Р. Мизес - Математическая теория течений сжимаемой жидкости (1161654), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Мы рас- смотрим здесь эти задачи в линейной постановке, где переменные в плоскости спидографа и и о являются независимыми перемен- ными, и получим полные решения в явном виде. В атом иссле- довании мы будем оперировать с функцией У (и, о), определяемой соотношениями (27), и общим решением для )г, даваемым форму- лой (42). Из этих уравнений для случая к = 1,4 найдем дРР— з1' д' — зд" ж — иг = — = ди ез зз 31 — Зеу+ з«1 Рд — Зев'+ззд", (47) +' аг— о де' 3 дз где 1' — некоторая функция от 3= о+ и, а а — некоторая функция от з) =о — и.
Затем остается выбрать 1'(з) ну(з)) таким обрааом, С чтобы выполнялись заданныв начальные условия. Конечно, 1 ну не определяются единственным образом; нвкоточ рые произвольные выражения в одной А из этих функций могут быть компенси! В рованы членами в другой. Рассмотрим сначала задачу с граничными условиями, заданными на характеристиках 'з), т. е. задачу, в которой заданы совместимые значения и и о вдоль двух характеристик, исхо- О дящих из общей точки Р в плоскости В х, 1(как во второй из теорем, доказанных в п.10.3).
Эта задача соответствует «взаимодействию волне. (см. 3 13). С Конечно, и и о и форма кривых не могут и быть ааданы независимо, так как необхо- Р я с. 33. Краевая задача димо, чтобы разность о — и была нос граяячкыми условиями стоянна вдоль одной кривой, скажем РА зздазяыми зз двух харак- (рис. 63), а сумма о+и была постоянна терзстикзх РА и РВ; по- вдоль другой, РВ.
Будем использоказан четырехугольяия, з вать индекс 1 длм обозначения .значекотором решвяие определяется з физической пло- ния любой переменной в точке Р. Тогда скости к з плоскости сяи- точка Р будет соответствовать точке дегрзфа Р'(и„ о,) в плоскости и, о (рис. 63), н характеристики перейдут в линии с наклонами + 45' и — 45',проходящие через точку Р', как показано на этом рисунке. Каждая точка е,е на отрезке РА (или РВ) 12.В. ладана значения на двух характеристиках 195 вдоль РА т) = о — и = т)„ $ = о+ и = 2о — т(„ о = — (а+ т),); (48) вдоль РВ 3=о+и=$т т) =о — и =2о — $„ 2(т 1 Этя граничные условия, определяющие картину течения, должны быть переписаны так, чтобы в качестве независимого переменного была взята функция о (или и), а в качестве неизвестной функции т'(и, о).
Таким образом, мы можем считать, что вдоль Р'А' и Р'В' заданы значения либо др(да= х — ив, либо — др!до = аг = остб. а. Вдоль характеристик задана разностаь х — ит. Эти данные могут быть представлены в следующем виде: х — и( = и (о), о = 2 ($+ т),) Вдоль Р'А', (49) 1 (ь, + т)) ~доль Р'В', где а (о) и р (о) — заданные функции. Конечно, а (о,) = () (от), и эту величину можно положить разной нулю, помещая начало координат в соответствутощей точке оси х.
Подставляя выражения (49) в уравнения (47) и обозначая для краткости д'(т)т) через а,' и т. д., мы найдем, что ) и я должны быть такими, чтобы выполнялись уравнения т" (з) — и(" (И у( ут =и(о)+ — „,— — „,, где о= — ($+т),), 1 д (Ч) ад (Ч) (50) Первое иэ этих уравнений является обыкновенным дифференции альным уравнением первого порядка, определяющим 1', тогда как второе определяет а'.
Оба легко интегрируются. Если мы введем функции Ю в А(о)= ~ а(о) до, В(о) = ~ р(о)с(о ют будет соответствовать некоторой точке Ч' на Р'А' (нли Р'В'), определяемой значениями и и о в точке тв. Одной из этих величин, скажем о, достаточно для определения точки ()'. Конечно, в каждой точке ()' на любой характеристике значения х и известны (так как они язлятотся координатами точки С) в плоскости х, т) и определяются однозначно, если заданные значения о изменяются монотонно вдоль РА и РВ. В таком случае мы имеем 496 Го. 1П.
Одномерное точеное и пбозначим через с и й постоянные интегрирования, то роше нием уравнений (50) будут 1' (5) =- — 2ооА (с) + д,' — 2об, + со', о = — (з+ ть,), (52) б' (т)) = 2иеВ (о) + 1т — 2о/т+ йое, п = — (с, + т)), что можно проверить путем дифференцирования. Из шести постоянных 1;,.
1;, д,', б"„ с и й, которые входят в решения (52), только две м тут быть выбраны произвольно. Если мы вычислим значения решений (52) при ь = $, и то получиьт два условия, связывающие эти постоянные 1; = б,' — 2отб", + сое„д,' = 1; — 2о,1", +/со,'. (53') Кроме того, дифференцируя решения (52), а затем полагая а = $„ т~ =- т1, получаем 1",= — я,+сом д,"= — /т+/ест; (53") здесь мы использовали условие ат=(),=О. Четыре условия (53) все же оставляют нам некоторуто свободу выбора "). Например, зсе эти 'условия удовлетворяются, если мы примем 1~=б,'=О, 1",=л",=2Соб с=й=4С, где С-произвольная постоянная. В таком случае решения (52) примут вид 1' ($) = — 2оеА (с) + 4Со (о — о,), о = —.
$ + т~ т), (54) л' (т)) = 2о'В (о)+ 4Со(о — о,), о= — ($т+ т1), где интегралы А и В являтотся известными функциями о; выражая о через $ и т) соответственно, мы получим 1'(Р= --6+ч)'+С(з+ч)(з — з) (54') б (Ч) = 2 (Вт+ Ч)'+ С К + Ч) (т) — Ч ) Интегралы А и В, выраженные через 5 и т), иметот верхние про. делы, равные (з+цт)/2 и (зт+ц)/2 соответственно. Формулы (54') позволятот решить задачу.
Дифференцируя их, мы находим 1" и д" и, используя первое из уравнений (47), определяем и — ие как функцию и и и в явном виде; это выражение не зависит от С. Для определения ш с помощью второго из уравнений (47) нужно проинтегрировать формулы (54), чтобы найти 1 и д; постоянные интегрирования выбвратотся так, чтобы второе из,уравнений (47) выполнялось в точке Р'. Пример такого решения будет рассмотрен в п. 13.5. 1г.д. Задана внакеник на двух характеристиках Й7 б. Вдоль харакоеерасшик задано Г.
Здесь мы предположим, что на двух характеристиках, пересекающихся в точке Р' (и„о,), значения аг (равного в вашем случае о~/5) являются ааданнымв функциями о. Зтн данные могут быть записаны в следующем виде: о= —,(~+т)1) вдоль Р'А', о = —, ($, + в)) вдоль Р'В'. )=а(о), с =р(о), (55) Выбрав ось х так, чтобы она проходила через точку Р, мы можем предположить, что при о= о, з == О; т. е. что а(о,) = =~3(ов) =О. Если снова для краткости обозначить д(тЬ), л'(оа) я т. д. через д, я', и т.
д., то условия (55) с учетом второго уравнения (47) можно записать следующим образом: 3/ — Зо1'+ оз~" = — ова (о) — Злг+ Зол' — оая' вдоль Р'А', (56) в 7 (ь) = 4осА (о) = — ов ') (о — г) а (г) Иг, о = -4- (ь+ оа) в 0(Ч)=4осВ(о)= —,оз~ (о — г)р(г)сег, о= 2 (й1+Ч). (59) в а аналогичное условие вдоль Р'В', в котором 7, л и а заменены на я, 7' и р соответственно. Если мы теперь определим А(о)=з ) (1 — — )а(г)аг, В(о)кк ~ ') (1 — — )Р(г)с(г, (57) в в то общее решение уравнения (56) будет таково: 7 ($) = 4о'.4 (о) — л, + 2я,'о — 2д,"оз+ с,оз+ с,о', (58) где о = ~/з(5+т~,), а с, и с, — постоянные интегрирования. Аналогичное уравнение дает выражение для я(т~), содержащее еще две постоянные интегрирования, 7с, и й,.
Как и в предыдущем случае, этн постоянные не являются независимыми и можно найти шесть условий, связывазощих я~сить постоянных 7'„7",, 7о ф„л,', б"„с„с„й, н 7с,. Дли этого надо вычислить значения /, 7", 7'" при о=о, из решении (58) и пРиРавнЯть их ~н ~„Д и т. д. з'). Так как эти УсловиЯ являются однородными (вследствие того, что первая и вторая производные А и В обращаются в нуль при о=о,), то возможным выбором является приравнивание всех десяти постоянных нулю.
Тогда решение принимает вид 168 Гл. П1. Одномерное течение С помощью уравнений (47) и формул (59) для функций ( и я и их производных переменные х и «выражаются через переменные и н о. Эти решения справедливы для точек (и, о), лежащих в прямоугольнике А'Р'В'С' плоскости спидографа, соответствующем криволинейному четырехугольнику в плоскости х, ц ограниченному характеристиками. 7. Аналитическое решение; заданы «е и о при 6 = О«') Поставленная задача — это задача Коши, обсуждавшаяся э п.5; ее решение может быть определено аналитически в простой форме в случае политропического течения газа при к=.1,4.
Итак, заданы две функции (60) и=и(х), о=о(х), а<х~Ь, представляющие распределения скорости и плотности вдоль отрезка оси х от х = а до х = Ь при г = О. Предположим, что формулы (60) устанавливают взаимно одно- Р', эначное соответствие. между отрезком АВ оси х и дугой А'В' (рис. 64) в плоскости и, о; эта дуга ни в одной внутренней точке не Р',. имеет касательной в направлениях + 45' %' . -.
или — 45'. В противном случае, таком, и как случай, разобранный в конце п. 5 (см. рис. 62), решение получается в нескольРкс. 64. Положе" е ких Областях, причем решен е в каждой точек Р, 'я Р, 'в аааавтичесиом решении области удовлетворяет либо граничным услоеалачи коши. виям рассматриваемого здесь типа, либо условиям типичной задачи Коши, для которой аналитическое решение было дано в предыдушем пункте. В предположениях, приведенных выше, каждой точке Р', расколол«виной внутри треугольника А'В'С' в плоскости спидографа, соответствуют две точки на А'В': точка Р,', имеющая то же значение 5=о+и, что и Р',,и Р;, имеющая то же значение ц =о — и, что и Р'. Точки Р, 'и Р,', соответствуют двум различным точкам отрезка АВ, координаты которых по оси х мы обозначим через х, (6) и х,(ц) соответственно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
