Р. Мизес - Математическая теория течений сжимаемой жидкости (1161654), страница 43
Текст из файла (страница 43)
5 14. ТКОРИЯ УДАРНЫХ ВОЛН 1. Отсутствие решений. Влияние вязкости Предположим, что прп !=О интервал АВ осн х занят жидкостью, находящейся в состоянии покоя прн постоянном давлении, и=О, о=о,=сопзз. Проведем' через точки А и В (см. рис. 74,а) две прямые линии с наклоном к оси Г, равным +а» с! — а» (где ૠ— скорость звука, соответствующая величине о,), и вертикальные линии частиц, изображасощие состояние и=О, о=о для всех точек (х, г) внутри треугольника АВС. Это решение, конечно, будет удовлетворять общим дифференциальным уравнениям (11.2), (11.3) н (11.4) независимо от того, учитывасотся вязкость и теплопроводность нли нет, а также будет удовлетворять начальным условиям покоя при !=0. В теории упругой, невязкой и нетеплопроводной жидкости, изложенной в $12, показано, что внутри характеристического четырехугольника, верхней половиной которого является треугольник АВС, решение единственным образом определяется условиями вдоль АВ.
Это означает, что дифференциальные уравнения движения невяз- 14.1. Отсзивиствие ретения. Вливнее взавстии 219 А В кой нетеплопроводиой жидкости не имеют в области АВС решения, удовяетворяющего начальным условиям, кроме решения и=О, о=не везде в АВС. (Такая жидкость неизбежно является упругой благодаря тому, что первоначально знтропия имеет одно и то же значение для всех частиц (см. и. 2.3).) С другой стороны, без всякого сомнения, можно подчинить реальную жидкость между А и В некоторым дополнительным условиям. Например, жидкость может быть заключена в цилиндрическую трубу с твердым поршнем, который первоначально находился в состоянии покоя в точке А. Предположим, что мы начинаем двигать зтот поршень вправо по произвольному закону х=/(1), подчиненному только од- С ному ограничению, что ф/Ж = 0 при 1 = О. Этот закон движения можно изобразить кривой АЮ иа рис.
74,а, и эта кривая неизбежно будет ливией частицы для частицы жидкости, находившейся первона-. чально в точке А. Ничто не мешает нам двигать поршень так, чтобы точка В попала внутрь треугольника АВС"). Таким образом, получается очевидное проти- С воречие. Скорость в точке одолжив иметь величину, определяемую наклоном касательной к кривой АВ в точке О, а не величину и = О, определяемую решением, А В данным выше. Заметим, что етого противоречия ие получичось бы, если бы жидкость считалась несжимаемой, потому что вся жидкость двигалась бы вместе с поршнем и вела бы себя как твердое тело.
В самом деле, треугольник АВС,вкотором определено приведенное выше решение, не существовал бы, так как скорость звука в несжимаемой жидкости равна бесконечности, и позтому точка С остается ва оси х. Кривая АЮ может попасть внутрь области АВС только в том случае, 'когда скорость поршня в некоторый момент времени превысит величину а„определяющую наклон прямой АС. Таким образом, можно предположить, что несовместимость ограничивается случаем сверхзвуковых скоростей. Однако можно налоисить ка течение, изображенное на рис.
74,п, однородное движение со скоростью им направленной влево (т. е. с отрицательной скоРостью и,). Это показано на рис. 74,б. Здесь характеристический треугольник не будет больше равнобедренным и стороны АС и ВС имеют наклбны в .+ а и и, — ае соответственно. Гл. Ш. Одномерное ясееение На этот.раэ начальная скорость поршня должна быть равна ио« а не нулю. Кривая АсО может пересечь АС, если в некоторый момент времени скорость поршня превысит и +ао, "если мы положим ио ) — ао, то как (ио(, так и (ив+а,( будут дозвуковыми.
Таким образом, мы видим, что дпффгресщиальные уравнгнисс теории нввязкой нетгплопроводной оссидкости не допускают ресиени, соответствующего некоторылс гранцчнылс условиям, которые могут быть обусловлены простыми физическими требованиями. При рассмотрении физического примера, упоминавшегося выше, мы не можем нн отказаться от условия хотя бы квазиаднабатнчностп течения, ни ограничить свободу выбора граничных условий; поэтому единственный выход нз этого тупика заключается в учете вязкости и (или) теплопроводности. Но могут возразить, напрнвсер, что для сухого воздуха. ирп нормальных условиях коэффициент зяшсостн очень мал и что влиянием вязкости можно пренебречь. Однако это возражение оказывается необоснованным, как видно из результатов, изложенных в з 11.
Там было показано, что в случае вязкой жидкости возможен особый тип течения, который очень сильно отличается от течения, имеющего место в невязкой жидкости, и чем меньше величина коэффициента вязкости, тем более ясным становится различие. Рассмотрим течение с резким изменением скорости от значения и, до меньшего значения и, сопровождаемым аналогичными изменениями р и о. При переходе к пределу р=О в формуле (11.26) мы видим, что размер области перехода Х также стремится к нулю. Иссаче говоря, теории вязкой сжимаемой жидкости в предельном случае нулевой вязкости дает течения с резкими изменениями параметров состояния, никакого указания на которые не .дается в теории, с начала и до конца основанной на предположении (с=О«о). Так как силы, обусловленные вязкостью, пропорциональны произведению )с на производные скорости (в данном случае на ди(дх), то понятно, что даже весьма малое значение )с в сочетании с очень большим значением ди/дх может оказать значительное влияние на картпну течения* ).
Все это приводит к следусощей концепции течений, возможных в жидкости с малой вязкостью. Можно ожидать, что для жидкости с малой вязкостью теория идеальной жидкости, предполагающая )с = О, будет в общем давать хоро пее приближение к действительному течению, но области, в которых применимы такие приближения, отделены одна от другой неподвижными нли подвижными тонкими слоямп, «) В некотором смысле аналогичная снтуацня встречается в теория несжнмаемой жидкости з отношении решения уравнений Навьв †Сток дая пограничного слоя. 14.2. усеоеик но скачке дка соеершенного газа 2. Условия на скачке для совершенного газа В и.
11.3 и 11с4 было показано, что в установившемся течении вазкой жидкости Резкий пеРеход иэ состоЯниЯ и„Р„йг ,к другому состоянию и„р», о» возможен только в том случае, когда эти шесть величин удовлетворяют трем соотношениям 111.9'), (11.22) и (11.23), а именное' ) (1а) (1б) Е,иг = о»и„ р, + ти, = р, + ти», а1 у рг н» у р — + — — = — + —— 2 у — 12» 2 у — 1О» (1в) где через т для краткости обозначено й,и, или о»и . Если то же са»гое течение рассматривать в системе координат, движущейся в отрицательном направлении осп х с постоянной скоростью с, и если через и„и, обозначить скорости в этой движущейся системе координат, то уравнения (1) можно записать так: 9,(иг — с)ш й (и — с)=т, (2а) (2б) р,+т(и,— с) =р»+т(и» вЂ” с), (из с) у ог (ие С) у р» + — — = .
+ —— 2 у — 1О, 2 у — 1о» (2в) внутри которых происходят резкие изменения параметров состояния, как предполагается в теории вязкой жидкости, развитой (частично) в 2 11: Многочисленные наблюдения движения воздуха подтверждагот эту концепцию во всех отношениях"). В частности, течения этого комбинированного типа встречаются в случаях, подобных упомянутому в начале настоящего пункта <лучаю, в котором не существует решения, основанного только ма теории идеальной х<идкости и удовлетворяющего граничным условиям. Это явление почти мгновенного изменения значений параметРов состояния известно как скачок.
Теория скачка в одномерном течении в виде, удобном для математического исследования, основана на следующих принципах. Лредполазается, что исходные дифференциальные уравнения движения идеальной э»водности — уравнение неразрывности, уравнение Ньютона и замыкающее уравнение — выполняются во всех точках плоскости х, 1, за исключением некоторых елиний скачка»; вдоль этих линий параметры состояния разрывны, и их згзновенные изменения описываются законами, получающимися из теории вязкой и (или) теплопроводной жидкости.
В более общих задачах линии скачков заменяются поверхностями скачков в пространстве х, у, з, 1. 222 Ги. 'ьь1. Одноенерное течение Тот же самый результат получается в том случае, когда урав- нения составляются в неподвижной системе координат, а линия перехода передвигается с постоянной скоростью с вправо. Таким образом, уравнения (2) выполняются также для частного вида неустановившегося движения.
Теперь мы покажем, что уравне- ния (2) являются предельными условиями перехода даже в наи- более общем случае неустановившегося течения; мы начнем с общих уравнений, выведенных в .п. 11.1. Рассмотрим неболыпой отрезок оси х, скажем [хм хт], кото- рый движется со скоростью с, причем скорость с может быть положительной пли отрицательной. Тогда полная (субстанцио- нальная) производная, которая в неподвижной системе координат х, г равна г)/еЮ=и(д/дх)+д/дь', может быть записана в виде д д д' — = (и — с) — + —, дт дх де' (2) где д'/дь означает производную по времени в точке, закреплен- ной на движущемся отрезке; х теперь означает координаты на движущемся отрезке, тогда как и и с в скорости в исходной системе координат *). Тогда, ввиду того что с не зависит от х, уравнение неразрывности (11.2) может быть записано в виде ,—.
(е(. — )1+ —,'„= О. а а'е (4) Уравнение Ньютона (11.3) по той же причине примет вид ди д'и д ь Е(и — с) — +Š— + — (р — о,) =О. дх дй дх (5) Если мы прибавим к нему уравнение (4), умноженное на и, то е результате получим — (Еп( — с)+р — о')+ а, = О.
д д' (Еи) (5') Наконец, замыкающее условие (11.4'), которое устанавливает,. что течение является квазиадиабатическим (но ве адиабатиче- ским), теперь будет а ~„(р,),ат] =О. Складывая это уравнение с уравнением (4), на этот раз умно- женным на ит(2+дВТ/(у — 1), мы получаем д ~ ие дВТ ') ат. ч дх 1. — Ге (и — с) ~ — + — )+и(р — а„') — й — '1+ 2 у — 1,1 х д,, +Иге(т+,— "-,)1=О (б) *) Это соответствует взмсвоввю.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
