Р. Мизес - Математическая теория течений сжимаемой жидкости (1161654), страница 35
Текст из файла (страница 35)
киева 178 !'л. с!!. Одссомсрное попечение в поэтому д д д — (иа')+ — (аз) = О, дз дс (9') Для одноатомного газа (к='сз) в вышеприведенных уравнениях вместо 5 будет стоять 3. Два уравнения (9) являются однородными квазилинейнымн (но не линейными) дифференциальными уравнениями относительно неизвестных функций и и а при независимых переменных х н с, а именно к — 1 ди — а — +и 2, дх ~+~ о,~ ди ди дх дс — + — =О. (10) 2 да — -а — +и з — 1 дх Конечно, уравненсия (10) могли бы быть выведены непосредст- венно из уравнений (1) и (4); для этого нужно было бы ввести переменную а вместо й, используя соотношение (8). 2. Потенциал и функция частицы Любая из аналогичных .систем уравнений (5) н (7) может быть сведена к одному дифференциальному уравнению второго порядка.
В самом деле, первое уравнение системы (5) выражает то обстоятельство, что о. и — йи являются производными от одной и той же функции ср(х, с) по х и по с соответственно: дф дф й= — йи= — —,. дх' дс (11') Подобно этому система уравнений (7) будет удовлетворяться, если ввести функцию Ф(х, с), для которой дФ ис дФ и= — — +Р= —— (12) н которая удовлетворяет уравнению дсФ д'Ф з с д~Ф вЂ” + 2и — + (и' — ас) — = О. ды дх дС дхс (12') Уравнения (11') н (12') кажутся одинаковыми; однако коэффи- циенты 2и и и' — а' не одинаковым образом связаны с неизвест- ными функциями Ф или ф в этих двух случаях.
Тогда второе уравнение системы (5) накладывает иа функцию ср следующее условие: 12.2. Потенциал и функции частицы $79 дк — = и. сл О = — с(х+ — ей = 9 Ых — йи й, дт дт' дк дС (13) Таким образом, семейство кривых ~р = сопзз (рис. 57) состоит из линий частиц для всех элементов рассматриваемой жидкости. Разность между значениями чр на двух различных линиях частиц может быть найдена путем интегрирования первого из уравнений (11) вдоль любой прямой, параллельной оси х, в в ~рв — фя= — сех= ~ 9 сох. Г деу (14) Следовательно, эта разность равна массе жидкости, ограниченной в п токе цилиндром с единичным поперечным сечением ДВУМЯ ПЛОСКОСТЯМИ Х = Хл И Х = ХВ.
Уравнения (11') и (12') являются дифференциальными уравнениями второго порядка того же типа', что и уравнение (9.2), с коэффициентами А=1, В=и, С=и' — а', Р=О, где независимые переменные х и г идентичны прежним у и х соответственно. По формуле (9 13') (см. конец п.9.5) наклоны г2» Функция Ф(х, г) представляет собой не что иное, как потенциал, введенный в п.7.1. Таким образом, одномерное изэнтропическое течение идеальной жидкости всегда является потенциальным безвихревым течением. Уравнение (12') в точности такое же, как уравнение (7.24), рассмотренное в п.7.4.
Каждая функ-. ция Ф(х, 1), удовлетворяющая уравнению (12'), определяет некоторое одномерное течение идеальной лсидкости, уис7=со ез я наоборот, для каждого непрерывного' течения существует потенциал, удовлетворяющий уравнению (12'). Функция чр(х, ~), которая известна я В как функция частицы, может быть интерпретирована следующим ' образом. Прямолинейное движение любой материальной частицы определяется полно- Ч= соэзь. стью, когда ее 'координата х задана как функция времени к Кривая в плоскости х, г, изображающая эту функцию для какой-либо частицы, называется линией частицы (см. п.1.2).
Наклон линии частицы, измеряемый тангенсом угла, образуемого касательной к этой линии с осью г, равен с(х!с(г,илн мгновенной скорости и частицы. Вдоль линий ер= сопзь на основании соотношения (11) мы имеем 180 Гл. 1П. Одномерное течение характеристик таких уравнений определяются формулами — = — (В ~ ~/ Ва — АС) = и ~ а. (15) Ввиду того что как и, так и а зависят от производных решения Ф или ар, эти наклоны изменяются в зависимости от того, какое решение рассматривается, в соответствии с тем, что уравнения (11') и (12') являются нелинейными. Наклоны будут действительными во всех случаях: является ли течение сверхзвуковым или дозвуковым — задача будет гиперболической. В первом Характеристика аех/асс = и -а рактеристика АЖ и+а и» ктер котика /сЕЕ ива Р;нс.
88. Ориентация характеристик отно- сительно осн е нрн скорости и)0. с-свсрхавтковая скорость о, 6 — хоавгковая скорость к. случае и+а и и — а имеют одинаковый знак, так что характеристические направления проходят по одну и ту же сторону от вертикали в плоскости х, е (рис. 58,а при и ) О), в то время как в дозвуковом течении характеристические направления проходят по разные стороны от вертикальной линии (рис. 58,б при и) О). Те же самые выводы можно получить, применяя к уравнениям (5) или (7) общую теорию характеристик (п.9.2) или рассуждения, проведенные для двумерного случая (8 10).
Некоторые примеры одномерного течения были даны в п.7.4. Все они были такими, что Ф являлась квадратичной, а и линейной функцией от х с козффициентами, зависящими от 1. Мы при- 181 13. Я. Потенциал и 1дрннцил частицы дем по существу к тем же решениям, если начнем с предполо- жения ер (х, 1) = (ах+ р)", (16) где а и )) зависят только от 1, а и является постоянной.
Тогда из формул (11) имеем р = — = па (ах+ р)н дед и-т д* Надо ' +[[' дей/дх о и при политропическом соотношении (3) па=кСои — г=мС(па)" '(ах+)1)сч О1 '1. (16') Если подставить зги выражения в уравнение (11') или в уравнение (4), то зто уравнение сведется к следующему." (2а" — аа") х+(2а'р' — ар")+ + к (и — 1) аи+зСпи — 1 (ах+ р)Π— 'Д" — '> — ' = О.
Это уравнение тождественно удовлетворяется по х только тогда, когда все козффициенты обращаются в нуль, или когда уравнение не аависит отх, или когда последний член является выбранной должным образом линейной функцией х. Три значения и, делающие эти результаты возможными, и соответствующие условия для козффициентов будут следующими: 2аеа — аа = О, 2а'р' — ар" = О; (17) 2а'а — аа" = К а"+а, 2а'р' — аро = К аи+з(), где К, = — С (к/(к — 1)), К, = — 2Ся (к+ 1) (к — 1) Частное решение, соответствующее условию (17в), имеет вид а=сопз1 Г вя"+О ()=сопят 1[и ОД"+О что приводит к следующей функции ер: 1 — вдн — и( + )<н+ гди-О где А — функция от С и к, а с — произвольно.
Эта функция частицы *) соответствовала бы примеру (а) соотношений (7.28) *) Это течение.явлнется нентрировавной простой волной, которая будет рассмотрена в п.13лй [си. уравнение [13.13)[. а) п=1; б) и= —; и и — 1 ' в) и= —; и+1 и — 1' 2а" — аа" = О, 2а'~' — а([" = К,а "+з; 1ВХ Га. ссс. Одномерное нмченме в п.7.4 при с,=О, если бы не различное толкование постоянной А. Аналогичным образом решение (17б) дает ф (х, с) = В ( — + с,с "+ с. ) 3. Новые переменные. Спидограф Как видно из п.1, уравнения (1) и (4) могут служить в качестве уравнений, описывающих одномерное нестационарное баротропное течение невязкой жидкости 9 — +и — + — =О, дв дС) дс дх дх дс (18) где аз = сср!с)9 — известная функция 9.
Дальнейшие рассуждения значительно упростятся, если переменное 9 заменить некоторой функцией от 9, а именноте) с =И"' д а д до с до ~Ь а «е е' (19) с, с соответствующим образом выбранным нижним пределом йс этсго интеграла *); при этом существует однозначное соответствие между о и д. Новое переменное о имеет размерность скорости. Например, в случае полнтропического соотношения (3) выбиРаем йь= О и находим о =)l'мС вЂ” 91 -1)/з —, а = — о, (19') н — 1 х — 1' 2 и в частности при к=у=1,4 о=ба. (19') Если выполняется условие изотермичности р= сопзь.й, то берем Юс = й и имеем а=сопз1, о=а1пс).
(19 ) ') Заметим, что с.ояредсляется также н в случае, когда связь между р к о выполняется только для частицы. где В и с, произвольны, а с — функция от В, С и и. При с,= О полученное выражение будет функцией частицы для примера (б) из того же п.7.4 [см. формулы (7.29)). Подробное исследование дифференциальных уравнений (17) и соответствующих картин течения предоставляется читателю. ед.д. Новые переменные. Слидовреф 183 После подстановки выражений (19) в уравнения (18) последние запишутся так: ди до дк и — +а — + — =О. дх дх де (20) Сверке ловов обло ь и Р и с. 59.
Области, в которых М >1.и М '1. (22) о + и = сопзс и о - и = с опас соответственно. В двух квазилииейных уравнениях- (20) первого порядка от двух независимых переменных коэффициенты зависят только Каждой паре значений х, е соответствует пара значений и и о, определяемая системой уравнений (20). Такое отображение плоскости х, 1 на плоскость и, и будем называть преобразованием ее спидографа одномерного течения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
