Р. Мизес - Математическая теория течений сжимаемой жидкости (1161654), страница 34
Текст из файла (страница 34)
56, б. Аналогичное рассуж- дение показывает, что кривая Ю между точками 1 и 2 должна проходить выше кривой Аз, так как решение в произвольной точке кривой А„отличной от точки 1, имеет наклон свв', и про- должается ниже кривой А„причем наклон решения, оставаясь отрицательным, будет меньше наклона кривой Ав; поэтому она не может достигнуть точки 2. Таким образом, две изоклины, А, и А„ограничивают серповидную область, внутри которой должна лежать кривая Я между точками 1 и 2. При Рг) з/в эти две изоклины лежат ниже хорды, соединяющей точки 1 и 2. При Рг = з/в кРивые А„Аз и Ю совпадают с хоРдой, тогда как пРи й=О (так что Рг= со) все они совпадают с изоклиной 1=0.
Пусть теперь а и р — значения Х, соответствующие изокли- нам А, и А„причем а>() (например, при. Рг < з/в а соответ- ствует Ав, а р соответствует А,), и пусть Ввв(о) и 6д(о) обозна- чают ординаты точек на этих двух изоклинах, а Ю(о) — орди- наты точек на кривой Я. Тогда то обстоятельство, что Я лежит между А, и А„выражается неравенствами Ва(о)~(В (о) ~(Вф(о)в оз~(о~~оп (49) В частных случаях Рг=з7в и Рг=со в обоих этих соотноше- ниях веаде должен стоять знак равенства.
Затем введем для краткости обозначения О = )/2о — 2о, Оо = (у — 1) (о — М 2о+ с). Таким образом 6 и Вв являются ординатами точек на двух изоклинах Х= -ь со и Х=О соответственно. Тогда первое диф- Ференциальное уравнение из системы (14) может быть записано Гх. П1. Одномерное техевие 174 следующим образом: 4)е дп' — — — =6 — 6 Зпе Ых так что неравенства (49) приводятся к виду 4 )едх 6а 6п «( — — ~( 6д Фе. 3 педх (51) Уравнение (34) может быть эаписано так: ее (е — е„) (у — 1) ' отсюда следует, что ордината 6ь на иэоклнне, соответствующей произвольному значению ), удовлетворяет соотношеннео ее 6,— 6„= — —" 1 — (у — 1)Х Следовательно, неравенства (51) могут быть записаны в следующем виде: ń— Е.
4 Р,„: ń— Е, < — — <— 1 — (у — 1)а .З пе дх 1 — (у — 1) Р (52) Этот результат можно сравнить с дифференциальным уравнением (15), определяеощим о в случае )е=О, Рг= со, обсуждавшемся в п.3, а именно 4 р й~ — — — = — (6 — 6 ). 3 хе Их е' (53) Ье [1 — (у — 1) а] ~( Х ~ Ле (1 — (у — 1) ()], (54) где Ь определяется формулой (26). Здесь а и р представляют собой значения ) для двух иэоклин Аг и А„касающихся кривой 8 в точках 1 и 2 соответственно, причем а>~. Для определения точных пределов в неравенствах (54) нужно найти наклоны 6,' и 6,' нрнвой 6=6(о) в точках 1 и 2, т.
е. отрицательный корень уравнения (48') в каждой иэ этих двух точек. Тогда а и Р будут (отрнцательными) величинами з у е; з у е; и (55) 4у — 1Рг 4 у — 1Рг' Верхний и нижний пределы производной Ыо/Их,. определяемые знаками равенства в соотношении (52), приводятся.к такому же дифференциальному уравнению, как уравнение (53), если в нем заменить х на хД1 — (у — 1) а] и х)(1 — (у — 1) Я соответственно. Следовательно, если мы предположим, что )е постоянно, то толщина Ь переходного слоя должна удовлетворять неравенству ы) Л.6. Выводы 17Ь здесь а будет второй из этих величин при Рг < з/ и первой при Рг > о/в.
При Рг= о/в мы находим 6,'=6,'= — (у — 1)гу, как упоминалось выше; в этом случае оба выражения, стоящие з квадратных скобках в неравенствах (54), сводятся к у в соответствии с формулой (47). Подобные же рассуждения можно применить к случаю, когда р является не постоянной величиной, а заданной возрастающей функцией от Т. Из неравенства (52) следует, что оценка (54) остается справедливой при условии, что Ь в правой части неравенства вычисляется для максимального значения и (значения з точке 2), тогда как Ьо в левой части неравенства вычисляется для минимального значения р (значения в точке 1).
Наконец, остался случай переменного Рг, для которого также может быть приспособлена изложенная выше теория. Результат этой теории заключается в следующем: оценка (54) остается з силе, если выражения (55) вычисляются теперь для максимального и минимального значений Рг в области, заштрихованной на рис. 53, и если для а и р берутся два экстремальных значения. Кривая перехода лежит между параболами )о = а и Х = р. Прн произвольном изменении р вычисления проводятся так же, каки в предыдущем абзаце.
Пример. Предположим, что исходное число Маха равно М,= 2. Тогда из уравнения (30') при 7=1,4 мы имеем М,'='/о, а из соотношений (29) находим 1 1 1 = 1= — в= 0 179 = — 1= —,= 2,143. 2 о г 7 щ 1 ~ 1 г 2 о 7 ов Таким образом, уравнения (48) для наклонов в двух концевых точках записываются так: 4Рг О,'+0,071 6, 4 Рг Во+0,857 3 1,4 О(+0,8З1 в 4,8 Ов — 1,148 ' Отрицательные корни будут равны 6,' = — 0,43, 6,' = — 0,22 при Рг = '!о; 6; = — 0,20, 6; = — 0,34 при Рг = 1. Пределами для толщины переходного слоя тогда будут величины: 1 46 Ьо (Ь (1 88 Хо при Рг = '/;, 1,21Ь (Ь(1,35Ьо при Рг=1. Для численного примера, приведенного в п.3, было найдено, что Ьо является величиной порядка меньшего, чем одна десятая миллиметра. стб Гл.
111. Одномерное течение Картина в плоскости о, 6 изображена на рнс. 55 (см. конец п.4), причем ординаты 9 увеличены в отношении 5: 1. Пунктирные линии изображают интегральные кривые при Рг= "/, Рг=е/е в Рг=1, а сплошные линии — изоклнны длЯ четырех наклонов 9', найденных выше (и для 1=О). 1 12. НЕУСТАНОВИВШЕЕСЯ ТЕЧЕНИЕ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ 'е) 1. Общие уравнения Рассмотрим идеальную жидкость, т.
е. совершенный газ при ро =й=О; это значит, что мы будем пренебрегать вязкостью а теплопроводностью. Уравнения (11 12) для установившегося адиабатического одномерного течения сведутся к двум соотно- шениям между и и Т, не содерясащим х. Поэтому единственно возможные решения имеют вид и=сопзФ, Т= сопзь, откуда сле- .дует также, что й=сопзб и р=сопзо. Другими словами, един- ственно возможным видом установившегося адиабатического одномерного течения идеальной жидкости является однородный .поток с постоянными значениями и, р, о, Т и т. д.
Таким об- разом, в этом случае представляет интерес только нестационар- ное течение 'е). Возвващаясь к уравнениям (11.2) и (11.3) и отбрасывая слагаемое, учитывающее вязкость, мы получаем о — +и — + — =О, ди до до дл де дс (1) Š— +Оп — + — =О. ди ди др де ди де (2) .Замыкающее уравнение, которое выражает то обстоятельство, что движение является адиабатическим, можно взять, из п.1.5.
В случае идеальной жидкости оно записывается так: р/от = сопз1 для каждой частицы. Это последнее ограничение может быть отброшено, если первоначально все частицы имели одну и ту же энтропию. Математическая задача остается неизменной лри замене Т на любусо другусо постоянную, ббльшую единицы, поэ- тому мы, вообще говоря, используем в качестве замыкающего уравнения политропическое соотношение р = сопз$ = С, (З) н где х — лсобая постоянная, ббльшая единицы.
Если выполняется соотношение (3) или в более общем слу. чае произвольное соотношение между р и о такое, что Ыр/ссй ) О, .то можно ввести квадрат скорости звука сср а =— дЕ 12.1. Общие уравнения 177 как известную функцисо 9 (см. п.5.2) и использовать эту функцию для исключения р из уравнения (2). Так как дрсдх = =(ссрсс(9)(дй/дх), то уравнение (2) принимает вид 0 д,+йи~ +а д — — -О. ди ди е дс (4) Уравнения (1) н (4) можно несколько преобразовать и получить следующую систему двух уравнений для неизвестных ои и 9: д дЕ д — (ри)+ д — — Ов д д дй е е дэ дс — (ои) + и — (ои) — и — + (а — и ) — = О. дх дс дх (5) Другой удобный вид уравнений можно получить, используя функцию Р, определенную в п.2.5, а имени Г др Г есСО дР авдо дР аеде (6) дх Одх' дс оде ' Тогда легко проверить, проводя указанные дифференцирования, что уравнения (4) и (1) эквивалентны соответственно уравнениям ',(",'~»е)-»,— '( — ", »е) — '— ,",»< * — ~'"=е.
~ С другой стороны, первые уравнения систем (5) и (7) образуют систему, эквивалентную уравнениям (1) и (2). Можно заметить, что системы (5) и (7) совершенно подобны: переменные ои и о в уравнениях (5) аналогичны переменным (иес'2+ Р) и и в уравнениях (7). В частном случае, когда выполняется полнтропическое соотноИ ение (3), мы имеем Р= — "Сд -с = — '* и — 1 и — 1 ае = кСОи с Если вместо и и 9 з качестве переменных взять скорости и и а, то первые уравнения систем (5) и (7) принимают вид дв д дх, — (иазя -0)+ — (азли-с>) = О, дв (9) Для аднабатического течения двухатомного совершенного газа (каким„по предположению, является воздух) имеем к = у= 1,4 = в7е, 12 Р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
