаться, но в общем случае уравнение (10) определяет конус направлений в точке Р. Каждая плоскость, проходящая через Р и нормальная к Х, является исключительной плоскостью, и каждая (действительная) поверхность, касающаяся такой плоскости в каждой нз своих точек, является характеристической поверхностью согласно определению, данному в конце п.1 »').
3. Условия совместности Мы еще не совсем закончили изложение общей теории. Уравнение (10) определяет исключительные направления Х*. Когда такое направление Х= Х* найдсно, мы должны еще определить упоминавшиеся ранее комбинации (7') исходных уравнений, где а,' таковы, что все А„* параллельны одной и той же искл»очительной «плоскости» Е*, которая перпендикулярна Х*. Другими словами, как только Х* с компонентами Х,*, Х,*, ..., Л„* найдено как решение уравнения (10), порождающее вышеупомянутый конус, мы можем подставить этн Л,", Л;,..., Хе в уравнение (9') и определить соответствующую сйстему множителей а,",а,*,...
...,а», векторы А,", А;,...,А»е, определяемые уравнениями (8) и образованные при помощи этих множителей а,*, будут тогда параллельны исключительной плоскости Ее; подстановка этих векторов А„* в равенства (7') дает нужную комбинацию » » ч~" „А„* ягаб и„= ~ч~ ~а,'Ь„= В'". н 1 е=1 (и) В.левой части равенства (11) дифференцирование производится только в направлениях Ае, т. е. параллельно Ее и перпендикулярно Х*.
Мы назовем уравнение (11) условием сов»«естности. Это наименование оправдано тем, что уравнение (11) ограничивает произвольность производных и„ «вдоль Е*», нли параллельно Е*. В частном случае п = 2 искл«очительная плоскость Е является просто линией характеристического направления (так как и†1 = 1), и дифференцирование вдоль Е становится хорошо известным дифференцированием по направлению. Одному Х* может соответствовать более одного условия совместности, т. е. более одной комбинации из первоначальных уравнений, не содержащих дифференцирования в направлении Х* (см. п.б).
УА. Переьье ирижерьь 125 4. Первые примеры Предположим, что функция Ф(х,у) удовлетворяет дифференциальному уравнению второго порядка вида (2), где А, В, С и Р зависят от х, у, дФ/дх, дФ/ду, но не зависят явно от Ф. Для того чтобы эту задачу привести к системе (6), возьмем в качестве неизвестных первые производные Ф: дФ дф — =и, — =и. дх ь' ду Тогда уравнение (2) и условие того, что ид и и являются производными от одной и той же функции, можно записать как*) дх ь, оу дх,г ду а , аи, — — =О. ду дх (12) Здесь й=п=2.
Когда эта система приводится к виду (6), вво *) Если коэффициенты А, В, С и Р зависит также от Ф, то н уравненинм (12) добавляетсн третье уравнение дФ/да=и„тан чтобы получилась система тРех нвааилвнеиных УРавнений Илн иь, и, и Ф. ХаРантеРистинв по-преиьнему аадааисн уравнениями (13). Таким образом, можно утверждать, что каково бы ни было )ье, исходнуьо систему из /е уравнений можно заменить линейными комбинациями этих уравнений, которые разделяются на две части; одна часть, состоящая иа г уравнений [/с — г— ранг матрицы коэффициентов уравнений (9') для )ь = )ье], которые содержат производные от н„только по направлениям, перпендикулярным к ) е. Эти уравнения являются условиями совместности.
Каждое из дополнительных (й — г) уравнений, составляющих другую часть, включает по крайней мере одну производную от неизвестного в направлении )ье аь). Этими сравнительно краткими указаниями можно уже ограничиться. Они станут более конкретными в следующих пунктах, когда мы будем рассматривать различные примеры и, в частности, общий случай движения жидкости, в котором п=4, /с=5 (см. п.6). В $10 будет подробно разобран случай п=й=2, и мы увидим, что даже в этом случае общее и детальное изучение условий совместности (п.10.2) окажется не очень простым.
В гл. 1П, 1У и ьг мы будем иметь дело с задачами неустановившегося параллельного течения и установившегося плоского течения соответственно. В обоих случаях основные уравнения представляют сравнительно простые случаи уравнений (10.1). Что касается условий совместности, то основное упрощение состоит в том, что правые части основных уравнений равны пульс. 1гя Гл. 11. Оба»ие теоремы дятся четыре вектора асп такие, что а„: (А, В), а„: (В, С), а,д. (О, 1), а„: ( — 1, 0).
Таким образом, условие (10) для определения Л принимает вид ' = — [АХ,'+ 2ВХ,Л» СЛ»»] = О. ([3) АЛ +ВЛ Л» — Х, В этом двумерном случае «конус» направлений в Р состоит:из двух направлений Х в плоскости х, у с компонентами, удовлетворяющими уравнению (13); «исключительные плоскости» являются прямыми линиями, нормальными к Х, и в плоскости х, у «элементами поверхностен», нормальными к этим направлениям Л, являются элементы дуги. Итак, отношение Л /Л„найденное из уравнения (13), определяет наклоны двух направлений Л; поэтому наклоны этих двух характеристических направлений задаются равенством — — '= — [В ~ ]/В» — АС].
Л» А Для частного случая установившегося потенциального тече- ния, описываемого уравнением (1), коэффициенты А, В и С можно Задать явно. Выбирая ось х параллельно ц в точке Р, получаем А=1 — М', В=О, С=1; тогда Л» — — =~1йа, где а — угол Маха. Таким образом, если М(1, то не сущест- вует действительных характеристических направлений; для Ы > 1 характеристические направления совпадают с направле- ниями Маха в точке Р, так что характеристические линии ояа- яыеаютсл линиями Маха.
Более того, так как уравнение (13) не имеет других решений, то в случае установившегося плоского потенциального течения линии Маха являются единственными характеристическими линиями; это имеет место и в более общем случае, соответствующем уравнению (7.43). Рассмотрим теперь условия совместности, соответствующие уравнению (12). Обозначим через ф угол, который характери- стическое направление составляет с осью х. Тогда уравнение (13) показывает, что существуют два значения ф, которые мы обозначим через ф" и ф .
При Х,= — я!пф, Х,=соя ф уравне- ние (13) дает А яш» ф — 2В я(п ф соя ф+ С соя» ф = О, или 2 — А 1я ф — — = О. Фаф Обозначим через д(до дифференцирование вдоль характеристики. 9.А Первые иримвры 'уогда, умножая первое уравнение (12) на соз ф, а второе на Аз1п ф — В сов ф (здесь зти множители играют роль произвольных множителей а,), складывая результаты и используя предыдущее соотношение, получаем А — '+ С с 1й ф — "' = Р соз ф; дс да (14) зто и есть искомое условие совместности.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
