Р. Мизес - Математическая теория течений сжимаемой жидкости (1161654), страница 37
Текст из файла (страница 37)
') Полагая () =(4+Ч) ог, получаем ураззенне общее решение которого определяется членом г, на соотношений (39). Если в качестве независимых переменных использовать 5 в Ч вместо и и о, то д а а а а а + г д д5 дЧ ' ди д4 дг) позтому дифференциальное уравнение для г' примет внд") (43) уравнение (43) является уравнением вида (10.11) при о=Ь= †, с=о, 2 = =$+ч' а решение уравнения (10.11) было найдено через частное решение сопряженного уравнения (10.12).
Сопряженным уравнением для уравнения (43) является ага 2 ( аа аа.) 4 дйдч 5+ч ~. ай ач . (5+ч)г — — ( — + — )+, а=0. Общим решением уравнения (44) будет 1) = (в+ Ч) Т(р)+С(Ч)] 2 (р+Ч) с(Г й)+С (Ч)) (45) 190 Гл. Ш. Одномерное течение 5. Применение спидографа.
Задача Коши Две переменные величины и и о или и и э определяются как функции х и З системой двух квазиливейных дифференпиальных уравнений (18) или (20) соответственно. Было показано (п.2), что задача во всех случаях будет гиперболической; таким образом характеристики действительны и теоремы, доказанные в п.10.3, могут быть использованы. Первая нз этих теорем устанавливает,.что если и и э заданы в плоскости х, 1 во всех точках дуги АВ, нигде не касающейся характеристики, то решение определяется (самое большее) в характеристическом четырехугольнике, в котором А и В являются противоположными вершинами. Типичной является задача нахождения решения, когда начальные значения, т. е.
значения и и э при 9=0, заданы на некотором интервале осн х, скалеем от х= 0 до х=е. Б этом случае дуга АВ является отрезком оси х; характеристики имеют по отношению к оси г наклоны и+а и и — а, так что ни одна характеристика не может иметь такой же наклон, как АВ, до тех пор пока и и а представляют с.бой конечные величины. Метод численного приближения, подробно описанный в п.10.3, заключается в последовательном построении сетки характеристик н'в определении значений неизвестных в узловых точках этой сетки.
Б данной задаче обе части этой программы принимают очень простой вид при перехеде в плоскость спидографаез). По заданным в каждой точке сегмента АВ значениям и и э этот сегмент отображается в дугу А'В' в плоскости и, о (рнс. 60). Пусть точка Р' с координатами и, э соответствует точке Р, лежащей на' АВ. Характеристические'направления в точке Р образуют с осью г углы агс ф(и+ а) и агссд(и — а). Предположим, что к=1,4, так что э=5а. Тогда линии, проведенные из точки Р' с наклоном +5 и — 5, пересекут ось и в точках Л, и ее'е с абсциссами и — а и и+а соответственно. Если ОМ=1, то тангенсы углов между вертикальным направлением и линиями МЛ, и Мйе равны и — а и и+а соответственно. Следовательно, линии, проходящие через точку Р параллельно МЛ, и Меее, дают характеристические направления в точке Р.
Мы также видели (п.3), что характеристикам еех/й = и+ а и Нх/ем =и — а в плоскости х, З соответствуют в плоскости и, э линии с наклоном — 45' и + 45' соответственно. Таким образом, отображения характеристик строятся очень легко и образуют прямоугольную сетку. Более того, координаты и и э точки пересечения дают величины неизвестных в соответствующей точке пересечения в плоскости я, 8. Для проведения расчета; 1) выберем последовательность точек Р на АВ (см.
рис. 61); 2) разместим соответствующие точки Р' на А'В', 3) методом параллельного переноса, описанным выше, 12.д. Применение спидоерафа. Задача Ножи построим характеристические направления в точках Р, пересекающиеся в ряде точек Д плоскости х, 1, 4) проведя через точки Р' линии с наклоном +45' и — 45', найдем точки с,1', соответствующие точкам 9, и, таким образом, величины неизвестных п и и в точках 1,. Затем этот процесс можно повторить, отправляясь Хсрсссириапито атлет и-а ясное чссежяи ~ахсрсемаеммсес ча/М ита и Рис. 60.
Построение характеристических напраиленнй з точке Р плоскости и, г для случая о= ба. Зти пепреипеоия определяются пРямыми мя и Мне. Р и с. 61. Последовательное построение приближенного решения задачи Коши с использованием спкдогрифа. от точек Ч и находя нову1о систему точек пересечения Н и соответствующие точки В', координаты и и и которых дают величины неизвестных в точках д, и повторять его до тех пор, пока в плоскости х, 8 не будет определено полное отображение сетки характеристик в треугольнике А'В'С'. Тогда значения двух паРаметров течения и и и будут найдены внутри характеристическоге тРеугольника АВС, т.
е. во всей области 1для г ) О), в котоРой эти величины определяются начальными условиями. Кроме того в го, в любой точке Р может быть найдено направление липин частицы Ых/Ыг = и; для этого достаточно провести прямую, параллельную линии М)у в плоскости и, и (рис. 60), где Ф вЂ” проекция соответствующей точки Р' на ось и. 192 Гл. Ш. Одномерное течение Зтот метод позволяет провести вычисления быстро и с достаточной для всех практических случаев точностью.
Можно добавить три замечания. Во-первых, на рис. 60 не обязательно брать ОМ=1 при условии, что будет сделано соответствующее изменение масштаба г. Например, если удобно выбрать ОМ = с см/сек, то прямые линии, параллельные Мтт' и Мтт'а, дадут правильные направления характеристик в плоскости х, е при условии, что отрезок оси е, соответствующий 1 сек, имеет такую же длину, как отрезок оси х, соответствующий с см. Р в с.
62. Двойное перекрытие пдоскоств спидографа. о-сетна характеристик в плосности л, П б — иеобраыеиие областев в плоскости переиенных и, е; область А'В'в' перекрывается дваеиды; е-область В'О'Хма', конааанная отдельно. Во-вторых, для построения решения при г > 0 используется только половина характеристического четырехугольника, и нужно выбрать соответствующую часть прямоугольника в плоскости и, о.
При е > 0 проходящая через точку Р характеристика с(х~й = и+ а (изображением которой является линия с наклоном — 45', проходящая через соответствующую точку Р') должна пересекать характеристику Ых/Нг = и — а (иэображением которой является линия с наклоном +45'), проходящую через следующую точку справа на АВ, внутри этой половины четырехугольника. Следовательно, если двигаться вдоль А'В' в направлении, соответствуюи1ем увеличению х, то когда величина производной с1о/Ни меняется между — 1 и 1, используется правая по отнтиению ЛХ.В. Виданы кначеиил иа двух харак»иериопиках 193 А'В' часть характеристического четырехугольника в плес„ости и, о; когда величина производной Ао/ееи меняется от +1 до + со и далее через ~ос до — 1, то используется левая часть характеристического четырехугольника (см. рис.
61). Наконец, может случиться, что некоторая область в плоскости и, о перекрывается более одного раза »е). Например, предположим, 'что значения и и о заданы вдоль сегмента АВС (рис. 62), переходящего в плоскости спидографа в кривую А'В'С', причем ло)е)и=1 в точке В'. В таком случае от А' до В' используется правая часть характеристического прямоугольника в плоскости и, о, дающая решение в треугольнике АВВ, соответствующем А'В'В', а от В' до С' используется левая часть, дающая решение в ВСЕ. Решение в ЭВЕР определяется в соответствии со второй теоремой п.
10.3 по (совместпмым) значениям и и о вдоль двух характеристик ВЮ и ВЕ. Изображением РВЕР в плоскости спидографа будет прямоугольник Ю'В'Е'Р'. 'Гаки»е образом, область А'В'В' перекрывается дважды. Для полноты картины течения в плоскости х, г лучше всего перенести линйп Ю'В' и В'Е' вместе с точками, в которых онп пересекаются уже построенными характеристиками, на новый чертеж в плоскости и, о. В полученном прямоугольнике могут быть проведены линии с наклонами +45' и — 45', и.эта сетка отображается на плоскость х, 1, как было описано выше. Каждая характеристика дх!с)1=и+а имеет точку перегиба там, где она пересекает лшппо ВЮ, соответствующую изменению направления движения вдоль кривой В'Ю' в плоскости и, о*).
6. Аналитическое решение; заданы 'значения яа двух характеристиках Задача одномерного течения будет полностью решенной, когда в каждой точке х, 1 плоскости х, 1 будут найдены значения параметров течения и и д (или и и о). Однако наши методы, основанные на перемене местами исходных независимых и зависимых переменных, будут давать х и г как функции и и о. В общем случае обратить это решение, т.
е. выразить и и н через х и 1, используя известные операторы, невозмояено. Если дело обстоит таким образом, то это конец: никаким другим методом интегриРования нельзя получить и и о как явные функции х и 1. Однако задавая х и 1 как функции и и н,мы получаем пара"етрическое представление для характеристик в плоскости х, 1 (полагая о-,'-и или о в и равным постоянной), и в большинстве ~~учаев для практических задач этого достаточно. Чтобы найти »1 О бшае исследование елнннн ветвления», полнившейся здесь впервые <линни Ле»), будет проведено в и. 19.6. Р.
ми»ее Гл. П1. Одномерное течение аналитическое выражение для линий частиц, нужно еще проин- тегрировать дифференциальное уравнение первого порядка. В оставшейся части этого параграфа мы будем иметь дело с двумя важными краевыми задачами, сформулированными в 3 10, в том виде, как они выглядят в одномерном течении.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
