Р. Мизес - Математическая теория течений сжимаемой жидкости (1161654), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Дальнейшие сведения о ре пениях должны быть получены из общей теории дифференциальных уравнений первого порядка.. Мы предположим теперь, что Рг является по крайней мере непрерывной функцией о и В, не обращающейся в нуль ни в одной из точек 1 и 2. Тогда точки 1 и 2 являются особыми точками дифференциального уравнения (31). Если мы проанализируем каждую иа этих особых точек, рассматривая лпнейные члены тейлоровских разложений числителя и знаменателя правой части уравнения (31) вблизи этой точки, то найдем, что точка 1 (при предположении, что с, > о,) является узловой, а точка 2 — седловой. Таким образом, через, точку 2 проходят две интегральные кривые, тогда как череа точку 1 проходит бесконечное число кривых, которые все, за исключением одной, имеют в этой точке общую касательную. Как будет показано в п.6, легко можно вычислить две пары направлений в точках 1 и 2. Через обе особые точки проходит одна и только одна интегральная кривая уравнения (31), и это решение описывает переход от одного из двух состояний о„ В, и ою Ве к другому.
Это соответствует решению, которое было рассмотрено в п.3, где Ф = О, так что Рг = оз, и полное решение представлялось в плоскости о, В параболой Л = О (зависящей пт'с). Кроме того, в области между параболами (35).и (39), =т Рис. 53. Нривые Х=О, А= — 1. А=~со в плоскости о,9 при о=0,7. Р и с. 54. Семейство пптегральпых кривых, соответствуюптих параболам а=снова, ивображеявым иа рис. 52, при числе Правдтлтт Рт=а/а.
Кривая лврехода от состояния т к состоянию 2 является пря- мой ливией. 168 Го. !1!. Одномерноетечение заштрихованной на рис. 53, имеем гг') 0 и Б(0. Следовательно, производная ейтт/е(х и производная НоМх, определяемые уравнениями (14), в этой области будут положительной и отрицательной соответственно; решения уравнения (31) имегот в этой области отрицательные наклоны, и отрицательное направление осн о соответствует увеличению х. В п.б будет показано, что кривая перехода лежит в этой области. Интегральные кривые, изображенные на рис.
54, построены е предположении, что Рг = сопзс = е/е. Таким образом, согласно в ~в ь-авв М,-Л Р и с. 55. Кривые перехода прн Рг='/е, Рг=е/е н Рг= 1 с ограничивающими параболами. формуле (33), наклон интегральной кривой в точке, где она пересекает любую кривую Х=сопзс, равен (у — 1)Х(у. В частности, наклон интегральной кривой в любой точке прямой линии Х= — 1 равен — (у — 1)(у; это же значение имеет наклон самой прямой линии Х= — 1 (си.
уравнение (36)]. Поэтому в случае Рг=е/е пеРеход от точки 1 к точке 2 осУществлиетса по пРЯ- мой, определяемой уравнением (36). Выражая зто решение с помощью формул (13) через переменные и и Т, находим У не — + — дВТ ии —, + с Т = Се — — сопз1. (40) у — 1 2 Ото соотношение, справедливое только прв Рг=а1е, было найдено Беккером в 1922 г.е). 11.6. егисаенные ансненик фиаических кснстинпа 169 Наконец, на рис.
55 показаны решения *), определяющие переход от точки 1 к точке 2 для трех значений числа Прандтля: Рг = '/г, Рг = а/, и Рг = 1. Этн решения найдены путем вычисления направлений интегральных кривых в особых точках 1 и 2 н последующего графического интегрирования по диаграмме такой, как на рис. 52. Истолкование этих результатов будет дано в п.б. 5. Численные значения физических констант Выводы, которые будут сделаны в следующем пункте, в некото- рой степени зависят от численных значений физических констант, которые входят в уравнения. Поэтому мы начнем с установле- ния системы стандартных значений констант, относя их к усло- виям для воздуха при комнатной температуре и давлении, рав- ном 1 атм.
Для удобства читателя ниже приводится список чис- ленных значений конотант, использовавшихся в настоящей книге. 'а. Общая константа: и = 980,7 см/сек'. б. Константы для сухого воздуха (двухатомного совершенного газа): у= '/с=1,4, В = 29,26 м/градС; с = с =0,717 10е см'/сека градС; а у — 1 м ср — — уе, = 1,004.
10е еме/секс град С. з. Предполагаемые стандартные условия: Температура 15' С, соответствующая абсолютной температуре Т = 288 в градусах Цельсия; 9 = 0,001226 г/еме; р=бййТ=1,013 10е дан/см', а= 1/ гР =340,1 м/рек. -Г, г. Коэффициент вязкости (экспериментальные значения): р =0,000179 г/см еек; о = 1 = 0,146 см'/еек. е д.
Коэффициент теплопроводности (экспериментальные зна- чения): й= 2,52 10а дан/еек ° град С. ') На атом рисунке орлинаты увеличены'н отрешении 6: 1. 11.6. Вьмодм 171 Формулы дают Рг = 0,713. С другой стороны, теоретическая величина Рг на основе кинетической теории газов равна м) Рг = й — 5 — — 0,737 для у = 1,4.. (45) В любом случае значение 0,75 является хорошим приближением к действительной величине Рг. (47) 6.
Выводы Рассмотрим сначала случай, когда число Прандтля Рг равно 0,75. Тогда, как видно из п.4, интегральная кривая, проходящая через особые точки 1 и 2 в плоскости п,8 — кривая перехода — является прямой линией, определяемой уравнением (36). Подставив величину 6 из уравнения (36) в первое из уравнений (14), мы найдем — — = — [(у+1) и — у)/2о+(у — 1) с),' к, ги (46) что отличается только на множитель 1/у от уравнения (15), которое было выведено в предположении й= О. Поэтому прежнее рассуждение (п.3) остается без изменения при условии, что з заменяется на х/у.
В частности, определенная там толщина переходного слоя теперь будет равна '=' ~'=-) где Ь, определяется формулой (26). Остался еще случай, когда Рг имеет постоянное конечное значение, не Равное з/ю и слУчай, когда Рг ЯвлЯетсЯ пеРеменным. Для пронавольного'Рг интегральные кривые уравнения (31) качественно подобны кривым, изображенным на рис. 54 для случая Рг= з/, за исключением того, что интегральная кривая Я, соединяющая точки 1 и 2, больше не будет прямой линией. В частности, знак производной Ю/Ыс не изменяется в различных областях, ограниченных изоклинами Х=-(- со и Х=О (эти две кривые будут пзоклинами даже для переменного Рг). Решение Ю не может быть дано в замкнутом виде, но можно найти пределы изменения 9(с) на о, и их достаточно для оценки толщины переходного слоя.
Сначала мы вычислим наклоны интегральных кривых в точках 1 и 2 в случае Рг=сопзс. Ввиду того что в этих точках /У=В=О, этн наклоны найдутся путем применения правила Лопиталя к правой части уравнения (31). Таким образом, наклон 6'=Ж/с(о любого решения в точке 1 и 2 должен удовлетворять квадратному уравнению 4Рг ~' — (у — Ц (1 — 1/г 2гч) (, 1 2) (46) 2У 6'+2 — 1/'г' 2о~ 172 Гл.
111. Одномерное течение или, после использования формулы (29), 1/"1/2ое = 1+ 1/у 51ее, уравнению 6' + 6 ~~ 1 — —, — —,) — — (у — 1) —, = О. (48') ,Г 1 4Рг~ 4Рг 1 ме зг ) зт чм Таким образом, нз двух значений 6' в каждой нз двух точек одно значение положительно, а другое отрицательно, Так же. как и на рис. 54, два отрицательных корня, скажем 6; в точке 1 и 6; в точке 2, должны давать наклоны кривой перехода Ю в особых точках 1 и 2 соответственно. 7' Более детальное изучение уравнения (48') 1 А, показывает, что О, ( — (у — 1)/у ( 6, при Рг ( е/, и знаки неравенств меняются на Я обратные при Рг ) '/,. Прв Рг='/е уравнение (48') выполняется при 6,' = 6; = = — (у — 1)/у, что находится в соогветст- Я вин с соотношением (40). ~е Уравнение (48) выражает также то об- стоятельство,что любая кривая, соответст- 1 вующая некоторому решению и проходящая через точку 1 влн 2 в одном из воаможных направлений, определяемых урав- Р н с.
йз. дзе нзоклнны, пением (48), действительно касается созую пеРехода, когда огРанвчнзающне кРн ответствующей изоклины в этой точке число Рг постоянна; (т. е. изоклины, у которой Х определяет- чертеж составлен для ся формулой (33) при данном наклоне 6').
Рг ( '/,. В частности, кривая, соответствующая особому решению Л и проходящая через точки 1 и 2, касается некоторой параболы А, в точке 1 я другой параболы А, в точке 2. Ограничения, накладываемые на решение Ю, следуют нз того, что кривая Ю должна проходить между точками 1 и 2 с той стороны кривой А„с которой А, военута, и с той стороны кривой А, с которой Ае вьтукла. Предположим, например, что Рг с. е/4. Тогда из того, что 6,' ( — (у — 1)/у, следует, что изоклнна А, лежит над ее хордой 1-2, как показано на рис. 56, а.
В любой точке кривой Ае кривая, соответствующая решению уравнения (31), имеет такой же наклон, как касательная Т; в точках, расположенных ниже кривой А„ее наклон (оставаясь отрицательным) будет меньше наклона касательной 'Т, а в точках, расположенных выше А„ больше наклона Т и может даже изменить знак наклона (по другуго сторону от кривой Х= Л- со). Ни одна интегральная кривая не может выйти из точки 1 в область, расположенную между кривой А, и касательной Т, так как такая кривая должна иметь меньший наклон (отрицательный), чем наклон касательной Т вблизи точки 1, тогда как решение уравнения (31) должно 11.6. вчмводьв 173 (50) иметь болыпий (отрицательный) наклон, чем наклон касательной Т. Вдоль интегральной кривой, выходящей иэ точки 1 выше каса- тельной Т, касательная к кривой должна повернуться в напра- влении движения часовой стрелки, и ясно, что такая кривая не может достигнуть точки 2.
Таким образом, интегральная кри- вая Я проходит ниже кривой А„когда она выходит из точки 1. Она не ьюжет пересечь кривую Аг в точке Р, лежащей между точками 1 я 2 (это предположение иллюстрируется на рис. 56, а). В точке Р интегральная кривая имеет такой же наклон, как касательная Т (но уже не такой, как кривая А,), и продолже- ние этой интегральной кривой через точку Р может вести себя только наподобие интегральных кривых, выходящих иа точки 1 выше касательной Т. Таким образом, между точками 1 и 2 кри- вая Я проходит ниже кривой А,. Вследствие того, что В; ) — (у — 1)/у (последнее значение является наклоном хорды, соедипяющсй точки 1 и 2), иооклина А, лежит выше этой хорды (но, конечно, ниже кривой А„так как Ю; < 9;), как это показано на рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
