Р. Мизес - Математическая теория течений сжимаемой жидкости (1161654), страница 45
Текст из файла (страница 45)
Заметим, что все абсолютные скорости им и, и с могут быть доэвуковыми. Покажем, что энтропия увеличивается в процессе реальдого ударного перехода. Для этого .мы используем уравнение (15). Ввиду того что энтропия с точностью до множителя является логарифмом отношения р/йч, достаточно показать, что — > — или — — ~ — ~ > О. Ре Р1 /Ее т (16) Ев . О)' Р 'ч.Е1 Г Это неравенство, конечно, справедливо в случае рк/рг = со, когда ок/о, = Ьк. ПоэтомУ Мы РассмотРим слУчай йк/й, ( Ьк. 1оо Гл. Ш.
Одномерное течение Если для р,/р, мы возьмем выражение (15), то найдем р /' йв )т г'Ее — Е / Ое,т Ьэе/С,— 1 / Ое ')т Ре ~Е / Ь*йе — Ое ~Е / Ь* — Ее/Е ~Е ./ Так как й,/рл < Ь', то знаменатель первого члена в правой части этого равенства не может быть отрицательным. Поэтому достаточно рассмотреть только числитель объединенной дроби, т. е. показать, что функция г($) = Ь~| — 1 — (Ь' — $) $ч, где г = йе/йп (17) принимает положительные значения при 1 < $, где $ < Ь'. Дифференцируя это выражение, получаем ' ($) = Ь' — уЬг5т — '+ (у+1) Р = Ье (1 — у~т — '+(ч/ — 1) 5т), (17') Из этих выражений видно, что г, г' и г" обращаются в нуль при 5 = 1 (соответствующем о,= ог, т. е. нулевому скачку) и что при $) 1 производная г" положительна, откуда следует, что г($) положительно для $ ) 1.
Таким образом, мы показали, что энтропия после скачка больше, чем перед ним; это увеличение зависит от значений и', р и о перед ударным переходом н после него*). Теория одномерного течения совершенной жидкости в том виде, как она была развита в $ 12 и 13, основывается на предположении, что соотношение вида р/от=сонг| выполняется везде в жидкости.
Теперь мы выяснили, что при наличии скачка величина р/от меняется для каждой частицы, и это изменение не будет, вообще говоря, одним и тем же для зсвх частиц. Иначе говоря, результаты, полученные е двух предыдущих параерафах, не будут еыполняться е области плоскости х, е, расположенной за ударным фронтом, за исключением того случая, когда энтропия всех частиц меняется на одну и ту же величину. В э 15 будут обсуждены некоторые следствия этого результата.
Уже указывалось, что действительное изменение величины р/от в большинстве случаев оказывается незначительным. Чтобы вычислить это изменение, мы можем снова использовать для р /р, выражение (15) и найти р* л~ ре ~,~а(ое) 1~ ре ~ ~~% — 5 т 1~ (16) Так как для воздуха Ь' = 6, то, например, для г = 3 (половины максимального значения 5) величина, стоящая в последней квадратной скобке, оказывается равной 0,217.
Если мы разложим ') См. рис. 148, за котором ) =вгр ((Яе — Юе)/ф?) . И'.е Алеебраическое исследо«ание соотношений на скачке 229 выражение, стоящее в этой скобке, в ряд по степеням $ — 1, то получим 12 (Я вЂ” 1)' ( 1 — — (К вЂ” 1)+... ( . (19) При $ = 1,2, соответствующем отношению р /рд — — 1,29, использование первых двух членов дает 0,00063, тогда как точное решение, найденное по формуле (18), равно 0,00068. Видно, что если разность $ — 1 не слишком велика, т.
е. если скачок не слишком силен, то предположение о том, что величина р!рт не изменяется, является неплохим приближением е'). 4. Алгебраическое исследование соотношений на скачке и,'= +1 (2у— ' '+(у — 1)и1~ р = — ( — (у — 1) р,+ 2тид), » у+1 е» = (у+1) те 2урд+(у — 1) тид ' (20) Первое из нижеследующих 'равенств получается умножением первого уравнения (20) на Ьеи,', а второе — перестановкой индексов Ьил =и + — — =и' + — —. 2у рд,е 2у ре (21) у-1од ' у-1 е ' Вообще говоря, квадрат скорости, деленный на 2д, называется скоростным напором, а величина ур((у — 1)рй в случае адиабатического течения равна напору давления (см.
п.2.5). Если пренебречь влиянием силы тяжести, то сумма скоростного напоРа и статического давления будет равна «полному напору» Н, Условия на скачке (2а), (2б) и (2в) являются тремя алгебраическими уравнениями, связывающими семь переменных и„р„ р„и», р«йе и с. Они определяют четырехмерное множество (гипврповерхйость) в пространстве семи измерений.
Ыы не будем здесь предпринимать полного изучения этого алгебраического множества, а рассмотрим уравнения (10). Они представляют сравнительно простой случай, в котором две системы трех переменных и,', рдс йд и и,', р„рк связаны тремя уравнениями; можно считать, что эти уравнения определяют точечное отображение трехмерного пространства самого ва себя. Прежде всего мы заметим, что это отображение является инволюцией, тац как уравнения не изменятся, если индексы 1 и 2 переставить местами.
Мы можем разрешить уравнения (10) относительно одной системы неизвестных, скажем и'„р„ использовать равенство т = адик' и, кроме тривиального решения и,'=и,', р,= рд, д ш й„получить Соотношения Гл., 111. Одномерное течение который входит в уравнение Бернулли* ). Используя для этого напора обозначение Н' (для указания, что он соответствует относительным скоростям), мы мох<ем переписать равенства (21) в следующем виде: Нь=нз=Ь' 2 (22) Из равенства величин Н; и Н; (это равенство фактически является уравнением (2в)) может быть сделано (ошибочное) заключение, что ударный переход ведет себя подобно установившемуся течению невязкой жидкости. Условия (10) могут быть записаны в безразмерной форме путем введения чисел Маха М; и М,' по формулам (12) н отно- шений р, и, о, 1 =Ч ре ' и( ое з Тогда уравнение (10з) принимает внд т) — ь = Ьо(»Д — 1), (23) (24а) а уравнение (10б) может быть записано в виде Ч вЂ” 1 е — = уМ', 1 пли (24б) ') Полный напор будет постояяяым для частицы только з том случае, когда движение является установившимся"), см.
и .2.5. = уМ,". (24в) Уравнение (24а) является уравнением равносторонней гиперболы в плоскости ~, тб эта гипербола имеет асимптоты ~ = 1)Ь» и т) = — 1)Ь» и пересекает ось « в точке Ь = Ь' (рис. 75)ее). Часть гиперболы, для которой '« или т) отрицательно, не имеет физического смысла. При нашем предположении, что индекс 1 относится к значениям перед скачком, мы имеем ~(1, Ч)1; в ее частности, некоторый скачок опре- ~~-1' деляет точку Р,(«, т)), лежащучо Онмоечение лри на гиперболе слева от точки А, Ре «=Ь» б' где А (1,1) соответствует нулево- О ыу скачку. Уравнение (246) яв- ляется уравнением прямой, прохо- Р и с. 75. ГипеРбола Ч= Ч (ь)' дашей через точки А и Р, н Ч=Ре)Рь «=Сь)ое имеющей наклон — уМ;е. Если задана точка Р„то определяется наклон; если задан наклон, то определяется точка Р, как точка пересечения прямой с гиперболой.
1а.а. Алеейраичесиое исследование соотношений на саачке 231 Точка Р, с координатами 1~~, 1/ц, соответствующая заданному скачку, определяемому точкой Р„также лежит на гиперболе (24а), но находится справа от точки А. Эту точку легко найти графически, используя то обстоятельство, что прямая ОР, образует с осью ~ такой же угол, как прямая ОР, с осью ц. Иэ уравнения (24в) мы видим, что наклон прямой АР, равен ум;е. Разрешая уравнения (24а) и (24б) относительно ц и ь, что эквивалентно нахожденило точки, в которой линия, проходящая через точку А с наклоном — уМ, пересекает гиперболу, мы найдем, конечно, точку ц=ь=1, а в качестве второй точки пересечения — точку с координатами и = — = — [2уМ; — (у — 1)) = — М; — —,, ре' 1 а 2у,л 1 р у+1 у+1 сс" (25) — =1=4= — *= — ~ —,+(у-1)1= — — „+ —. и,' ое у+1 [ М,'е [ у+1 М(е М Аналогичные равенства, в которых индексы 1 и 2 переставлены, а $, т), ь ааменены обратными величинами, получаются из уравнений (24а) и (24в).
Первое из уравнений (25) и его аналог с~ е 5 10 75 Рис. 26. Графики зависимости М;е, Мле и $ от Ч. идентичны уравнению (13). С помощью уравнений (24) и (25) каждая из величин ц, ~, $ (=1Д), М и М," может быть выражена через любуло другую в виде линейной или дробно-линейной функции.
Все пять переменных величин равны единице в (случае нулевого скачка, когда не происходит изменения величия и', р и о. Отклонение любой из рассматриваемых выше величин от единицы можно принять за меру интенсиености скачка. Гл. 111. Одномерное течение 232 Если в уравнение (24а) вместо ь подставить 1Я, то мы получим уравнение Ь (Ч-$)=$Ч-1, (26) которое известно под названием уравнения Гюеонио«'). На рис. 76 изображена та часть равносторонней гиперболы (26), для которой а > 1, «1 ) 1, а также две кривые, представляющие М,' и М как функции Ч в соответствии с формулами (13). Если мы умножим первую иа формул (25) на ее аналог, то получим симметричное соотношение между относительнымв числами Маха, а именно 2уМ,"М," = 2+ (у — 1) (М," + М,"); или (27) последнее соотношение по форме совпадает с соотношением (11.30'), связывающим абсолютные значения чисел Маха для случая установившегося течения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
