Р. Мизес - Математическая теория течений сжимаемой жидкости (1161654), страница 52
Текст из файла (страница 52)
Подобное рассуждение может быть проведено для второй пары уравнений (34). Функция 6(вр) снова либо является постоянной, либо определяется формулой (35). Теперь И", заменяется функцией И',=ивр+ер — $+ ( — ) Если найденное выражение приравнять единой для всего потока постоянной, то мы придем к неизэнтропическим простым волнам второго типа; разность о — и приравнивается единой для всего потока постоянной, как и в случае изэнтропического течения. Мы можем ввести новые переменные а и р с помощью равенств а = И'„р = Ив .
Для течений, не являющихся простыми волнами, эти величины вшгут быть выбраны за новые независимые переменные. Два семейства кривых а=сопзь, р=совзь в плоскости вр, р являются характеристиками, так что переменные а и р играют роль, аналогичную роли переменных $ и ц в $12. Можно показать, что в этих новых переменных функции 1/вр, 1/р, и и ~ удовлетво- 2В2 Гл. 111.
Одномерное течение ряют линейным уравнениям второго порядка вида д'е„н г дон д*н "г дада а — й~ да дб ( При у=',',. мы имеем и=-3 для х„=1/ф, п= — 4 для г„=11р, и=4 для х„=и и и= — 3 для г„=с. При произвольном у мы имеем п=М, и= — (Аг+1), и =(гг'+1) и и= — ггг соответственно, где М = (7+ 1)/2(у — 1).
Аналогия с уравнением (12.34) становится очевидной,' если уравнение (12.34) переписать, взяв в качестве новых независимых переменных характеристические переменные а=о+и н гг=о — и (сы. уравнение (12.43)). Таины образом, для распределения энтропии (37) уравнения, описывающие движение, при соответствующей залгене независимых переменных могут быть заменены линейным уравнением для 1/г(г, 11р, и влн 11 зто линейное уравнение будет иметь такой же вад, как уравнение, рассмотренное в п.12.4.
С другой стороны, те же самые выводы относительно характеристик, определяемых уравнениями (34), могут быть получены пз рассмотрения уравнений (17) н (18) как квазилинейной системы трех однородных уравнений первого порядка для и, р и й. Для этой цели уравнение (17) перепишем в соответствии с формулой (9.24) следующим образом: иР гй1 — — а — =О. дг т Тогда общая теория характеристик, в том виде как она развита в 1 9, приводит к выполнению на характеристиках условий (34). ГЛАВА 1Н ПЛОСКОЕ УСТАНОВИВШЕЕСЯ ПОТЕНЦИАЛЬНОЕ ТЕЧЕНИЕ 5 16. ОСНОВНЫЕ СООТНОП1ЕНИН 1.
Исходные положения В этом параграфе мы будем рассматривать плоское установившееся безвихревое баротропное течение невязкой жидкости, пренебрегая влиянием силы тяжести. Основное предположение для установившегося плоского течения состоит в товм что все величины здесь не зависят от з и Ь а д,— составляющая вектора скорости и в направлении г-равна нулю. Составляющие скорости и являются, таким образом, функциями координат х н у.
Соотношения, справедливые для этого типа движения, либо уже приводились при. обсуждении различных вопросов и гл. 1 и 11, либо могут быть выведены из результатов, полученных з этих главах. Однако для удобства читателя мы начнем здесь с вывода основных уравнений нашей задачи, не используя прп этом предыдущих результатов, за исключением, конечно, самых основных законов. То обстоятельство, что движение в плоскости х, у является установившимся, приводит уравнение неразрывности (1.П) к виду д(ау ), д(оу ) дх ду а то обстоятельство, что движение является безвихревым, выражается уравнением ау ад„ (2) Оба этих уравнения могут быть преобразованы таким образом, что они не будут зависеть от выбора осей координат.
Обозначим через д/дз дифференцирование по направлени1о вектора скорости ч, а через д1дп — дифференцирование по направлению, ~~~тавляющему угол в 90' с первым направлением. Если в неко- 264 Гл. 1 с'. Плоское установившееся потенциальное течение торой точке Р направления х и у отождествить с направлениями в и и соответственно, то уравнения (1) и (2) примут следующий вид: до дв, ддп дап дд Š— +Š— +Š— п=О, дв ' дв дп ' дв дп —" — — =О, так как в точке Р мы будем иметь о„= д, оопп о.
Несмотря на то, что д„=о, производные от до = дп при этом не равны нулю. Линия тока о„=оаВ Р с(, Р и с. 87. Ливия тока и нормаль. Если через 9 обозначить угол между и и некоторым фиксированным направлением, то, как видно по рис. 87, приращение Ез будет равно дс)9; следовательно, ддс ддп дз 8 дди дап да дх дв дв П ' ду дп дп ' где 1)тв = дд(дг обозначает кривизну, а  †ради кривизны линии тока. Тогда уравнение неразрывности (1) н условие отсутствия вихря (2) соответственно примут вид ад аа — — д — =О, а~ а. (4) или (.а 8) — — = О. (4') доке) + д()ва) + дз дв дв дп В систему (4) входит еще переменная Е, но она может быть исключена следующим образом. Мы предполагаем, что течение является баротропным, поэтому между давлением р и плотностью Е имеется известная связь.
Значит, существует производная сер/НЕ, которую мы уже раньше обозначили через а', где 1д.1. Исходные полоасеныа 26$ а — скорость звука. Тогда де !ГО др 1 др до Ыр до ао до де к с)с ко до др да до (6) Если ввести число Маха М = фа, то уравнения (4) запишутся так: да о дз до де ! — =д — ! до Мо — 1 да ' дн до (7) причем первое яз этих уравнений ие зависит от предположения, что вихри отсутствуют. Однако в число Маха наряду с д входит также и а. Чтобы исключить а, воспользуемся уравнением Бернулли в его интег- ральной форме (8.3), а именно до Г др — + ~ — =сопзФ, 2 (8) причем для безвихревого баротропного течения постоянная, входящая в это уравнение, является, как было показано в п.6.5, одной и той же для всего потока. Вычисления в явном виде мы проведем здесь только для поли- тропического течения, для' которого р = Сок, где постоянная х ) 1.
В этом случае а =, ~ — = — — +сопзс= +сопзс, хр Г др х р ао о,' до — 1О х — 1 а уравнение Бернулли будет оо ао ае — + 2 х — 1 х — 1 где через а, обозначена величина скорости звука в точке торможения. Таким образом, 2 (й) и од д~ (х+1) д'12 — а) (16 ае ао — (к — 1) до/2 ' ' аео — (к — 1) уе)2' Если .в уравнениях (7) заменить величину Мз — 1 ее значением (10) и считать заданной характерную величину скорости ае, Уравнение Ньютона в проекции на направление г при отсут- ствии силы тяжести и вязкости эквивалентно уравнению Бер- нулли в дифференциальной форме (2.21').
Таким образом, мы имеем Гл. 1)с. Плоское установившееся пооссяцоолънос течение / 2 (11) величина а обращается в нуль. Скорость а не может быть больше этого максимального значения д . Вводя величину а в уравнение (9), получаем уравнение Бернулли в следувощей форме: а' = — (с)' — а'). (9') С другой стороны, согласно уравненисо (9), с) равняется а прн значении с' 2 ос=ос= ~у а,. х-)- ) (11') Эта величина, определяеьсая условием о = а, называется критической скоростью. Соотношение для полктропы, записанное ') В общем случае нополнтропнчесного точения вместо уразноння (Ю) нужно использовать уразнонне (8).
Если уравнения рассматрнваются з некоторой области, а не н отдельной точке, то мы фвктнчоснн применяем авось крнвопннейные ноорлнпаты, а именно систему линий тока н нх ортогональных траекторий. то эти уравнения будут представлять собой систему двух дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка .для неизвестных д и 0. Уравнения (7) и (10) содержат всю 'ту инфорнацию, на которой будет основано исследование рассматриваевсого течения о). Если, помимо распределения скорости, тре-.
буется еще звать величины давления, плотности и абсолютной теьшературы, то их можно получить при помощи уравнения Бернулли с учетом соотношения между р и р и уравнения состояния (см. $8 и, в частности, п.8.4, где в табл. 1 приведены численные значения этих функций для случая политропического течения при х =у = 1,4). Анализируя предыдущие результаты, заметим, что то обстоятельство что р и о могут быть выражены через а, делает целесообразным применение д в качестве зависимой переменной.
Тогда другой естественной переменной, определяющей вектор скорости с(, будет угол 0, который вектор ц составляет с некоторым фиксированным направлением. Кроме того, 0 определяет картину линий тока, кот |рая для установившегося течения фиксирована. Естественно также ввести в рассмотрение скорость изменения вдоль .линии тока, д)дв, и скорость изменения в направлении, нормаль.ном к направлению во*). Уравнение (9) показывает, что когда а увеличивается от нуля, то скорость звука а монотонно уменьшается; при у=д„, 10.2.
Уравнении длл нотенциала и функции тока 267 в форме (12) где р, — значение р в точке торможения а). В соответствии с соотношением (12) связь между плотностью и скоростью будет (12') В дальнейшем (если не будет оговорено противное) мы всегда будем полагать 9, = 1. Введем теперь безразмерные величины. Это можно сделать различными способами, разделив д, например, на дт, на а, или па а, = д,. 'При использовании безразмерной величины о = д(а, уравнения (7) и (1()) примут вид дс д0 ' до д0 (Мз — 1) — =о —, — =о —, де дн ' дн дв Мз 1 (х ) 1)о — 2 2 — (х — 1) ов ' (13) эти уравнения не содерлват никаких параметров, кроме х. 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
