Р. Мизес - Математическая теория течений сжимаемой жидкости (1161654), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Мы обсудиь1 этот вопрос в $ е4. Влево волна разрежения распространяется неограниченно. Когда скорость поршня становится равной и=о (точка Р," и плоскости и, о), скорость частиц, примыкающих к поршню, достигает максимального значения; дальнейшее увеличение скорости поршня приводит к обрааованию между этими частицами и поршнем полости, в которой о = О, тогда как скорости всех других частиц аспмптотически стремятся к величине и = и,.
4. Комбинация простых волн Если в какой-либо конечной области плоскости х, 1 величины и п о постоянны, то течение в любой близкой окрестности границы этой - области может быть только простой волной. Это непосредственно следует из того, что область постояппых и и р Р не. 71. 11спользоннннс двух простых волн длн осужествлс- ннн заданного сжатнн. отобра|кается в одну точку плоскости и, и. Тогда любая близкая окрестность не может отображаться в область в плоскости и, о и должна соответствовать элементу дуги, проходящему через эту точку*).
(Конечно, в понятие простой полны включается и предельный случай однородного течения.) С помощью простой волны можно осуществлять переход от любого однородного состояния и= и„р= й, к другому однородному состоянию и = и„о=й.„если либо и+и, либо и — о имеет *) Более формальное доказательство пронодвтсн так же, кнк н случае даумсрного тсчекнн (сн. н, 18.1) во.о. Колвбииаэип простых волн 2гь одно и то же значеяие в обоих состояниях. (Так как о ке может быть отрицательным, то разность и — и, должна быть меньше, чем ом или больше, чем — о„соответствекко.) Комбинируя бегущую вперед и бегущую назад волны и вставляя между кими од-. нородное течение, можно получить любое конечное состояние. Пример такого течения показан ка рис. 71. Здесь и=О в иачале и в конце движения, ио давление и плотность увеличиваются в соответствии с изменением о от А' до С'.
Однако течение в плоскости х, г ие является единственным, так как обе огибаю цие Е, и Е, прямолинейиых характеристик могут быть зыбраяы произвольно. Единственным ограничением является условие, чтобы критические области, ограниченные для каждой волны двумя продельяыми характеристиками и огибающей, о лежали вяе области течеиия. Для пер- р „с, 72.
осуществление еой простой волны две рассматривае- задавиого сжатия в вазирэгмые предольиые характеристики будут чайшее „время. параллельны отрезкам МА; и МВ; в плоскости и, о; для второй волны зти характеристики параллельиы отрезкам МВ, и МС,'. В пашем примере оо и оо, т. е. ордииаты точек А' и С', относятся как 1:1,2, что при х= 1,4 соответствует степеии сжатия (1,2)': 1 —.5: 2. На рисунке это возрастание давления характеризуется сгущением вертикальных линий частиц в конце течения по сравяевию с его началом. Для того чтобы получить течение, показакяое иа рис.
71, нужно использовать дза поршня, законы движения которых соответствуют первой и последней линиям частиц. Для того чтобы из всех возможных в плоскости х, г течений выбрать одно, с помощью которого заданное сжатие достигается наиболее быстро, мы используем цеятрироваииые волны с центрами, расположенными так, как показало ка рис. 72. (Мы будем отмечать индексами О, 1 и 2, приписываемыми величинам и, о или а, значения эгих величин в исходной, промежуточной и конечной областях однородного течения соответствеи-, яо.) Здесь левый поршень ускоряется до скорости и, = (о, — о,)/2, а затем движется с постоянной скоростью, причем о = ов = = (ох+ оо)/2 до тех пор, пока пе будет достигнуто задаияое сжатие; йравый поршень остается в покое до момента времени г=г,=го/ао, когда до него дойдет первая волна; после этого ов начнет двигаться с начальной скоростью и;, это движение будет замедляться до скорости и, = О.
Степень сжатия равна 1,/(м Интервал времени г (см. Рис. 72) мох<ко вычислить, примеяяя уРавнение (8) ко второй' волне, а время, требугощееся для всего Гл. Н1. Одномерное лмчелле 216 процесса, оказывается равным ") 1=1,+г,= —,' ~1+(, ", ) О помощью комбинации бегущей вперед и бегущей назад волн можно реализовать любую степень сжатия. Далее (и. 14.6) мы увидим, что решение подобного типа не существует в том случае, когда правый поршень все время остается в покое. В качестве другого примера мы изучим взаимодействие (взаимное проникновение) двух простых волн.
Предполагается (см. рис. 73), что при 1=0 в интервале АВ газ покоится, а=О, (16) Р А В Р н с. 73. Взенысдейстзне двух простых волн. АЕРС н РЕ,Р С вЂ” области простых волн, СРСРт — область зеанмсдействнн. о = и . Следовательно, это однородное состояние будет иметь место во всем треугольнике АВС, где АС и ВС имеют наклоны +ас и — а, относительно оси К В плоскости и, и весь треугольник АВС отобразится в одну точку А'. Влево, вдоль АВ, и вправо, вдоль В.О„налагается некоторое возмущение.
По заданным вдоль этих отрезков значениям и и о можно построить их образ в плоскости и, о; это будут кривые А'Р' и А'Ю,' (точка В' совпадает с точкой А', так же как и точка С'). О йомощью методов, описанных в п.12.5 и п.12.7, может быть построена картина течения, соответствующая областям А'.0'Е' и А'Р.,'Е,'. В областях, примыкающих к АС и ВС, течения должны быть простыми волнами, которые переходят в характеристики А'Е' и А'Е; соответственно. Области, в которых существуют эти простые волйы, ограничены прямолинейнылш характеристиками ЕР и Е,Р„которые отображаются в точки Е' и Е,' соответственно, и поперечными характеристиками СР и СР„которые должны отображаться в А'Е' и А'Е,'.
В точке С эти две простые волны встречаются, и задача заключается в нахождении результирующего течения в области взаимного проникновения двух простых 18Х Номбинвция нровтыя волн 217 волн СРс/Ры которой в плоскости и, о соответствует прямоуголь-' ник л«'Я'С'Е о') В этой задаче заданы кривые СГ и СРс в физической плоскости и совместиыые значения и и о вдоль этих кривых, причем о — и=оо вдоль первой пз этих кривых и о+и=оо вдоль. второй. С помощью этих данных мы находим функции а(о) н р(о), входящие в уравнения (12.49), а именно х — и1=а(о) вдоль СР, х — и/=(«(о) вдоль СРо (17) х — и/= а(о) = — ( — — 1 ~; овсов "о 5«оо 5 (18) оо Из-за симметрии всей задачи, которая означает, что функции / и я, введекные в п.12.6, являются одинаковыми, нет необходимости рассматривать р(о) и т. д.
Для удобства мы выберем постоянную С, входящую в формулы (12.54), равной ф /20. Тогда, ввиду того что $, =Ч,=о„формулы (12.54) дают ! (Р= 5 оогоо(о оо)(о 2)= 2Е 16 оо)в б (г«) = 5 оо'оо (о оо) ~о 2 ) 2О "(" о )' *) Тан нак фуннцня /«4), входящая в уравнения «12.47), определяется тельно функцией а «о) «см: формулы ($2.54)), то она представляет влнянпо волны налево, а функцяя я«ц) аналогвчно — влияние волны направо.
Тогда формулы, полученные в 5 12, дают в явном виде решение задачи*), определяя, например, координаты точки С и т. д. Если две простые волны слева и справа являются симметричными центрированными волнами, то вычисления легко проводятся. Произведя, если это необходимо, сдвиг оси х, мы монсен поместить центры волн на ось х и обозначить эти точки через: А и В.
В п.2 было показано «уравнение (11")], что вдоль поперечной характеристики центрнрованной волны величина х — иг пропорциональна о в степени — (3 — х)/2(х — 1), т. е. при х = 1,4 она пропорциональна о '. При выводе этого уравнения предполагалось, что центр волны находился в точке х = О. Здесь я<е, если мы выберем ось 1 проходящей через точку С, ордината которой равна г„ то центры будут лежать в точках х = + ао1 = = +оо1/5 и х= — ао/о= — оооо/5. Тогда значение х в уравнейии (11") йужно изменить на этп величины, так что для левой волны получаем Гн.
1с!. Одн«ыерн«0 нмч«нне Дифферепцируя н интегрируя первое из этих равенств, получаем (20) для ат н я получаются аналогичные выражения. Подставив зтк выражения в уравнения (12,47), после некоторых алгебраических преобразований 22) найдем х — и! = — (и — Зо — о ) »0«Н 2 2 2 !002 0 ~ Эти два уравнения дают значения х и ц соответствующие каждой точке (и, о) прямоугольника А'Е'6'Вс'. В частности, мы находим значения х и 4 для «конца» взаимного проникновения, соответствующие точке С'.
Результаты (20) н (21) могут быть проверены следу!ощип обрааом. Надо вычислить значения х — ис и ! как функций о вдоль характеристик Сг' н Ср'с, положить и = о — о» и и = = — (о — о ) и приравнять результаты соответствующим значениям вдоль поперечных характеристик, определяемым равенствами вида (11') н (110) с поправкой на то, что центры волн не совпадают с началом координат. Кроме того, х — иг удовлетворяет 'дифференциальному уравнению (12.34) при п = —,2, а с удовлетворяет тому же уравнению при п= — 3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
