Р. Мизес - Математическая теория течений сжимаемой жидкости (1161654), страница 54
Текст из файла (страница 54)
Тогда, отсчитывая угол 8 также от оси х, мы получим следующие формулы для определения направления характеристик: «8'=О+а, р =Π— а, (22) Мпа= —, или сода=)/ М' — 1. М ' Здесь а зависит только от М или, согласно форв«уле (10), от д. Эти формулы ясно показывают, что направление характеристик зависит от рассматриваемого решения о, 8«). 16.д, Доввуиовое и ееериввуиовое течение 273 Поскольку з1п а меньше единицы (всюду за исключением звуковой точки) и неотрицателен, то положительное направление на каждой характеристике можно определить как такое направление, которое образует острый угол с вектором скорости. Очевидно, что задание в некоторой точке двух положительных направлений характеристик (за исключением той точки, где М = 1) эквивалентно заданию «). Иначе говоря, распределение скорости в некоторой области однозначно определяется двумя семействами характеристических направлений.
Из общей теории мы уже знаем, что на характеристике (в отличие от нехарактеристических линий) значения д и 9 не могут быть заданы произвольно. Действительно, из уравнений (22') мы найдем ду д1 — сова — д — з(п а = — (соз () соз а — (М' — 1) з1п р е(п а] +.. дз . ду д1 ' дв + — [з(в р соз а — соз [) з! и а]. дд ди Так как М' — 1=с19еа, то оба выражения, заключенные в квадратные скобки, обращаются в нуль при р = а, т. е. в том случае, когда д/91 относится к дифференцированив5 вдоль характеристики С'. Таким же образом можно увидеть, что сова дд/91+ о Ива дд/д1=0, если 9791 относится к характеристике С . Значит, мы имеем следующие соотношения между производными от д и 0 вдоль линии Маха (смысл вновь введенных обозначений очевиден): дд — =9$да— дГ в или [см.
также равенства (9.17)] — =9$9а вдоль С', — = — 919а вдоль С'. (24) 91 ЫВ Ф НВ В декартовых координатах, полагая д„= и и д„= о, из равенств (9.15).или непосредственным вычислением получаем ( )- — ) = — с19(9 г а) вдоль С-. до ~а Ыи ) (24".) Уравнения (24) являются соотношениями совместности, которые з общей форме уже были введены в п.9.
3. и подробно обсуждались в п.10.2 для случая Ь = л = 2. Они связывают между собой производные от зависимых переменных на характеристиках С' н С соответственно. Эти уравнения показывают, что вдоль характеристики 0 является функцией в7 и однозначно определяется при задании д и 9 в какой-нибудь одной точке этой кривой. Мы .йидим, что здесь в отличие от линейного случая характеристика.может быть любой заданной геометрической линией.
18 Р. миеее 274 Гл. 7'е'. Плоское уетоноеиешееел потенциальное течение вдоль которой задаются такие совместные значения зависимых переыенных, чтобы эта линия представляла собой характеристику. Мы подчеркнем здесь следующее положение (несмотря иа то, что оно следует из общей теории (8 9 и 10), а также из выкладок, проведенных в начале этого пункта): в установившемся плоском потенциальном баротропном течении линии тоне не являются исключительными кривыми, или характеристиками; единственными характеристиками здесь будут линии Маха.
4. Основные краевые задачи Роль, которую характеристики играют при решении краевых задач (см. п.10.2 и 10.3), можно в рассматриваемом нами случае пояснить тан. Пусть вдоль дуги АВ заданы значения д и 8 (задача Коши) таким образом, что нн в одной точке направление кривой АВ не со совпадает с направлением характерпс- А' е тик. Это означает, что ни в одной точке л, Л, угол между атой кривой и осью хне равен 9+ а (д) или 8 — а (д), где а (д) — из6п ' е зестная функция д, которая зависит от 77 связи между р н де). Рассмотрим на АВ две близкие точки 1 и 2 (рис.
89) и проведем через них характеристики, точнее отрезки прямых по направлениео характеристик. (Зная д и 9, мы внаем и направления характеристик 9 ~ а.) Эти характеристики пересекутся в точке 3, находящейся выше кривой АВ, и в точке 4, лежащей ниже этой кривой. Считая отрезки 1-2, 1-3 и 2-3 бесконечно малыми и пренебрегая членами высших порядков, мы получим из системы (24) де — д, = +(8,— 9,) д,1яап д,— д,= — (9,— 9,) д,зяа, (25) (обозначения, которыми мы пользуемся, не нуждаются в пояснении). Для точки 4 в уравнениях (25) берутся обратные знаки. Искомые величины де и 8з могут быть определены из системы (25). В самом деле детерминант системы (25), равный д, Фяа,+де1яат, отличен от нуля, так как 1иа не может менять свой анан.
Таким образем, отправляясь от ряда выбранных, близких одна *) Этот пункт с математической точки зрекип представляет собой кепосредстяевкое приложекие'теории, давкой в пАО.З, к задаче о вашем течении. Чтобы избежать перерывов з иеложекии, мм отсылаем читателя за более точными формулировками, коммеятариями и аамечакиями к 8 10. 16А. Основные «раевые вада«и 275 и другой точек на АВ, можно по заданным значениям д и 8 на АВ определить эти величины во втором ряду точек на А'В'.
Продолжая этот процесс, можно определить величины а и 8 во всех точках сетки внутри криволинейного треугольника АВС, где АС и ВС вЂ” характеристики, причем одна из них принадлежит к семейству С', а другая — к семейству С . Это возможно при условии, что данный процесс не оборвется раньше, а такая вещь может случиться, если направление линий А'В', А'В', ... приблизится в каном-либо месте к характеристическому направлению (см. п.10.3).
Однако из-за того, что АВ является нехарактеристической линией, и из-эа непрерывности всех рассматриваемых здесь функций это может случиться только на конечном расстоянии от АВ. Все эти положения, разумеется, применимы также и и треугольнику АВЮ, расположенному ниже дуги АВ. Рассмотрим теперь второй случай, когда условия Ь'аиви заданы вдоль л» двух пересекающихся линий АВ и АС, С одна из которых в характеристика. С Положим, что АВ представляет собой характеристику С, а дуга АС неха- с-' рактеристичесной ливии целиком лежит в угловой области между АВ и характеристикой С', проходящей я чеРез А.
ЗначениЯ 8 и 8 Дслжны быть р 99 з д Р н с. 90. Задача с условия- заданы вдоль АВ таким образом, мн, ааданнымн на двух пере. чтобы в каждой точке угол этой харак- секаюншхся линиях, одна теристики с осью х равнялся 75 = нз которых является харак= 8 в а и чтобы выполнялось вто- теристнной. рое равенство (24). Следовательно, если задана геометрическая форма АВ, то при этом можно задать еще аначение а или 8 только в одной точке линии АВ; тогда а и 8 будут определены вдоль всей линии АВ. Предположим 'далее, что вдоль АС заданы одна из величин 8 или а (или некоторая составляющая «().
По заданным на АВ величинам можно построить начальные элементы характеристик С" во всех точках АВ (рис. 90). Предположим, что зти элементы проведены от точек дуги АВ тан, что они направлены н АС. Пусть точка 1 является ближайшей и А. Элемент характеристики, проведенной через точку 1, будет пересекать динию АС в некоторой точке 3. По одной заданной в точке 3 йелвчине и уравнению д,— д,=(8,— 8,) а, ьди, можно ог(ределить вторую величину в этой точке, т. е. цы моЖем опфЩйить кяк 8„таи-и а . Это позволит нам.найти начальный учйбвввМ 3-4 характерисФики С, проходящей через' точку 3, вде 276 Гл.
1 в'. Плоеное истоновившеесл нотснциольное течение а соотношения совместности, примененные к отрезкам 3-4 и 2-4, дадут величины дв и 0 . Таким же путем, шаг за шагом, можно весь четырехугольник АВВС (где СР и ВР— характеристики) заполнить сеткой точек, в которых и будет известно. Когда линия АС также представляет собой характеристику (в данном случае характеристику С'), требуется небольшое видоизменение этого метода.
Если из двух пересекающихся заданных геометрически кривых одна является характеристикой С', а другая — характеристикой С, то ни 0, ни о не могут быть заданы произвольно ни в одной точке этих кривых. Эти величины находятся по двуи формулам для направления характеристик и по двум соотношениям совместности, причем де и 0л вычисляются по двум формулам для направления характеристик в точке А. Последовательное построение сетки внутри характеристического четырехугольника АСС аналогично проведенному выше построению, а также схеме, описанной в з 10. Для примера рассмотрим течение в канале АВСЮ (рис. 91). Предположим, что распределение скоростей вдоль линии АВ на входе в канал определяет независимо ет формы стенок сверхзвуковое течение в треугольнике 1. Поскольку стенки являются линиями тока, то мы знаем вдоль них во угол 0.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
