Р. Мизес - Математическая теория течений сжимаемой жидкости (1161654), страница 50
Текст из файла (страница 50)
85. Дискретная модеаь яеустаноаяашегося одномерного течения вязкой явлдкостя. о,=р,(и,— ио)/(х,— т). Это уравнение содержит также р„, и чтобы сделать систему уравнений замкнутой, мы добавим (2п+ 1)-е уравнение, определяющее р;. — — ' ((у — 1) ос — уре]. (13') Таким обрааом, мы имеем (2п+1) дифференциальных уравнений для (2п+1) неизвестных, хы х,..., х„; р, р„р,..., р„, как функций и Для интегрирования системы (13) требуется, кроме граничных Условий х,(1) и хи+в (1), заДание 3п начальных значений х, (О), и„(0) и ре (О). Начальные условия исходной задачи заданы в виде трех функций и (х), ре(х) и ое(х).
Последняя иэ этих функций служит для определения величины т и начальных абсцисс хе (О). Например, можно построить интегральную х кривУю 1 ас(х)дх ф(х),начинаЯ, скажем,созначениЯх=х (0)=0 'с до значения х=х„е~(0) =-1, и взять в качестве хе(0) абсциссу точки, лежащей на этой кривой и имеющей ординату т ф (1)/(и+ 1).
Тогда масса, ааключенная внутри каждого из п+1 интервалов, начиная с х=х,,(0) до х=х,(0), 1=1,2,..., п+1, будет Гл. ///. Однолоорноо оы»онио 252 равна ф(1)/(и+1), и эта величина берется в качестве массы т каждой из частиц. И, наконец, мы имеем и (О) = и (х, (О)) и р» (О) = ро (х» (О)) для т = 1, 2,..., п.
Итак, процедура вычисления следующая. При /=0 правые части всех уравнений (13) и (13') известны, и из них определяются начальные значения величин о(ро/оМ, Ып~/ооо и др»/Ж, причем Их,/<Й=п,(0). Взяв малый интервал времени Ьг и предположив, что скорости изменения величин остаются постоянными в этом интервале, мы сможем вычислить значения величин р„ х», р„и и» в момент времени /=Ьо для всех т=1, 2,..., и. От только что найденных значений мы вшжем перейти к вычислению значений для /=2Л/ и т.
д. Техника численного интегрирования дает определенные правила улучшения точности этой процедуры путем использования последовательных приближений. Другие правила, которые надо соблюдать, касаются порядка величины интервала /ог относительно размера отрезков (х»+1 — х») и т. д. Однако эти детали не могут быть здесь рассмотрены "). 5. Некоторые замечания о применимости метода, изложенного в предыдущем пункте Если только что описанный метод последовательного интегрирования применяется к случаям, где граничные условия не приводят к возникновениоо скачка, то серьезных трудностей не возникает. Если для м используется эмпирическое значение, такое, как указано в п. 11.5, то оказывается, вообще говоря, что влиянием вязкости практически можно пренебречь. Поэтому в системе (13) можно пренебречь членами, содержащими а, и рассматривать упрощенную систему ои Ш вЂ” = ш аЧ (о=1,2, ...,и), (т=0,1, ...,п).
Р» — 1 Р» (15) и „вЂ” и УР» ~»+о» В частности, когда течение первоначально является изэнтропическим, это дает численное приближение к решению, аналитическая форма которого была, также дана в п. 12.4. Однако приближенный метод должен использоваться всякий раз, когда граничные условия не приводят к явным выражениям для функций / и я, входящих в общий интеграл (12.42).
Тогда решение задачи, если оно существует, будет находиться непосредственными вычислениями из уравнений (15). Однако в п.14.1 мы видели, что при некоторых граничных условиях решекия дифференциальных уравнений течения идеальной жидкости не существует. В таких случаях проведение 1д.д. Неиоторие еаесечаниа о прииенимое>пи иеспода 253 с~р ди УР де дх сси др сес дх ' (16) не основываются на предположении, что р/от постоянно во всем потоке (это предположение было бы неприемлемо в случае криволинейных скачков). В самом деле, система (15) была получена из системы (10) при о=О, и третье уравнение системы (10) тогда устанавливает только, что величина р/от остается постоянной вдоль каждой линии частицы (си.
также следусощий пункт). С другоп стороны, ясно, что использование полной системы (13), которая содержит члены, связанные с вяакостью, или даже уравнений, содержащих члены, связанные с теплопрсводностью, будет иметь успех. Как упоминалось в п.141, введение понятия об областях идеальной жидкости, разделенных линиями, вдоль которых выполняются условия на скачке, является только. удобным приемом для представления с определенной степенью приближения решений уравнений (10) течения вязкой жидкости с малым Ро.
Если бы было возможно найти точные интегралы системы уравнений (10), удовлетворяющие заданным граничным условиям, при эмпирически определенных значениях рш то такие интегралы давали бы более реальные картины течений, включасощие узкие области, внутри которых переменные и, р и о резко меняются. Таким образами, ьсоясно было бы оясидать, что приближенный ') Воаможко, атот метод может быть иоскрешек теперь, когда быстродействующие вычислительные машины могут выползать сваааккыа с ким вычислекиз. процедуры вычисления, основанной на системе уравнений (15), привело бы к противоречию или к расходимостн процесса при увеличении и и уменьшении Ье 'о). для этих случаев можно попытаться ' применить принцип, изложенный в и.
14.1, т. е. предположить, что все течение состоит из областей, где применима теоРия идеальной жидкости, разделенных линиями скачков, вдоль -которых имеют место разрывы, определяемые условиямн на скачке. Например, в задаче Римана, упомянутой в начале предыдУщего пУнкта, пРедполагалось, что пРн е ) ео картина течения включает криволинейный скачок, выходящий яэ точки Л в неизвестном направлении (которое определяется его наклоном с относительно оси г). Тогда видно, что уравнения (15) вместе с условиями на скачке позволяют нам вычислить с и значения и и р для момента времени Г + сае и т. д."). Однако эта процедура является громоздкой, н, хотя некоторые попытки находить решения таким обрааоы были сделаны, кажется, что от нее следует откаааться *).
Нужно отметить, что уравнения (15) нли соответствующие нм дифференциальные уравнения 254 Га. Ш. Одномерное течение интеграл системы (10), полученный с помощью соотношений (13) и (14), даст хорошее приближение к картине течения. Однако при попытке найти этот приближенный .интеграл системы (10) возникает следующее затруднение. Когда дифференциальное отношение, такое, как дп/дх,'заменяется разностным отношением (и + ~ — ич)/(хо+ е — х ), то разумное приближение получается только в том случае, когда интервалы (хо+1 — хч) являются малыми по сравнению с любым интервалом, на котором и испытывает ощутимое изменение (см.
рис. 86). Это означает, что внутрь переходной области должно попадать по крайней мере несколько значений хч .Но в и. 11.3 мы видели, что при обычных условиях толщина пее'е .реходного слоя имеет порядок 0,1 мм или еще меньше. Однако даже на самых лучших вычислительных машинах, существующих в настоящее время, едва ли возможно работать с ннтервалами, измеряемыми сотыми долями миллиметра. Один из удобных путей преодоления этой трудности состоит в том, чтобы увеличить величину йю входящую в уравне- Р я с.
86. Авпроксима- ния (13) ее). Если, например, ро берется цвя двИеренпкальвмх в сто раз больше, чем экспериментально отношений рааво . Определенное значение, ы все же нахо- дим, что в большей части течения едва ли сказывается влияние членов соответствующих вязкости. С.другой стороны, появляющиеся переходные области имеют в этом случае толщину порядка 10 мм. Они хорошо поддаются расчету, основанному на интервалах. порядка 1 еем.
Важно отметить, что при малых значениях ро соотношения между начальными и конечными значениями параметров в этих областях практически являются условиями на скачке, и Ътя условия не зависят от но 6. Течецне невязкой жидкости за криволинейным скачком В простом случае прямолинейного скачка течение, которое было однородным до скачка, остается изэнтропическнм и после него. Теперь мы рассмотрим более общий случай, когда в одномерном течении точка разрыва движется с переменной скоростью с. В плоскости х, е это соответствует криволинейному скачку. Предполагается, что движение перед скачком является однородным.
После скачка оно не будет больше изэнтропическим, так как величина мгновенного изменения энтропии при ударном переходе для каждой частицы зависит от мгновенной скорости с точки скачка в тот момент, когда эта частица достигает линии перехода. 1д.д. Течение еа ириеоеинейниее ехачхоее Теория течения невязкой жидкости, развитая в ~ 12 и 13, основывалась на предположении, что замыкающим уравнением для течения является единое для всего течения соотношение между р и 9.
Это перестает быть верным для течения после скачка, так как различные частицы имеют различные значения энтропии. Условие адиабатичности течения для области за скачком приводит, как было показано в и. 1.5, только к условию — =-О сЫ ~с= (17) Будем поступать так же, как в $12; но на этот раз вместо единого для всего 'течения соотношения воспользуемся менее ограничительным условием (17). Точно так же, как в и. 12.2, первое уравнение может быть удовлетворено введением функции частицы чр(х, д), такой, что 9" = — д дф дчэ (19) дх ', до При подстановке чр(х, д) во второе уравнение (18) его левая часть, как и в п. 12.2, примет вид во выражение для правой части на этот раз уже не будет столь простым. Замыкающее уравнение (17) выражает то обстоятельство, что функция 8 (р, о) остается постоянной вдоль каждой линии частицы. Таким образом, Ю (р, д) является функцией от ф, определяемой граничными условнями (в данном случае условиями вдоль скачка).
Из соотношения Ю(р, р) =Р(чр) мы получаем — — + — — = Г' — = Р'9. м д1 дг до,дэ др дх до дх дх (2а) Здесь Р' — производная ст Р и поэтому также является известной Функцией. Если бы функция Ю была одинаковой для всего течения постоянной, то мы имели бы Р'=О. Естественно ввести где Ю (энтропия или заданная функция от нее) является известной функцией р и 9. Для изучения течения невязкой жидкости за скачком — или любого течения невязкой жидкости, для которого р является заданной функцией о только для каждой линии частицы,— мы должны вернуться к уравнению (11.2).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
