Р. Мизес - Математическая теория течений сжимаемой жидкости (1161654), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Для того чтобы вычислить увеличение давления, мы можем на основании уравнения (1) выразить р„/й,и, 'через с/и„ а на основании УРавнениЯ (2) Рг/Оеигг чеРез с'/и,. КомбиниРУЯ РезУльтаты с соотношениями (4), мы приходим к формуле рг с' — иг 2с' — (у+1) иг (5) рг с — иг 2с — (у+1) иг которая с учетом соотношений (3) может быть сведена к следугощей: рг 4+уМ1(у+1+4а) рг 4+уМг(у+1 — 4а) Зто отношение возрастает от 1 до со при увеличении М от нуля до максимального значения. Гл.
1П. Одномерное течение На Рис. 82 показано изменение величин — с!с', азlйз и Рз(Рз как функций М для случая у=1,4. Аналогичным образом может быть определено отношение давлений рз/рз для одного только отраженного скачка. Мы найдем величину Рз=1+ — з '(у+1+48), которая увеличивается от 1, что соответствует очень слабым падающим скачкам (Мз мало), до (Зу — 1))(у — 1) =8, что соответствует очень сильным скачкам (М, близко к своему предельному значению).
Г0 г а з (00 Р и с. 82. Отношения давления, плотности и скорости распространения скачка прн отражении ударного фронта в зависимости от числа Маха Мз набе- гающего потони. С другой стороны, эта формула может быть объединена с равенством (5') для получения отношения приращений давления в обоих скачках Рз — Рз 40+ (У+ 1) — 4У вЂ” (у+Н Это отношение приближается к 1 для очень слабых падающих скачков, соответствующих акустическому случаю, и увеличивается до 2у/(у — 1) = 7 для очень сильных скачков. Аналогичные результаты получены для приращений плотности.
Для очень малых значений Мз разложения правых частей равенств (3'), (4') и (5') в ряд Тейлора с точностью до членов первого порядка дают У М Чз нз 1+ 2М Рз 1+ 2уМ (8) Рз Основные результаты заключаются в следующем: скорость распространения отраженного скачка может уменьзииться вплоть го.в. Роормояме ре1иеиия для идеальной жидкости 243 до одной трети скорости падающего скачка, и отражениеможет вызвать очень значительное увеличение давления и плотности. 2. Разрывные решения уравнений для идеальной жидкости В п.
14.2 подчеркивалось, что рассматривать картины течений, включающих ударные фронты, как «разрывные решения дифференциальных уравнений идеальной жидкости» было бы неправильно. Зги уравнения, конечно, удовлетворяются функциями и, р и о з пространствах между линиями скачков, но при переходе через линию скачка условия течения невязкой жидкости нарушаются. Например, в адиабатическом случае, согласно теории течения кевязкой жидкости, энтропия в каждой частице должна сохранять свое значение, но это значение изменяется, когда частица пересекает линию скачка. Это противоречие не может быть устранено никакими софистическими рассуждениями о «природе разрывных переходов». Правильным теоретическим обоснованием допустимости течений, включающих в себя скачки, является то обстоятельство, что эти течения представляются асимптотическиып решениями уравнений для вязких и (или) теплопроводных жидкостей при )» — + О.
Тем не менее, как и в других областях механики сплошных сред (теории упругости и теории несжимаемой жидкости), в теории идеальной жидкости также существуют настоящие разрывные решения дифференциальных уравнений в частных производных. Наличие таких решений обсуждалось ранее (2 9 и 10): при переходе через так называемые характеристические линии некоторые первые производные зависимых переменных могут внезапно* ) изменяться без . нарушения дифференциальных уравнений. По существу это следствие того, что уравнения движения ве приводят к каким бы то ни было выводам о поведении этих производных при переходе через характеристики. Заметим, что линии скачков не являются характеристиками. В п.12.2 мы видели, что в одномерном течении идеальной жидкости существуют характеристики, которые имеют относительно оси с наклон и+а или и — а.
При переходе через такую характеристическую линию переменные и, р, о остаются непрерывными, во их производные по нормали к этой линии могут претерпевать разрыв; теория интегрирования, развитая в 2 12 н 13, по существу зависела от использования этих характеристик. Они, как ьь ь ьч ь ") Разрыв обычно ввзызазтся разрывом пулевого порядка, если за»гап"ону ззмеяеяяю подвергаются саьш поремеяяые, в разрывом и-оо зорядзо, зслз Разрыв появляется впервые в я-х производных. Однако, тзк кзк з мехаявзз жклкоств з качестве звзазвсзыых пзреыезяых можно брать либо комяояеяты скорости и т. д., либо такие функции, как фувкция тока я потезцвак, зта кяассвфвяапзя зе зсегвз является воязусмыслезвой. 16» Га.
П1. Одномерное течение данной в З 9, соответствуют обращению в нуль второго множителя в уравнении (9.26). Однако в конце $9 было отмечено, что во всех случаях движения идеальной жидкости существует другой ткп характеристик, соответствующий обращению в нуль первого множителя в уравнении (9.26). В одномерном случае этим множителем будет множитель (пЛ,+Ле), указывающий, что нормаль к характеристике имеет наклон Л,/Л4 — — — 1(п, а сама характеристика имеет наклон и. Таким образом, в этом смыслеее) все линии частил в плоскости х, е являются характеристиками.
Теперь мы рассмотрим возможные разрывы, которые могут встречаться при переходе через линии частиц; они могут появляться в течении как несжимаемой, так и сжимаемой жидкости. Первым рассмотрел задачи этого типа о течениях несжимаемых жидкостей е'ельмгольц е). В известной работе 1868 г. он изучил, в частности, задачу о свободной струе (установившееся плоское течение ограничено двумя линиями тока, вдоль каждой из ко- А В ' С торых давление имеет постоянное зна- чение).
При отсутствии силы тяжести Р в с. 83. Контактный Раз- или других внешних сил присутствие , Рыв ВВ'. покоящейся жидкости, граничащей с этими линиями тока, не оказывает влияния на это течение. Ясно, что в атом случае уравнение неразрывности и уравнения Ньютона все еще удовлетворяются для каждого элемента жидкости. Тогда скорость имеет скачок, а давление р остается непрерывным. Более общим случаем является случай поверхности разрыва, отделяющей две трехмерные области; нормальная скорость обращается в нуль на каждой стороне поверхности, и давление (но не такгенциальная компонента скорости) остается непрерывным при переходе через поверхность. Этот тип разрыва встречается в теории крыла конечного размаха" ).
В нашем одномерном течении идеального совершенного газа может возникнуть следующая ситуация. Рассмотрим жидкость, заключенную внутри трубы и расположенную вначале (при г =0) между точками Л и В. Частицы жидкости двигаются в соответствии с определенными линиями частиц в плоскости х, г (рис. 83). Это течение удовлетворяет дифференциальным уравнениям с некоторой постоянной С, = р/йт. Распределение давления определяется всюду п, в частности, вдоль линии ВВ', которая начинается в точке В. Присутствие невесомого поршня, которыя вначале находится в точке В и движется в соответствии с пространственно- временной кривой ВВ', подвергаясь справа действию давления, которое в каждый момент как раз равно вычисленному значению р, 1д.г.
Рееръшкме решения дел идеальней ееидкоети 245 совместимо с этим движением и не оказывает иа него влияния. далее, мы можем представить себе другую жидкость, которая первоначально заключена между В и С и движется таким образом, что кривая ВВ' снова 'является линией частицы для частицы, находившейся первоначально в точке В, причем давлешее вдоль ВВ' равно давлению, вычисленному ранее, но величина р/Еч в этой части жидкости имеет другое постоянное значение С *). Эта дви-.
жущаяся жидкость должна создавать необходимое давление на поршень справа, в то время как жидкость, первокачально находившаяся между А и В, наоборот, должна создавать давление слева, необходимое для поддержания движения второй жидкости. Ничто бы но изменилось, если бы поршень был убран. Тогда бы мы имели картину течения для жидкости, первоначально находившейся между точками А и С, с непрерывной системой линий частиц и непрерывным распределением давления р, но со скачком в величине плотности Е вдоль липни ВВ'. Если Ег — плотность слева от линии ВВ', а е — плотность справа от этой линии, то мы имеем — = ( — ) = сопзб ~ 1 е, ~с, е ',с,) для всех точек линии ВВ'. Простейшим примером течения этого типа является случай, когда все частицы, находящиеся между А и С, движутся с постоянной скоростью при одном и том же давлении как одно твердое тело, а плотность имеет различные постоянные значения для двух жидкостей, находящихся справа и слева от В.
Очевидно, что уравнение неразрывности и уравнение Ньютона (для случая установившегося течения при отсутствии внешних сил) выполняются. Легко видеть, что температура, которая пропорциональна отношению р/Е, не будет одной и той же на обеих сторонах линип ВВ'. Но ввиду того что мы не допускаем теплопроводности, это обстоятельство не оказывает никакого влияния на движение. Таким образом, мы видим, что при адиабатичгском движвнзси совершенной нгвязкой жидкости возможны такие течения, в которых вдоль некоторых линий частиц плотность измгнягтпея скачком (пра. сохранении постоянного отношения плотностей), тогда как скорость и'давление остаются непрерывными.
Зео явление называется теперь контактным разрывом. В плоскости и, о линия ВВ' отображается в две различные кривые, ординаты которых для одних и тех же абсцисс имеют ") Такое течение з правой части патоне аналитически определнетсз заданными значениями и н е на линии ВВ' н может быть .построено, кзк к в и. 'ъ0.3, 246 Гл. лг!. Одночерное течение постоянное отношение ~ Гщ ( Оа Унта 3. Пример контактного разрыва; столкновение двух скачковое) Простым примером контактного разрыва является случай лобового столкновения двух ударных фронтов, который мы сейчас рассмотрим. Предположим, что жидкость вдоль интервала АВ оси х (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
