Р. Мизес - Математическая теория течений сжимаемой жидкости (1161654), страница 27
Текст из файла (страница 27)
137 70.2. Условие совместности ческую или гиперболическую в данной точке только в связи с частным решением и, и этой системы. Здесь характеристики будут различны для различных решений и, о и должны последовательно определяться вместе с самими решениями, которые аависят от граничных условий. Существенную пользу из характеристик можно извлечь только в гиперболической области и на ее границе, которая является параболической областью. В качестве простого примера рассмотрим случай малых возмущений и покоящейся жидкости, который был изучен в п.4.2. Уравнения (4.5) соответствуют уравнениям (1), если д и 9 заменяют и и о, а х и у подставлены вместо х и 1; в таких обоаначениях эти уравнения имеют внд 62 ди до Эи в до (3) Здесь все коэффициенты постоянны: а = йо, ав = 1, Ь = йо, Ьв=а,', а,=ао — — Ь,= Ьв=О.
Уравнение (2') поэтому пишется так: — й соз' Р+ Оса,'зш' Р = О, 1Я Р = -1-— оо Дифференциальные уравнения Иу 1 ах а /у ах ао удовлетворяются при у=х/а,+сопеЬ и у= — х/а,+совз1 соответственно, так что характеристики состоят из двух семейств параллельных прямых, пересекающих ось х под углами агс сьяао и агс с1И ( — ао). Однако если одновременное течение не рассматривается как малое возмущение, т. е.
если членами высшего порядка не пренебрегают, то в уравнении (3) постоянную нужно заменить на о= о и добавить другие члены. Тогда левая часть уравнения (3) будет нелинейной и характеристики будут изменяться в зависимости от граничных условий, которым подчинено течение. 2. Условия совместности Из рассуждений, проведенных в п.9.3, следует,' что для каждой характеристики существует соответствующая линейная комбинация (9.11) левых частей системы (1), включающая только компоненты агади и агапэ, параллельные этой характеристике, т. е.
величины ди/да и до/до, если д/до означает дифференцирование в этом характеристическом направлении. Уравнение, выведенное таким образом и свяаывающее изменения и и и вдоль характеристики, мы назвали условием совместности. В настоящем случае, когда л=й=2, условие совместности можно вывести непосредственно и обсудить более подробно. Прежде 138 Гл. 1!. Общие теараии всего введем сокращенные обозначения А, А„В, к Вз для четырех элементов определителя, входящего в уравнение (2'), так что уравнение (2') принимает вид А,В,— А,В,=О. Используя затем соотношение (2') между Ья ф и ез„, непосредственным вычислением можно показать, что выполняются.
следующие тождества: азВд — Ь,А, азВ,— Ь,А, = ез ссз ф 81п ф (4а) азВз — ЬеАз аеВз — ЬеАз (46) соз ф з1а ф азВз — ЬзАз ае„— ЬеАе со з1е = еаза+ езгз 19 ф = еззе+ езезсси ф =К, (4в) ' ' — й + Лз Ьй ф = йзз+ 1~зессй ф = 1" (4г) Равенства (4в) и (4г) служат также определениями .К и а,. Если первое и второе из уравнений ($) умножить соответственно на Вз и Аз (или В, и А,) и вычесть, а затем принять зо внимание тождества (4), то в результате получатся уравнения езм д +К да В,а — А,Ь, ди дз где для К и е.
можно взять любое из выражений (4в) и (4г)ез). В общем случае в качестве условия совместности можно использовать любое из четырех возможных сочетаний, так как они эквивалентны. В отдельных частных случаях, однако, некоторые нз этих сочетаний могут оказаться непригодными. Например, если в уравнениях (1) все коэффициенты, за исключением а,и Ье, равны нулю, то единственным значением' Л, отличным от нуля, будет ез,е=а,бе, и из уравнения (2') следует, что характеристическими направлениями являются ф =О' и ф =90'.
При ф = О' вторые выражения для К и е становятся неопределенными (О сс). Если взять первые выражения для К и з„то первое уравнение (5) состоит только из нулевых членов, но второе дает езге ди~дп=Вза= Ьеа или а,диоде=а, что тождественно с первым уравнением (4). Следовательно, в этом случае условием совместности будет одно из данных уравнений. Во всех случаях, когда уравнение (2') имеет два различных действительных решения, по крайней мере одна из четырех возможных форм уравнений (5) дает условие совместности. Мы можем сейчас возвратиться к условиям совместности, описанным в п.9.4 для уравнений частного вида, и завершить исследование, следуя настоящей теории.
10.3. Доо оаоннно 'теоремы 3. Две важные теоремы Теперь мы в состоянии сформулировать для гиперболического случая две основные теоремы о существовании и единственности решений системы ($), удовлетворяющих определенным граничным (или начальным) условиям. Действительные характеристики, которые сначала появились как кривые, через которые решение нельзя продолжить при помощи системы ($), могут быть использованы как кривые, вдоль которых решение может быть продолжено при помощи условий совместности (5); С ! / / / / 1 о.
О 3 а В" В' Р и с. 45. Схема решения задачи Коши. Теорема А. Пусть значения 'и и о заданы на кривой АВ з плоскости х,у (см. рис. 45, а), причем ни в одной точке касательная к АВ не совпадает ни с одним из двух характеристических направлений, определяемых значениями х, у, и и о (задача Коши). Тогда решение, принимающее вти заданные значения в точках кривой АВ, существует в окрестности ' АВ, которая состоит из области, легоеащей по обе стороны от АВ и ограниченной (частично) четырьмя кривыми АС„АВ,, ВСо и ВВ, которые являются характеристиками для етого решения.
Там, где решение существует, т. е. самое большее внутри четырехугольника АСВВ, составленного из характеристик (рис. 45,а), оно единственным образом определяется заданными на АВ значениями. В линейном случае (см. п.4) существование (н единственность) решения может быть доказано во всем характеристическом четырехугольнике АСВВ, границы которого, как известно, не висят от заданных значений и и со').
тобы уяснить смысл этой теоремы, рассмотрим на кривой АВ две точки Р, и Р„находящиеся на бесконечно малом расстоянии одна от другой. Так как в каждой точке кривой АВ существуют два различных характеристических направления а' и а, яе совпадающих с направлением касательной к АВ, то отсгода ь40 Гз. 11. Общие тееремее следует, что прямая линия, проходящая через Р, в направлении о, и прямая линия, проходящая через Р, в направлении о', пересокаются в точке Р', отстоящей от АВ на расстояние того же порядка малости, что и величина отрезка Р,Р,. Сейчас будет показано, что при помощи условия совместности (5) можно вычислить значения и' и о', которые переменные и и о принимают в точке Р'").
Пренебрегая членами высшего порядка, можно в уравнение (5) вместо производной ди/до подставить частное (и' — и,)/(Р,Р'), когда рассматривается переход от Р, к Р', и частное (и' — и,)/(Р,Р'), когда переходят от Р, к Р', и произвести аналогичную замену для до/до. Если взять первую форму уравнения (5), где в качестве К берется третий член в равенстве (4в), то для и' н о' получаются два линейных соотношения еез (и' — и )+(Лез+ А 6й ф ) (о' — о ) =(В а — А Ь) (Р,Р'), йы (и из) + (йзз+ ееззз ~б ф ) (о' — оз) = (Вза — АеЬ) (РеР'), (5') причем соответствующий определитель равен Лззез,з (1й ф' — 4д ф ).
Здесь все коэффициенты должны быть вычислены в одной и той же точке, например в точке Р,. Без ограничения общности можно предположить, что оба значения ф в точке Р, отличны от О' до 90'. Тогда, согласно уравнению (2'), Л1з и езз1 не равны нулю и множитель зйф' — Вдф в выражении для определителя имеет конечное значение. Таким образом, в этом случае Ь, Ф О и система (5') может быть разрешена относительно и' и о'. Те же самые рассуждения остаются справедливыми в том случае, когда Лзе Ф О и когда взята вторая форма уравнения совмест-' ности (5). Наконец, если Л„ = Лзе = О, то из уравнения (2') видно, что одно иэ значений Вд ф, скажем 1д ф', равно а,/а, = = Ь,/Ь„ а другое равно а,/аз = Ь,/Ьз. Тогда, используя один раз первую форму, а второй раз вторую форму уравнения (5), получаем уравнения (и' — и,)е = (В,а — А,Ь)(Р,Р'), (о' — о,)К = (В,а — А,Ь)(РзР'), где К = Ьзз (ай ф--'1й ф'), Л = Ьзе(ссд ф' — сСй ф ), которые можно также разрешить относительно и' и о'.
Если разбить дугу АВ последовательностью точек ЄЄ... (см. рис 45, б) на и малых отрезков, то только что описанным способом можно найти для каждой пары точек Р,, Р;„новую точку Р( и значения и и о в этой точке. Зти точки можно объединить и получить новую кривую А'В', где АА' (ВВ') имеет направление одной из характеристик, проходящих через А (В). 10.3. Две важные теоремы Начиная ту же процедуру от кривой А'В' и используя значения и и о, вычисленные в точках Р' этой кривой, можно получить новую кривую А"В" и т.
д. Процесс прекращается автоматически, когда достигается точка, где характеристическое направление совпадает с направлением соответствующей кривой. Если все рассматриваемые функции и их производные непрерывны, то это может произойти только на коночном расстоянии от АВ, а до этого может быть построена сетка кривых, состоящая из характеристик и диагональных кривых, таких, как А'В', А"В", ... и определены значения и.и о в кажной узловой точке этой сетки. При и — + со все-расстояния Р,Р„, стремятся к нулю, а и и о в некоторой окрестности кривой АВ (того типа, который задан условием теоремы) стремятся к решениям данной системы (1), удовлетворяющим заданным граничным условиям на АВ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
