Р. Мизес - Математическая теория течений сжимаемой жидкости (1161654), страница 53
Текст из файла (страница 53)
Уравнения для потенциала и функции тока Дифференциальное уравнение для потенциала безвихревого течения невязкой жидкости в самой общей форме было выведено в п.7.2, а затем в п.7.5 оно рассматривалось для плоского Установившегося движения. Заменяя Ф на 1Р, перепишем уравнение (7.31) в следующем виде: (14) Здесь ) В .8.! а у р Рассматривалось для случая общей связи р з о, а в п.8.3 — для полятропзческой. где р„о„а„— некоторые соответствующие значения р, д, а, показывает, что р, о и также р/й (ввиду того что х ) 1) обращаются в нуль при д = в7 .
С помощью соотношения для политропы и уравнения (9') соотношение между давлением и скоростью [сьь формулу (8.28)] примет такой вид: 268 Гл. 1У. Плоское чстаногившеесх потенциальное течение причем а' должно определяться равенством (9). Из условий (15) следует, что , =д, — =о. д~р дФ (15') дг ' дл Чтобы непосредственно вывести уравнение (14) и в то же время получить его вид в естественной системе координат, введенной в п.1, используем первое уравнение (7) и условия (15'); мы найдем спр = 61т с1 = — + о — = М вЂ” = М вЂ”; дд ' дд г до г деев дг дл дг дгг (16) поскольку оператор Лапласа ссср в выбранной нами системе координат равен сумме вторых производных, то равенство (16) дает д„~ =(М' — 1) д,г .
(16') Если, с другой стороны, в равенстве (16) заменить ог дд/дг на дд(дг/2)/дг и подставить вместо пг значение (15), а дд/дг заменить через д„д/дх+д„д(ду, то сраау найдем что совпадает с уравнением (14). В случае плоского движения возможен и другой подход. Вместо того чтобы удовлетворять уравнению (2) при помощи введения функции ср, можно удовлетворить уравнению (1), если положить *) ЕЕи=. д дву дгР ЕЕ =ду Следовательно, дц 1дР дх Е ду пли в естественной системе (17) 1 дву дх (18) координат дср дл д~р 1 д~у 1 двР (18') дв Е дл Функция гр, называемая фупксрием тока, обладает тем свойством, что ее гиочеппе постоянно вдоль линии тока; действительно, используя уравнения (15') и (18'), получим дву дй =о, — =ее.
дг ' да (19) ') Если надо, чтобы у н вР имели олннаковую раамерность, то следует положить Еда= Е, двр(ду, Еди — — — Ео двр/дх, где Е,— некоторая характерная плотность. В соответствии с замечанием, сделанным е конце п.1, мы будем считать Ее=Ее=1. 16.2. Уравнении длл погпенциала и функции пгока 269 дР дг (нгп) н дг В то же время уравнение Ншотона в проекции на направление п дает дгцг 1 др аг до (20) дгг о дп у дп ' где, как и ранее, аг=др(г(д.
Используем второе выражение для дгг(г/двг в зтих двух последних уравнениях н условие отсутствия вихря (7) в форме дд„(да =дд(дп, тогда будем иметь (М' — 1) — = д — +Š— = — = — ' дгф до дд д Щ) дггУ двг дп дк дп дпг (20') Таким образом, г(г удовлетворяет такому же уравнению в естественных координатах, что и у (см. уравнение (16')). Если теперь в уравнении (20') заменить величину д(йд)/дп на (1щ)д(г/ рвов)/дп, величину рвгк на (дгр!дх)г+(дгр/ду)в и величину д д)дп на а„д(ду — овд(дх, то получим д — =д — — 2д д — +дав г дгг9 г дггд дгг9 дгф дпг к див к к ди ду дуг Кроме того, дгй дггд дггз д~ф М= + — = — +— дгг дпг дхг дуг Таким образом, уравнение (20') может быть записано в следую- щем виде: двгу Г уег ~ дгг9 угук двгу / уг 1 — ( 1 — — — 2 — — + — (1 — — 1=0.
даг ( аг ~ . даду аг дуг (, аг/ (21) Данное уравнение имеет такой же вид, что и уравнение (14), однако эти уравнения нельзя применять одинаковым образом. Дело в том, что а' выралгается через производные <р несложно Последнее равенство показывает,' что г(гр представляет собой расход массы жидкости через поперечное сечение трубки тока, имеющей единичную ширину и ограниченной линиями гу и гр+ г(гр. Уравнения (18) и (18') показывают, что линии ~р = сопз1, называемые зпвипотенциалъными линиями, ортогональны линиям тона гр = сопз1. Покажем, что функция гр удовлетворяет дифференциальному уравнению второго порядка, которое аналогично уравнению (14).
Чтобы показать это, вычислим дггр/дгг. В соответствии с определением 'г)г (см. формулы (17)] получим следующий результат: 270 Гл. е'в'. Плоское Лоаановививеесл иовиензиалоное течение при помощи равенств (9) и (15), а связь между а' н ф оказывается не столь простой*). Можно сделать еше несколько дополнительных замечаний. Существование потенциала зависит от предположения об отсутствии вихрей.
Что касается функции тока, то она определяется всегда справедливым уравнением неразрывности во всех тех случаях, когда зто уравнение является по существу двумерным. Это имеет место для задачи, рассматриваемой в настоящей главе, а также для трехмерного течения с осевой симметрией (см. п.7.7). Если ось симметрии направлена по х, а направление у взято вдоль радиуса, то уравнение неразрывности для осеснмметричного течения будет иметь вид д д дх Ыр.)+др (Уйри)=0 а функцию тока можно определить так '): дг двР ЕУ).= д„, ЕУ()„= —, Мы не будем рассматривать осесимметричную задачу, хотя для нее многие результаты и методы оказываются совершенно подобными соответствующим результатам и методам решения плоской задачи (см.
п.9.4). Однако для неустановившнхся течешш сжимаемой жидкости в отличие от положения, имеющего место в теории несх<имаемой жидкости, функцию тока ввести нельзя. Между неустановившимся одномерным течением, рассмотренным в гл. П1, и плоским течением, рассматриваемом в данной главе, существует широкая аналогия. В обоих случаях уравнения вадачи образуют систему двух однородных нвазилинейных дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка, причевв коэффициенты этих уравнений содержат только зависимые переменные о, и и д„, д соответственно;такие системы иногда называют «приводимыми».
Йоэтому в обоих случаях прн помощи замены переменных можно получить в плоскости спидографа пли в плоскости годографа линейную систему. Потенциал и функция частицы, введенные п.12.2, соответствуют в рассматриваемом плоском течении потенциалу и функции тока, а уравнения (12 11') и (12.12'), очевидно, аналогичны уравнениям (14) и (21) данного пункта. Задача об одномерном неустановившемся течении, которая всегда является гиперболической (всегда сугцествуют действительные характеристики), математически соответствует, как мы подробнее покажем в дальнейшем, задаче о сверхзвуковом плоском течении.
В общем же случае плоского уста- ") Им првзелп пастоящпй вывод уравнения (21), ввиду того что оно ппеет общий характер (см. п.24.2), охватывая в те случаи, когда пе предполагастсн, что ввхрн отсутствуют. 76.0. Доеевкоеое и ееерк*епкоеое елелелие 271 новившегося течения с дозвуковыми и сверхзвуковыми скоростямп мы должны ожидать трудностей, не существующих в случае одно- мерного неустановившегося течения'). 3.
дозвуковое и сверхзвуковое течение. Характеристики е) Применение общей теории характеристик, развитой в $ 9, к уравнению для потенциала (14) приводит к следующим резуль- татам. Это уравнение является эллиптическим (т. е. оно не имеет действительных характеристик) в области, где а меньше местной скорости звука с а(М(1). Если же д)а (М)1), то это уравнение является гиперболическим и ли- нни, пересекшощпе линии тока под углом + а (где в1п а = 1(М), будут характеристи- ками (линиями Маха). Изменение типа урав- о пеняя происходит прп у=а (М=1). Ниже % мы дадим краткий вывод этих результатов, который основывается только на уравнении (7) н не зависит от предыдущих рассуждений.
Предположим, что по одну сторону некого- Р в с. 88. Определо- рой линни Ж (рис. 88) известно распределение вве точоввя по дме- скорости, удовлетворяющее уравнениям (7). Можно поставить вопрос о том, яри каких условиях здесь можно определить течение по другую сторону от линии 2'. Очевидно, что производные о и 0 по направлению вдоль Я известны.
Если Ж пересекает линию тока в точке Р под углом р, то зти известные величины будут равны (через д(д( обозначена производная по направлению в) до до , до . дв дз , дв — = — сов(3 + — вш ~, -- = — сов () + — вш ~. (22) де де до ' д( де дл Если, воспользовавшись уравнениями (7)., заменить производные от 0 на производные от о, то уравнения (22) сведутся к двум линейным уравнениям относительно да(дг и дд(дп, а именно: — сов р + — в1п р = —, дд аг, дз де дл де — (М' — 1) в1пр+ — сов() = о —.
(22') ! сов р вшр , . б б -— 1 — М'в)п'~=О. Этп уравнения имеют единственное решение всегда, кроме того случая, когда детерминант, составленный нз их коэффициентов, обращается в нуль, т. е. когда Г.е. Е «. Плоское устаноеиеи~еесл Потенциальное те«ение Если нз системы (22) исключить при помощи уравнений (7) производные от о, а затем разрешить два полученные уравнения относительно дО(дг и дЦдп, то получится то же самое условие. Приведенные результаты следуют также из уравнения (10.2'), если в нем х, у, и, о и ф заменить на г, и, 8, о и (). Итак мы можем сделать следующий вывод: величины о и 8, заданные вдоль некоторой кривой Я, определяют, вообще говоря, производные первого порядка от о и 8 в каждой точке на Я; однако если прп М ) 1 кривая Ж пересекает линии тона под углом, синус которого равен ~ 1/М, то такое определение невозможно.
В последнем случае'вдоль участка такой линии Х можно «склеввать» два любые решения дифференциальных уравнений в частных производных (7), которые имеют на этой линии одни и те же значения переменных о и 8. Действительно, производные д и 8 по какому-нибудь «внешне»«у» направлению, т. е. направлению, не совпадающему с Х, не определяются заданнымп на Я значениями и дифференциальными уравнениями; следовательно, эти производные могут быть различными с обеих сторон этой линии. Например, в $ 18 мы увидим, что равномерное теченис, имеющее линиями тока параллельные прямые, может быть продолжено как течение с искривленными линиями тока тогда н только тогда, когда этот переход будет иметь место вдоль такой линии, которая пересекает линии тока под углом Маха а =агсзш 1/М (см.
рис. 44). (Здесь эта линия Х, вдоль которой «склеиваются» два течения, является прямой линией, так как в области равномерного потока д, а и, следовательно, а на такой линии постоянны.) Линия, направление касательной к которой в каждой точке получается поворотом вектора «) на угол а в положительном направлении, называется характеристикой (или линией Маха) С', а та линия, направление касательной к которой в каждой точке получается поворотом вектора ц на угол а в' отрицательном направлении, называется характеристикой (линней Маха) С . Обозначим через «О" угол, который характеристика С' образует с некоторым фиксированным направлением, скажем с осью х. Аналогичный угол для характеристики С обозначим через р .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
