Р. Мизес - Математическая теория течений сжимаемой жидкости (1161654), страница 49
Текст из файла (страница 49)
84) находится первоначально в однородном состоянии покоя, и = О, р = р, д = оо при ~ = О. Рассмотрим два ударных фронта, движущихся в противоположных направлениях: Контактноей рогрыв ! "г Р я с. 84. Столкновение двух скачков АС в ВС, порождающее контактный разрыв. ударный фронт вдоль АС, который переводит состояние и = О, ро, ро в состояние иг, рг, р„и ударный фронт вдоль ВС, переводящий начальное состояние в состояние и„р„оггг). В момент времени г„ изображаемый ординатой точки С, частицы слева от С имеют скорость и„ давление р, и плотность тогда как те же параметры течения справа имеют значения итм рг1 рг В плоскости и, п эти два состояния изображаются двумя точкамн 1 и 2, лежащими на двух ' ветвях ударной адиабаты с углом в точке 0(0, о ), где о,'=4уро/й (у — 1)'.
Что произойдет при г ) ге? Мы можем найти картину течения для г ) го, которая удовлетворяет всем условиям, если предположим, что в точке С образуготся дза новых ударных фронта (отраженные скачки), которые движутся вдоль соответствующих линий СВ'и СЕ. Два состояния частиц, получающиеся после прохождения через вто- 7д.д. Столкноввнив двух скачков 247 рые ударные фронты, будут изображаться двумя точками 3 и 4, причем точка 3 лежит на ударной аднабате, начинающейся в точке 1, а точна 4 — на ударной аднабате, начина4ощейся в точке 2. Эти две точки (точки 3 и 4) должны удовлетворять двум условиям: во-первых, они должны иметь одну и ту же абсциссу и для того, чтобы окончательная скорость частиц з области между СХ~ и СЕ была одной и той же для всех частиц, и, во-вторых, величина давления р должна быть равна для всех частиц.
Теперь, вообще говоря, можно удовлетворить обоим условиям, выбирая подходящим образом наклоны сз и с4 линий скачков СЮ и СЕ. Однако значения плотности за отраженными скачками не обязательно будут одинаковы длячастиц слева от точки С и справа от нее. Таким образом, окончательная линия частицы, проходящая через точку С (пунктирная ливия СР на рис. 84), будет, вообще говоря, линией раарыза того типа, который описан з предыдущем пункте. В принципе легко найти численное решение, т. е. значения и, р и о за вторыми скачками, когда два состояния и„р„ва и им р„й заданы.
Мы просто применим к переходам через Слв и СЕ уравнение (14.29), которое дает связь между изменениями давления и скорости на скачке. Используя и и р. для обозначения конечных значений скорости и давления, мы получим (Р— Р,) = 2 (и — ик) ((У+ 1) Р+ (У вЂ” 1) РЛ (7) (р — р,)'= —.'(и — и )к((у+1) р+(у — 1) рк).
Исключая р нв этих двух уравнений, мы получаем одно уравнение для определения и; один корень этого уравнения является общей абсцнссой точек 3 и 4 и, следовательно, определяет наклон конечных линий частиц в области, заключенной между Слл и СЕ. Используя условие на ударной адиабате (14.32), примененное к дугам 2-4 и 1-3, мы можем затем найти ординаты точек 3 и 4, соответствующие абсцнссе и, и с помощью этих ординат найти величины р/ок и р/о4. С другой стороны, теперь, когда аначение и известно, общее значение давления р определяется уравнениями (7), так что два значения плотности, оо и ов, слева и справа от линии разрыва СР также могут быть вычислены. Наличие таких контактных разрывов после столкновения скачков наблюдалось, хотя в большинстве случаев эффект оказался довольно слабым, за исключением тех случаев, когда исходные скачки обладали большой интенсивностью, причем интенсивность одного скачка значительно отличалась от интенсивности другого.
Для проведения расчета мы можем предположить, что отновпения давлений 7), и в)а в исходных скачках заданы. Тогда 248 Г.т. П1. Одномерное течение отношения плотностей $т и $ определяются из уравнения Гюгонио (14.26). Наконец, второе из уравнений (14.32') при во=О дает и| у — 1 (Чт — '1)а иа ау — 1 (Ча — 1)а о1 2у /тавт+ 1 ' о$ 2у ЬаЧа+ 1 ' (8) Таким образом, отношения и|/о и и /о также выражаются через степени сжатия.
Если через х и у обоаначить неизвестные и/о, и р/ра, то уравяеш|я (7) дадут: (т/ — ) ) —, а $т — — х) ((у+1) у+ (у — 1) Ч 1 ~ "а (у — т) )з=- У, $ (х — — "' / [(у+1)у+(у — 1)т)т). "а (7') Если у найдено, то величины отношений плотностей получаются вз уравнения Гюгонио, а именно оа, ь'и+ч оа/ а ьЪ+ч Ое йт у+йаЧ| ' Оа ит О+лат)а '. (9) Ваяв, например, т),=8, т),=4 и и|) О, и,(0 при у='/ мы найдем $т = т/„$а = '/„и,/о, = 1/)/7, и,/о, = — 3/5 )l 7.
Решение уравнений (7') дает аа) х = 0,1405, у = 21,87. Подставляя зтн значения в формулы (9), лты получаем величины отношений плотностей Це/9 =6,97, йа/йа=7,37, так что Ре/Це= = 1,057. Эти величины бйлтт использованы в примере, изображенном на рис. 84. Читатель сам может вычислить для заданных значений т)„т), четыре скорости скачков с,, с„с„с,; все зги скорости будут кратными величины о,.
Из рисунка и из значений отношениЯ йе/Це видно, что величина РазРыва оказалась незначительной, хотя первоначально отношения давлений т) и т) были велики. 4. Численный метод интегрирования Во всех примерах, которые мы рассмотрели, решения состоялп пз областей однородного течения и простых волн, разделенных прямолинейными скачками или прямолинейными характеристиками соответственно. Ясно, что случаи с граничными условиятш более общего характера не могут быть рассмотрены таким образом. Например, в задаче Римана, рассмотренной в и.
14.6, решение может быть построено только до того момента, когда ударная волна, идущая справа, встретит простую волну, идущую слева (точка Е(х„га) на рис. 79). Для 1) га течение определяется условиями 'й=О при х= О и х=1, вместе с условиями Гд.д. Чиеяеннил ме~н6д интеерироеания 249 — +й — =О, й — + до ди аи д(р — с) де дх ' А дх =О, д гие 1 р ~ д ди о — ~ — + — — ]+ — (и(р — и)] =О, о=р —. д1] 2 'у — 1Л ] дх ' адх' (10) Первое из этих уравнений является уравнением неразрывности, второе — уравнением Ньютона для вязкой жидкости, третье выражает то обстоятельство, что движение является адиабатнческпм, а последнее представляет запись обычного предположения (Навье— Стокса) относительно вида вязких напряжений. Граничные условия будут сформулированы позднее.
Третье уравнение в системе (10) может быть упрощено; для этого вычтем иа него второе уравнение, умноженное на и, и получим 1 /ЫР Р ди ~) + (р — о) — = 0; у 1(.д,. Е Ые.) дх заменив затем г(й/е(1 его значением из первого уравнения, найдем — „; = —,((у — 1) с — ур] (11) Первое из уравнений (10) автоматически удовлетворяется, если мы введем функцию частицы ф (см. формулы (12.11)]. Эта функ- в жидкости для 1=-1, а именно при ' х ( х„п = 1 (х), р = й (х), о = Ь (х); при х) хе п=О, р=р, е=р, В этих условиях х н 1 являются (известными) координатами точки Л, а р, и и, — (известными) значениями р и о после скачка.
Функции ](х), д (х) и А (х) слева от прямой АЮ являются постоянными, а затем принимают переменные значения и, р и о, определяемые уравнениями для простой центрированной волны. з1ожво ожидать, что при 1) (а будет развиваться криволинейный скачок, начинающийся в точке Е, но ни его форма, нп картина течения на каждой его стороне не могут быть выражены через элементарные функции.
В таких случаях обращаются к численным методам интегрирования, т. е. заменяаот дифференциальные уравнения движения конечно-разностнымп уравнениями и затем решают' получившуюся алгебраическую задачу методамп численного анализа. Здесь мы кратко опишем эту процедуру для случая одномерного неустановившегося течения вязкой жидкости, пренебрегая силой тяжести и теплопрозодностью. Однако учет теплопроводности не внес бы в результатьа существенных изменений.
Если мы вместо о„' напишем с, то при й = 0 уравнения (2) — (6) ~$ 11 дадут Гн. 111. Одномерное течение ция постоянна вдоль ливий частиц, 111р/111=0. Поэтому второе нз уравнений (10) примет вид .дФ Яи+ д(р — о) 0 (12) дх <й дх Таким образом, система (10) заменяется уравнениями (11) н (12) и соотношением о = ро ди/дх. Для выполнения численного интегрированпя мы допустим, что пх(1), ро(1) и хо(1) обозначают величины и, р, х как функции 1 на линиях частиц, соответствующих равноотстоящим друг от друга значениям ер, 1р„(1) — ер, 1(1) = п1 = сопй.
Затем все производные по х заменим отношениями конечных разностей, напРимеР вместо дР/дх бУДем писать (Ри — Р„1)/(хо — х, «), так что наши три уравнения для каждого значения х дают уравнения "Ро но+1 — [(у — 1) о — уро) а х,+1 — хо (13) ио1.1 ио по= ро ~Ч-1 Эти уравнения могут быть интерпретированы следующим образом масса жидкости, непрерывно распределенная внутри трубы конечной длины и поперечного сечения единичной площади, как бы разбивается на конечное число, скажем п, материальных точек, каждая из которых имеет массу т. Абсцисса х-й материальной точки в момент времени 1 равна х,(~), а ее скорость равна Ых (1) и„(1) = (14) В интервале между т-й и (т+1)-й частицей давление и вязкое напряжение считаются постоянными и обозначаются через р, и оо.
Тогда первое уравнение системы (13) является выражением второго закона Ньютона для т-й материальной точки; второе уравнение системы (13) дает степень изменения величины ро, определяемой условием адиабатичностн течения, тогда как третье уравнение выражает и через переменные х, и и,. В плоскости х, 1 движение представляется п различными линиями частиц (рис.
85), каждая нз которых определяется одной нз функций х„(1), ч = 1, 2,..., п. Рисунок включает также две кривые, отмеченные индексами 0 и я+1 на оси х; эти линии, хо(1) и х„м1(1), предполагаются заданными в качестве граничных условий. Если величину оо нз последнего уравнения системы (13) подставить в два другие уравнения и выразить и, через х, 251 15.х.
Чивлвныыа метод интвврирвввнил по формуле (14), то для каждого т (и=1, 2, ..., и) мы получим систему двух обыкновенных дифференциальных уравнений относительно х и р„ первое — уравнение второго порядка для х„, второе в первого порядка для р . Независимым переменным является 1, и уравнения содержат постоянный параметр т. Пра-вая часть второго уравнения при т =п содержит х +е и и +ы которые даготся граничным условием, определяющим х ее (1). Первое уравнение при т = 1 содержит пю которое определяется иа граничного условия, определяющего х, (1), а именно х' О 1 2 и ив! и и+! Р и с.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
