Р. Мизес - Математическая теория течений сжимаемой жидкости (1161654), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Разность между абсциссами х, соответствующими этим аиачеивям. и, будет равна Ь =х — х. = — 1п ~ — — 1~~ — — . 2 / 1 в рвз ив+ив у+1 ~. е )т и,— ив' Если значения потока массы т и отношения и,/и, заданы, то выражение, стоящее в правой части этого равеиства, стремится к нулю при уменьшении р пеаавясивю от того, сколь мало з. Пусть 9* обозиачает величину плотности в той точке течения, где и = (ив + и )/2, и ио обозначает скорость в той точке, где 9=(йв+9в)/2; тогда последний множитель в фоРмУле (26) может быть записан двумя способами 1вв и,+ив 1вв чв+Ов 21вв 21вв (27) т ив ив т чв чв чв (ив ив) и~ (чв чв) в ив ив ив 2о в =.
ов ур/о увлт уи (28) Используя первое уравнение (21), получаем 1 ~, 1 1 ! — = = — 1. уМ1 2ов У2о ' уМ1 У2о (29) Так как о, ) о„ равеиства (29) означают, что М, ) М,. Кроме того, значения о, и пв удовлетворяют уравнению (17). Если Если, например, взять з=0,05 и использовать стандартные зиачепия (см.
п.5) р, 0,00024 г/см сек и йо 0,001287 в/смз, то формулы (26) и (27) дают [если за единицу длины выбрать 1 м. — Ред.) х" — х' —,0,000093/(и,— и,). Таким образом, если полиое падение скорости и,— и равняется 3 м/сек, то 90% этого падения происходит иа расстоянии около 0,03 мм. Это является важиьвм результатом: толщина слоя, внутри котпорого происходит бблыаая часть перехода от ив, р„рв к и, р, 9„стремится к нулю вместе с р и для воздуха при нормальнмвх условиях практически является весьма малой величиной.
Если, как это обычно делается при изучении адиабатического течения иевязкой жидкости, использовать в качестве выражеиия для скорости звука ав=ур/9, то число Маха определится через наши безраамериые перемеииые следующим образом: 11.а. Полная аадача. (30') выражение, стоящее в правой части уравнения (15), (у+.1) ив -у')/2о+(у — 1) с, рассматривается как функция переменного )/ 2с, то производная этой функции равна (у + 1) 1/2о — у и обращается в нуль только' при )/2с=у/(у+1).
Из того, что нуль производной должен лежать между нулями $/2о, и 1/2са функции, следует, что )/2оа < у/(у+ 1) < ')/2ои Если эти неравенства подставить в формулы (29), то найдем, что М,' ) 1 и М, '< 1. Переходное течение, представляемое формулой (18), начинается в сверхзвуковой области и кончавшая в дозвуковой. Точка перегиба кривой о=о(х) будет соответствовать )/2о=у/(7+1). Это значение )/2п соответствовало бы М= 1, если бы соотношения (29) выполнялись для всего течения; однако для о, изменяющесося между сг и пю выражение в левой части равенства (17) отрицательно (см. равенство (17')), и мы находим, что в точке перегиба М ) 1.
Истолкование величины с может быть получено путем комбинации уравнений (28) и (29) со вторым уравнением (21) для о„ 6, или для с„ 6,; находим М1 М1+2/(ч — 1) М1 аМ1+2/(ч — 1) 2 (М1+1/ч)а 2 (М1а-(-1/ч)а Из последнего равенства находим также связь между числами Маха М, и М, перед переходом от одного состояния жцдкости к другому и после этого перехода 2уМ, 'М, '= 2+ (у — 1) (М, '+ М,'), которая будет важна в дальнейшем. 4.
Полная задача') Если не пренебрегать теплопроводностью, какйв п.'3, то установившееся одномерное течение определяется двумя дифференциальными уравнениями первого порядка (14) относительно неизвестных о и 6. Можно было бы исключить либо о, либо 6 и получить одно дифференциальное' уравнение второго порядка для 6 или о соответственно.
Однако получившееся в результате уравнение не легко 'было бы 'истолковать, и поэтому лучше исключить х, почлевно рааделив второе из уравнений (14) на первое, и получить ы8 равА 8/(ч — 1) — ь+У2ь — а йь й . В-)-2ь — У2ь (31)) Для каждого значения с решения дифференциального уравнения (31) образуют систему со' кривых в плоскости о, 6; решения уравнения (31). представляют, следовательно, соа различных соотношений между п и.
6. Для каждого такого решения зави- Мч Гл. 111 . Одномерное течение Рг= — "= У яЛ— уча у у — 1 (32) Для сухого воздуха при нормальных условиях величина Рг меняется мало — в пределах приблиаительно между 0,68 и 0,77 (см. п.5). Теперь мы запишем уравнение (31) в виде — = —,1: РгЛ, до 3 у (33) где И1(У вЂ” Π— +М'Во —. (34) Рассмотрим сначала случай Рг = сопзз; тогда кривая Л = сопзс в плоскости о, 9 является изоклиной уравнения (31), т.
е. геометрическим местом точек, в которых решения уравнения (31) имеют заданный наклон, равный 4 Рг Л (у — 1)13у. Эти изоклины описываются уравнениями вида (ао+ ЬЭ+ с)з = 2 (Л+ 1)з о, где а=2Л+1, Ь=Л вЂ” 17(у — 1); все они проходят через особые точки, в которых как числитель 1У, так и знаменатель Р в выражении для Л обращаются в нуль. Точки пересечения изоклин Р = О, )У= 0 совпадают с точками пересечения изоклин Р=О, 1у+Р=О. Поэтому рассмотрим две изоклины Р=О, Л= ~ со, 9+ 2о — )1 2о = О, или (ге+ 2о)з = 2о (35) Ф+Р=О, Л= — 1, у — 1 — 6+о — с=О, или 6= — (с — о). у — 1 у (36) Исключая 6 из уравнений (35) и (36), которые выполняются одновременно в точке пересечения (6е, ое), находим (у+1) ое-у)/2ое+(у — 1)с=О (1=1, 2). Заметим, что уравнения (35), (36) и (37) являются точно такими же, как уравнения (21) и (17), выполняющиеся в начале снмости х от о и х от 6 могут быть найдены в квадратурах путем использования исходных уравнений (14).
Коэффициент члена, стоящего в правой части уравнения (31), является, конечно, безразмерной величиной. Обычно рассматривают безразмерную величину, которая называется числом Прандтляе) 165 11.4. Полная вадача и в конце течения частного вида, рассматривавшегося в п.З *). Позтому отсюда следует, как и в п.З, что величины и, р, си Т в точках 1 и 2 удовлетворяют уравнениям (22), (23) и (24); выполняются также уравнения (30) и '(30') для М, и М,. Как было показано ранее, уравнение (37) для ту будет иметь два различных положительных корня тогда и только тогда, когда с.удовлетворяет неравенствам (16). Однако при с('/, одно из соответствующих значентгй 6 (нли оба зги значения) будет отрицательным.
Танивг образом, если ' 1 ту 46 — 2 ( ~ ( 2(ув 1) =46, (38) то будут две различные точки пересечении, 1 н 2, в которых как о так и 6 положительны, и они будут теми же самыми точками, что и в предыдущем пункте. При с ='/е одна точка о 075 07 О а/п Огп аЮ Поп обо Р и с. 52. Семейство парабол в,=совет а плоскости иаменения скорости и температуры при с=0,7. пересечения имеет координаты о= "/„6=0; из формулы (28) видно, что зта точка соответствует значениго М = со. Когда с = 'в/„, точки 1 ° п 2 совпадают в точке о = )уе/2 (у+ 1)2, 6=у/(у+1)2, которая соответствует значению М=1. Из резуль- У 2 .2,, * * 1 2 ) Это легко понять, так как если ао втором уравнении (14] положить а=о илн су8/2/а=о, то реаультат в обоих случаях будет одним и тем же.
166 Гл. 1е!. Одномерное гоененне по разные стороны от прямой 2о(у8=1, на которой М=1. В дальнейшем мы будем предполагать, что неравенства (38) выполняются На ряс. 52 изображено семейство кривых Л= сопзс; все эти кривые, за исключением кривых Л = — 1 и Л = 1/(у — 1), являются параболами, проходящими через точки 1 и 2 и касающимися оси В. Парабола Л= ~ со (которая описывается уравнением (35), не содержащим параметра с), имеет вертикальную касательную при о=О=О и проходит через' точку и='!„В=О. Она пересекает . кривую Г 9 Л=О, И=О; ~ — — с — с) =2о Ьу — 1 (39) в точках 1 и 2, через которые проходит также прямая линия Л = — 1, описываемая уравнением (36). Наклон последней, равный — (у — 1)/у, не зависит от с, а ее положение зависит от с.
Для Л = 1!(у — 1) кривая Л = сопзь вырождается в две вертикальные линии, проходящие через точки 1 и 2 соответственно. При Рг = сопзс можно использовать это семейство кривых Л = сопэФ для графического построенпя интегральных кривых уравнения (31); см. рис. 54 и последующий текст. При переменном Рг кривые Л=сопзь больше уже не будут изоклинами уравнения (31) и попытка геометрического построения интегральных кривых с помощью так называемого метода изоклин оказывается несостоятельной.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
