Р. Мизес - Математическая теория течений сжимаемой жидкости (1161654), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Практические задачи часто бывают такими, что некоторые данные относительно абсолютных скоростей и„ и, известны заранее. В таких случаях мы должны использовать соотношения, которые не содержат относительных скоростей и, и и,. Одним из таких соотношений является уравнение Гюгонио (26), которое может быть записано в виде Р« — ЫЫ+ Р« (26') о — ш ре+е =у Конечно, зтот результат может быть получен непосредственно из соотношения (15) без предварительного введения безразмерных переменных. Если взять для ят выражение (10а), не содержащее с, и подставить это выражение в равенство (10б), то получится Ре — Р« = (ие — ит) ° ее« й.— е (28) *) Эта кривая, предстааляющая зависимость Р, от о«для фиксирован.
ного состояния 1, иногда испольауетсн вместо «ударной аднабаты«, определение которой будет даао а следующем пункте. Исключение йа или о, из уравнений (26') и (28) приводит к соотношению*) (Ре Р ) — 2 (и — и,)'[(у-г1) Ра+.(т 1)РЙ— = О«(и — и )е [(у+ 1) р«+ (у — 1) ра]. (29) ед.д. Представление скачка е плоскости слидоераеда 233 Другое важное соотношение этого типа, связывающее изменение температуры (т. е.
р/9) с (из — и,)з, будет выведено в следуюшем пункте. 5. Представление скачка в плоскости спидографа В п. 12.3 мы видели, что в одномерном течении состояние движущейся частицы в любой момент определяется двумя величинами: скоростью и и величиной о, определенной формулой (12 19); величина о характеризует плотность (и давление) и в то же время имеет размерность скорости. Предполагается, конечно, что для частицы имеет место некоторое соотношение между р и 9 о). В плоскости спидографа (плоскости и, о) непрерывное движение частицы представляется некоторой кривой. В случае простой волны эта кривая для всех частиц будет одной и той же прямой ливией с наклоном +45' илн — 45'.
Когда частица проходит через фронт скачка, изображающая ее точка (и,о) в плоскости спидографа претерпевает мгновенный скачок. Теперь мы будем изучать условия, характеризующие этот разрывный переход. Мы ограничимся случаем, когда скорость звука а связана с р и д уравнением аз=ур/9, где у всюду постоянно. Это допустимо, если движение до скачка и после него предполагается адиабатическим и жидкость является невязким совершенным газом. В этом случае величины о и р/9 будут связаны соотношением 4ас 4т р Г р — 35 — ) (30) (у-4> (т-4)* о ~ е ) (см. формулы (12.19')], а неравенство (9) выражается следующим образом: оз ~ Оп (30') Связь между парами координат и„о, и и„о„соответствующих состояниям до скачка и после него, определяется тремя условиями на скачке (2а), (2б) и (2в). Уравнение (2з) устанавливает непосредственную связь между величинами и н р/д, т.
е. между величинами и и о. Если уравн ние (2б) разделить на т и заменить т на 9,(и,— с) или йз(из — с), согласно УРавнению (2а), то получится второе соотношение между этими . величинами. Следовательно, мы видим, что имеется два уравнения, содержащих пять переменных и„о„и, оз и с. Иначе говоря, существует бесконечное число пар и„о, соответствующих заданной паре ими„или результирующие точки ударного перехода при фиксированной начальной точке (и, оь) заполняют в плоскости епидографа и, о е(елую кривую.
Мы будем нааывать эту кривую ударной адиабатой. *) Тс есть, что плотность однозначно опрелеляетсв давлением: — Прим. ред. 234 Го. !11. Одномерное еоеченое Для того чтобы найти уравнение этой кривой в явном виде, нужно исключить с; это удобнее всего сделать, если исходить пз условий иа скачке, записанных в виде равенств (21). Если в первое из этих равенств ввести величины и и о, то ояо запиш'тся так: (ид — с) (ио — с) =(и,— с) + 2 о',=(ио — с)'+ 2 ом (31) Второе равенство линейно отиосительио с; если из него найти с и подставить в первое равеиство, то условие, накладываемое яа а„о.„может быть приведено к виду (о, *— о,')' — 2(и, — ид)' (о,*+ о,') — У1 е (из — и,)' = О.
(32) 4у Т аким образом, мы получили уравнение второго порядка отиосительно .ДвУх пеРемепвых оее/О' и (ио — и )о1О,'; эти пеРеменные могут быть определевы в парамети рическом . виде ое Ч (Ч+ Ье) о( = Лоч+1 (/ (32') о) ' 2у 1Рт~+1 м,'- где параметр Ч вЂ” отношение давле- иий, введевяое формулой (23)(см. и о. ниже вывод сооткошеиии (33) и (34)). При графическом представлеяии соотиошевия (32) мы, кокеч.
о,о' ко, не рассматриваем отрицательиых зчачеиий о. Мы также пе рассматриваем значения о„ меньшие, чем о„ так как, согласно условию (30'), о,> о,. В результате получается ударная диазрамма и (рис. 77), дающая графическое 4'>О и,'е О представление всех возможиых ударных переходов. Каждая кривая имеет угол, равный 90', з точке (и„ о,) и состоит из всех точек (и„ о,), которые являются возможяыми конечными точками ударного перехода, яачииаеощегося иа состояния, представленного угловой точкой. Правая ветвь, и, > и„примеияется при е > и„а левая, из ( и„— при с < и, (см. стр. 226).
Каждая кривая симметрична относительно вертикальиой прямой, проходящей через угловую точку, и все кривые 1в.б. Пример ееачаа Заиеча Римана асимптотически приближаются к двум прямым линиям, проходящим через точку (и„О), наклоны которых относительно оси и еу2Ж вЂ” 1)=ет1-~е'. е е' е н е скачка, р,/р,=г], й,/й,=$, М; и М,', имеют постоянные значения на любом луче, проходящем через точку (и„О). Действительно, если наклон такой прямой равен Х =р,/(и, †' и ), то (и' — и')е где для получения последнего равенства были использованы соотношения (30) и равенство М',= и,'/а,.
Используя формулы (24) и (25), мы затем находим 2 Ье4 — 1 2у Ч (т[+ Ье) Х вЂ” у 1 ($1) — у 1 (Ч 1) [2умр (у — 1)] [(у — 1) м,'а+21 ьемР (34) (У 1)е (М(е 1)е (1 Мее)е Величины М; для различных лучей, проходящих через точку (и„О), указаны на ударной диаграмме (рис. 77). Полезно заметить, что кривые на ударной диаграмме имеют касание второго порядка с прямыми, имеющими наклон +45' и — 45' и проходящими через угловую точку'а). Заметим, что эти прямые являются изображениями линий частиц в соответствующих простых волнах. Следовательно, в слабом скачке (все отношения близки к единице) параметры состояния частицы претерпевают приблизительно такив оюе изменения, какие они .испытывают в простой волне. Все возможные ударные переходы получаются из ударной диаграммы (см.
рис; 77) путем смещения ее по горизонтали. 6. Пример скачка. Задача Римана" ) Рассмотрим прямолинейную трубку длиной АВ=], закрытую с обоих концов, и предположим, что при 1=0 жидкость, заклю- ченнаЯ в этой тРУбке, имеет постоЯнное давление Р„плотность Рл и постоянную скорость и„направленнуао от А к В. Если мы выбереы в качестве начала координат положение точки А .в момент времени 1 = О, то граничные условия и=и„сз пе при (=О, 0<х<] (35а) могут быть реализованы, если до момента времени 1=0 трубка с заключенной в ней массой жидкости двигалась со скоростью ие как одно твердое тело.
Предположим, что в момент времени 1=0 трубка мгновенно остановилась. Вследствие этого возникают новые граничные. условия и=О при х=О и х=] для всех 1)0. (356) Гл. 1Н. Одномерное течение Итак, условия (35а) определяют единственное и непрерывное решение в каждой точке внутри характеристического треугольника АВС, в котором стороны АС и ВС имеют относительно оси г наклон, равный и, + а, и и, — а, соответственно (а, — ско- рость звука, соответствующая о или Рсс йс).
На рис. 78 это решение представлено семейством параллельных линий частиц с наклоном и . Этот рисунок сделан в предположении, что скорость и х является сверхзвуковой, так что обе ско- рости и„+ас и и — а, будут положитель- Ркс. 78.3адачаРкмапа. ными. В етом случае сразу ясно, что такое непрерывное.
решение будет несовместимо с граничными условиями при х=1. Таким образом, должно быть найдено течение, которое содержит линию скачка. В плоскости спидографа (см. рис. 79) точка Р, с координатами и„о, соответствует целой области физической плоскости, Ю в которой величины и и о остаются постоянными. До тех пор пока выполняются законы непрерывного движения, любая смежная область может х В Р к с. 79. Решение задачи Римана дс момеата пересече- ния скачка с простой волной. отображаться только в кривую, проходящую через точку Р„в мы видели в и.
13.1, что такая кривая неизбежно должна быть характеристикой, а соответствующее ей течение — простой волной. Линия Р,Р, с наклоном +45', оканчивающаяся в точке с абсциссой и,=О и ординатой о, ( о, соответствует решению для области, примыкающей к прямой АС слева. На рис. 79 показана центрированная простая волна в плоскости х, ~ (волна И.д/, Пример скачка.
Задача Римана и, = (у — 1) о,/2 = (у — 1) (о„— и,)/2, вдоль которого скорость равна нулю, распространяется простая волна *). В том, что о, = о, — ио, можно убедиться, вычислив ординату точки Р, на рис. 79. Соответственно уравнение линий частиц [см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
