Р. Мизес - Математическая теория течений сжимаемой жидкости (1161654), страница 28
Текст из файла (страница 28)
В этой окрестности гарантвруется существование (и единственность) решения. Кроме того, если обеспечено существование правильного ограниченного решения в окрестности АВ, то наша процедура (при условии, что она . не прерывается) будет давать приближение к этому решению. Точность процесса будет увеличиваться с увеличением и, т. е. с уменьшением расстояний Р;Рв„оз). С другой стороны, если даже не возникнет никаких препятствий для механического применения нашего метода, мы не можем быть уверены, что в построенной области приближенное решение сходится к точному, пока мы каким-либо образом не установим, что такое решение существуетоо). Построение можно продолжить по другую оторону АВ, если поменять ролями и' и о . Особые обстоятельства, которые имеют место в случае линейных уравнений, будут рассмотрены в следующих пунктах.
Теорема В. Предположим, что в плоскости х, у заданы две дуги АВ и АС и значения и и о вдоль этих дуг, причем в каждой точке АВ (АС) направление кривой совпадает с направлением характеристики а' (а ), определяемым величинами х, у, и, о и что в каждой точке и, о и их производные удовлетворяют условиям совместности. Тогда решение, принимающее заданные значения на АВ и АС, существует в окрестности точки А в области, ограниченной отрезками дуг АВ„АС, характеристик АВ и АС ,и двумя другими характеристиками, проходящими через В, и С, соответственно.
В той области, где решение существует, т. е. самое большее внутри четырехугольника АСВВ, составленного из характеристик, оно однозначно определяется значениями, заданными на АВ и АС (см. рис. 46). Заметим, что если кривая задана уравнением у= у(х), а значения и и о заданы как функции и = и (х), и и = о (х), то только одна из этих трех функций может быть выбрана произвольно. Действительно, если кривая !42 Гл. 11. Обя!ие !яесремм должна быть характеристикой, то, согласно уравнению (2'), наклон кривой должен быть ааданной функцией х, у, и и о; вторым соотношением между тремя функциями является условие совместности. В линейном случае кривая у(х) сама по себе задана дифференциальным уравнением, а именно уравнением (2'), и, таким образом, как только и или о выбрано, остальные переменные определяются условием совместности'е).
В В' Ю "Ъ ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! А=Р А'Р А Р н с. 47. Схема решения краевой задачи более общего вида. Рнс. 46. Схема решения задачи с граничными условиями, ааданнымн на характсрнстнках, Мы опять покажем, как можно построить приближенное решение, используя заданные «совместные» значения и и о вдоль АВ и АС (совместные друг с другом и с кривой). Пусть Р,Р, н Р,Р,— два бесконечно малых элемента характеристических направлений (см. ряс. 46). Если в точках Р, и Р, значения и и о известны, то те же рассуждения, как и в теореме А, показывают, что можно вычислить значения и и о в точке Р, (точке пере-.
сечения характеристикио', проходящей через точку Р„и характеристики о, проходящей через точку Р ): Точка Р, вместе со следующей точкой на АВ дает воэможность вычислить и и о з следующей точке на характеристике А'В' и т. д. Таким образом, з наиболее благоприятном случае весь четырехугольник, определяемый кривыми АВ и АС, будет покрыт сеткой характеристик, причем в каждой точке пересечения могут быть вычислены аначения и и о. Часто граничные задачи, встречающиеся в динамике жидкости, являются более сложными, чем те, которые рассматриваются з этих двух теоремах. Типичный пример приведен на рис.
47. Здесь значения обеих переменных и и о заданы вдоль дуги АВ кривой, не являющейся характеристикой, точно так же, как я з теореме А, но, кроме того, либо и, либо о, либо. линейная коме 10.4. Линейный случай бннация е,и+ с,о задана вдоль линий АА, и ВВ,. Во многих случаях описанный выше процесс приводит к решению и такой задачи е'). Сначала, как и ранее, можно найти значения функций внутри области АВС, где АС н ВС вЂ” характеристики, проходящие соответственно через точки А и В. Затем предположим, что Р есть точка АС, близкая к точке А, н что другая характери- 1 стика, проходящая череэ точку Р„пересекает кривую АА, е точке Р . Тогда значения и, и о., в точке Р, удовлетворяют условию совместности вдоль Р,Р,; эте го уравнения, вместе с линейной комбинацией е,и-+ сев, заданной в точке Р, достаточно для того, чтобы определить и, н о,.
Далев, пользуясь двумя условиями на характеристических дугах Р,Р, и Р,Р„можно вычислить значения и и о в точке Р„ затем в точке Р, и т. д. до тех пор, пока весь угол, примыкаеощий к ААд, не будет заполнен. Ясно, что этот процесс будет невыполним, если кривая АА, кли кривая ВВ„или любая часть одной на этих кривых лежит внутри треугольника АВС, или если характеристики, проходящие череэ Р„Р, и т. д., не пересекают кривую АА,. Далее будет покаэано, что для некоторых совершенно простых и физически допустимых граничных условий такого рода решение не существует (см. п. 14.1. и 22.1).
4. Линейный случай В предыдущем пункте две теоремы А и В были сформулированы для общего случая квазилинейной системы (1). Последовательный процесс, описанный выше, можно рассматривать как метод приближенного интегрирования. Для строгого доказательства этих двух теорем необходимо рассмотреть сходнмость процесса, которая в теореме А может иметь место в достаточно малой окрестности дуги АВ, а в теореме  — в достаточно малой окрестности точки А. В случае, когда уравнения (1) являеотся линейными, а не только кваэилинейными, можно доказать теорему существования в области, состоящей иэ всего характеристического четырехугольника.
Для удобства мы будем развивать теорию для однородных уравнений, т. е. для линейных дифференциальных уравнений, правая часть которых имеет вид а(х, у)и+ + р(х, у) о, но легко видеть, что это ограничение несущественно. Если левая часть уравнений (1) лннейна, т. е. если йе и 6, яе зависят от и и о, и если система гиперболическая, то уравнение (2') определяет два значения $д ф как явные функции х и у.
Зги два обыкновенных дифференциальных уравнения, Ыу/еех = $д ф' я с(у/еех = арф, могут быть проинтегрированы и дают уравнения двух семейств характеристик в виде ~(х, у) =соней, й(х, у) =сопле, Гь. П. ОдиЕие еиеереми , ди ,ди , , ди , ди а — +а' — =а', Ь вЂ” + Ь вЂ” = Ь', 1дЬ ед$ ' 'дч еда (7) где коэффициенты являются функциями только от $ и е). Так как уравнения (7) представляют собой некоторые линейные комбинации уравнений (1), они также будут однородными в том же смысле, что уравнения (1). Уравнения (7) могут быть упрощены далее введением новых неизвестных (7 и (г, таких, что о' = а,'и + а,о, е' = Ь;и+ Ьео.
Тогда, уравнения (7) преобразуются к следующему виду: (8) (9) где а„а, ~, и р — известные функции $ и ц. Одну из неизвестных функций Ь или К можно исключить из этой системы. Если мы продифференцируем первое уравнение по ц и подставим значения др7дц из второго уравнения, а значение для й из первого, то при условии, что ае не обращается в нуль, получим деГГ ( 1 да, ) дУ деГ дпдз ~, з ае дв,г дЬ ' дс — =(р + — — ' 1 — +а,— + +(аеР,— аг()е+ д ' — — ' д ') (7. (10) Если а,=О, то первое уравнение (9) уже есть уравнение для (7 и функция (7 удовлетворяет также уравнению (10а) Аналогичным образом можно получить линейное дифференциальное уравнение второго порядка такого же вида для функции й. которые образуют правильную криволинейную сетку, по крайней мере в той области, где нет особенностей. Введем новые переменные $ и ц, определяемые равенствами $=~(х,у), 'п=д(х,у).
(6) В этих новых переменных система (1) остается линейной, например, коэффициент при ди7д$ в первом уравнении будет равен а1д$/дх+ а. д$!ду и т. п. Характеристиками преобразованной системы в плоскости 5, ц являются линии $=сопз1 п ц= сопзФ. Линейное соотношение между производными вдоль характеристик будет в этом случае содержать производные только по 5 и только по ц. Поэтому эти соотношения будут иметь такую форму 445 10.4.. 11инейыый серчай В предположениях, сделанных в теореме А, значения и и с в плоскости х, у заданы вдоль дуги АВ, которая нигде не касается характеристик. После преобрааования (6) дуга АВ переходит в плоскости $, ц в дугу АВ, которая ве может иметь горизонтальной илк вертикальной касательной (см. рис. 48).
Значения, и и с, заданные на АВ, будут теперь значениями и и о на АВ, которые, согласно равенствам (8), определяют значения У и т' вдоль АВ. Значения У вдоль АВ определяют производную У в направлении касательной к атой кривой, которая Рис. 48. Задача Коши в харак- теристической плоскости. по предположению, не может иметь направления оси з; первое из уравнений (9) дает значение дУ(д$ вдоль АВ. Если иавествы производные в двух различных направлениях, то можно найти производную в любом направлении и, в частности, дУ1дц. Таким образом, задача определения У может быть сформулирована следуеощим образом: У удовлетворяет дифференциальному уравнению вида Ж(У)е д— д+а д +Ь вЂ” +сУ=О, д$ дц дб дч (и) где а, Ь и с [не смешивать с а и Ь в уравнениях (4)] являются функциями только от $ и ц, и значения С, дб'!д5 и дУ/дц заданы зо всех„точках дуги АВ, касательные к которой нн в одной точке не параллельны осям координат.
Такая же задача ставится и для функции тт. Зта задача будет решена, осли удастся показать, как найти значение У в точке С, которая имеет ту же-абсциссу, что и точка В, и ту же ординату, что точка А (или наоборот); четырехугольник АСВБв плоскости ь, ц соответствует криволинейному четырехугольнику А(,ВЮ в плоскости я, у. Отсюда следует, что воспользовавшись заданными значениями неизвестных на соответствующем сегменте АВ, можно вычислить значение ГУьв~~любой точке Р, лежащей внутри этого прямоугольника.
Ю Р. извес 146 Гл. П. Общие атеарелттт Решение этой задачи было'дано в 1860 г. Бернгардом Риманом, который заложил основы аналитической теории сверхзвуковых течений. 5. Решение Римана") Решение, данное Риманом для уравнения (11) ври заданных граничных условиях на АВ, основано на использовании еще одной функции Й($, ц), которая удовлетворяет другому дифференциальному уравнению, так называемому сопряженному ураенению тт (П) аэ — — и — — Ь вЂ” + ( с — —. — — ) () = О, (12) дтР. дй дтт б да дд 'т д4 дт1 д$ дп ( д$ дт1 ) где а, Ь и с — те же самые функции, что и в уравнении (т11).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
