Р. Мизес - Математическая теория течений сжимаемой жидкости (1161654), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Геоеаетричееиип иптерпре»аацип Каждая из систем коэффициентов а или () определяет другую систему по формулам (21). Таким образом, аффиикое преобразоваиие задается четырьмя независимыми параметрами. Система (1) двух квазилииейпых дифференциальных ура виевпй, которая теперь может быть записана в виде и,а,а+ аз«12+ азеем+ «4«22 бгам + (аз«12+ (аз«21 + (ае«22 = аа (28) «11 дха+ «12 е(уа = 41и„«21 еаха + «22 е(уа = за«а. (29) Уравнения (28) и (29), рассматриваемые совместно, образуют систему из четырех линейных уравнений для определеиия четырех параметров а. Нужно установить, определяет ли данная система эти параметры.
Единственное решепие будет получено тогда и только тогда, когда определитель из коэффициентов отличен от нуля. Обозначая через р угол между осью х и РР„будем «меть заха= 41гсоз р, еауа= 41221п р. Тогда определитель нз коэффициеитов системы (28) и (29), а именно 111 112 112 114 Ьа Ь, Ьз Ь, езха езу, О О О О е(ха 41 уз с точностью до множителя — (айаг)2 равен правой части ураввевия (2') при коэффициентах аз п Ь1, вычисленных для заданных значений координат точен Р(х, у) и Д(и, о). служит для того, чтобы снизить число иезаввсимых параметров а до двух, т.
е. зти дифференциальные уравнения выделяют подмножество ооз преобразований из множества озе возможных преобразований. Уравнений (28) поэтому недостаточно для, того, чтобы полностью определить отображение окрестности точка Р в окрестность точки 4,4. (Не так обстоит дело в случае одиомериой задачи, где для определевия одного параметра имеется одно диффереициальисе уравиеиие 14«7езх =7'(х, и); опо определяет а из уравнения 44и=аа1х, тан как а=7.) Два параметра, оставшиеся из четырех, могут быть выбраны произвольно. Их можно задать, если предположить, что паре соседних точек Р(х, у) и Р,(х„у ) соответствует пара точек (е(и, о) и аеа(и„оа) (см.
рис. 49); это эквивалентно предположению, что паре величин 14х„ззуа (ие равных одновременно пулзо) соответствует пара величии а1и„е(оа плп Ги. 11. Оби1ие теириим 152 Таким образом, в эллиптическом случае, когда уравнение (2') не имеет действительных корней, уравнения (28) и (29) всегда определяют параметры а для произвольных значений Ии, и ас„ т. е. РР, и ДД, можно задать произвольно.
Однако в гиперболическом случае в точке Р существуют два характеристических направления, определяемые уравнением (2') при заданном соотношении точек Р и ф Если РР, не совпадает ни с одним из этих направлений, то система может быть, как н раньше, решена для произвольного Д,. Но если РР, имеет направление характеристики, например а, то система четырех уравнений (28) и (29), детерминант которой равен нулю, в общем случае (т. е. при произвольных правых частях) несовместна. Она будет совместна только при специальном выборе правых частей, когда четыре уравнения становятся линейно зависимыми.
В атом случае должно существовать определенное соотношение между аи, и дом Ясно, что это соотношение должно быть условием совместности. Чтобы покааать это формально, напишем в уравнениях (28) и (29) для краткости х, х, хм хи вместо ами аии а„, а . Затем точно так же, как на стр. (38, умножим первое из уравнений (28) на В, (для ф = ф ), второе на — А, и сложим.
В силу тождеств (4а) и (4в) сразу получаем Лм(х„соз ф'+х,зш ф')+К(ха сов ф'+ х з1п ф') =В,а — А,Ь. Затем умножия первое из уравнений (29) на Л„, второе на К и сложим; в результате получим Лм(х~созф~+хизшф )+К(хзсозф +хизгпф )= = — Лм+ — К. Ыи~ Ыи~ Ыо' м йс' Эти уравнения совместны только в том случае, когда (30) что совпадает с первым из уравнений (5) для направления о'. Следовательно, если РР, имеет направление а', то чтобы уравнения были совместными, уравнение ° (30) должно выполняться для приращений Ып, и дом соответствующих перемещению Я),. В этом случае существует однопараметрпческое семейство решений аы.
Эту геометрическую интерпретацию можно развить дальше в том случае, когда правые части заданных уравнений обращаются в нуль, а = Ь=О. Тогда вследствие условия (30) сдф = — = —— ииг Лм Ыи~ К (3() 40.У. Геометрическая иптерпрепеацил где чр — угол между направлением оси и и ДД,. Если для К воспользоваться вторым из выражений (4в), то равенство (31) можно записать в виде Д 4сьвф Д сСв г Д (32) где ф+ соответствует 4РЯ (см. рис.
49). Далее, в этом случае (а = б= 0) замена переменных преобразует уравнение (1) в систему (22), которую можно записать так ае()м — ае()че — авиве + секее = О, 64~44 бе ез Ье 44 + бе ее 0 где реп те же самые, что и в формулах (26). Для этой системы уравнение, аналогичное уравневиго (2'), имеет вид Ьге соз'4Р+ (644 — Лее) соз ф ив ф+ Ьеез1п'ф = 0; (331 этому уравнению удовлетворяет то значение сьбчр, которое определяется равенством (32) в том случае, когда сьдф удовлетворяет уравнению (2'). Поэтому если направление РР, совпадает с характеристическим направлением для системы (1) при а= б=О, то.
уравнения (28) и (29) будут совместными только в том случае, когда соответствующее направление еЩ будет также характеристическим для преобразованной системы. Каждому характеристическому направлению ф" или ф в плоскости х, у соответствует определенное характеристическое направление чр' нли чр в плоскости и, о, которое задается уравнением (32). Таким образом, мы можем сформулировать следующий результат: связывающая х и у с и н о система двух квазилинейных уравнений, правые части которых равны нулео, определяет для каждой пары соответствующих точек Р(х, у) и Д(и, о) множество осе аффинных преобразований, каждое из которых отобр зевает два направления ф' и ф в точке Р в два направления ер' и 4Р в точке Эпги две пары направлений (действительнгве только в гиперболическом случае) являются характеристическими направлениями системы (1) и преобразованной системье (22) соответственно.
Направления ф' и ф определяются уравнением (2'), как только заданы точки Р и 4',е; направления чр' и чр определяготся тогда уравнением (32). Частное аффинное преобразование можно выделить, если задать два отношения 00;(РР; и РЯ,(РР„где Р(, Р1, е,е4 и геч являготся точками соответствующих характеристик.
(Преобразование определяется этими 'отношениями, а не длинами отрезков потому, что уравнения (29) не меняют своего вида, если каждую из величин Ихм 4(у„г(и, и 4(о, умножить на одну и ту же постоянную.) С точностью до масштабных множителей Гл. 1Г. Общие теерееен юреобразование определяется отношением этих дробей. В частности, если первая дробь равна нулю, то уравнения (25) показывают, что 1(Х равно нулю ~см.
формулу (27)). Если учитывать только члены первого порядка, то площадка около точки Р будет отображаться на отрезок линии Ще. 'Хаким образом, при л'= со (или У=О) элементарная площадка около точки Р (или точки ~) -отображается в другой плоскости на криволинейный элемент, направление котороео совпадает с одним ив двух характеристиче.ских направлений в втой плоскости. Это явление, известное как-возникновение предельной линии в плоскости х, у (в случае У=О) 'и как возникновение края в плоскости и, о (в случае Х= со), будет неоднократно упоминаться далее в связи с припоя<опиями. Общее его исследование будет дано в З~ 19.
Г Л А В А 111 ОДНОМЕРНОЕ ТЕЧЕНИЕ й 11. УСТАНОВИВШЕЕСЯ ТЕЧЕНИЕ ВЯЗКОЙ Н ТЕНЛОНРОВОДНОИ ЖИДКОСТИ 1. Общие уравнения для параллельного исустаиовпвшсгося течения Одномерным, или параллельным, является такое течение, в котором а) вектор скорости и'всегда параллелен некоторому фиксированному направлению и б) все производные в направлениях, перпендикулярных этому направлению, равны нулю. Совмещая ось х с направлением движения, мы имеем д д (1) В этом случае дивергенция вектора и сводится к производной ди/дх и уравнение неразрывности (1.П) принимает вид — (ои) + ф=О. (2) Если пренебречь влиянием силы тяжести, то в уравнении Ньютона (1.1) остается только первое слагаемое, что в случае течения невязкой жидкости приводит к уравнению ди ЭР д~ дх ' Ясно, что в более общем случае течения вязкой жидкости па четырех параллельных направлению оси х гранях любого элементарного параллелепипеда йхйуИз (см.
рис. 6) не может существовать касательных напряжений, обусловленных вязкостью (трением), так как частицы, примыкающие к этим граням, двигаются с одинаковой скоростью. Следовательно, все касательные напряжения будут равны нул1о, и влияние вязкости в наяравленпи х проявляется в возникновении нормального растягиваю- щего напряжения и' (положительного, когда оно направлено наружу) на двух гранях, перпендикулярных этому направлению. 11да Гл. 111. Одномерное епечение Таким образом, величину р, используемую в случае невязкой жидкости, следует заменить величиной р — о,', что приводит к уравнению Ыи д о — = — — (р — о.,), до дх (3) согласующемуся с уравнением (3.8).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
